1、绵阳市高中2012级第二次诊断性考试数学（文史类）【题文】第卷（选择题，共50分）【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。【题文】1.复数(A) (B) (C) (D) 【知识点】复数的乘法运算L4【答案】【解析】A 解析：,故选：A【思路点拨】根据复数的乘法运算计算即可【题文】2. “ ”是“直线与直线 互相垂直”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2【答案】【解析】A 解析：若，则直线x+y=1和直线xy=1互相垂直，是充分
2、条件；若直线与直线互相垂直，则m取任意实数，不是必要条件；故选：A【思路点拨】根据充分必要条件的定义结合直线垂直的性质，从而得到答案【题文】3一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图所示),为了进一步分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在月收入段应抽出 （A）10人 （B）15人（C）20人（D）25人【知识点】频率分布直方图；分层抽样方法I1 I2【答案】【解析】D 解析：根据频率分布直方图的性质可得：，故选：D【思路点拨】由分层抽样方法的性质再结合频率分布直
3、方图可得结果【题文】4如下程序框图所示，已知集合，集合，当时=（A） （B） （C） （D）【知识点】程序框图L1【答案】【解析】C 解析：执行程序框图，有x=1y=1x=2输出1，2不满足条件x5，y=3，x=3，输出3，3不满足条件x5，y=5，x=4，输出5，4不满足条件x5，y=9，x=5，输出9，5不满足条件x5，y=17，x=6，输出17，6满足条件x5，退出循环，结束从而可得A=2，3，4，5，6，B=1，3，5，9，17故=3，5，故选：C【思路点拨】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，从而可得集合A，B，进而可求的值【题文】5.下图是某几何体的三视图，则该几何体的
4、体积为（A）（B）（C）（D） 【知识点】由三视图求面积、体积 G2【答案】【解析】B 解析：由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和长方体的组合体，圆柱的底面直径为8，半径为4，高为8，故体积为：64，长方体的长，宽，高分别为：8，8，4，体积为：256，故几何体的体积V=，故选：B.【思路点拨】由已知的三视图可得：该几何体是一个圆柱和长方体的组合体，分别求出圆柱和长方体的体积，相加可得答案【题文】6.抛物线上一点M到它的焦点F的距离为，O为坐标原点，则的面积为（A） （B） （C） （D）【知识点】抛物线的几何性质H7【答案】【解析】B 解析：设M（a,b）,有抛物线的定义可知：点M到准线
5、的距离为，所以a=1，代入抛物线方程，解得，所以，故选：B【思路点拨】设M（a,b）,有抛物线的定义可知a=1，代入抛物线方程，解得，然后利用三角形面积公式即可【题文】7.已知是两个不同点平面，下列条件中可以推出的是（A）存在一条直线a，； （B）存在一个平面； （C）存在两条平行直线a，b, ; （D）存在两条异面直线a，b, 【知识点】命题的真假判断与应用A2【答案】【解析】D 解析：由a，a，得到，选项A错误；由，可得或与相交，选项B错误；由a，b，a，b可得或与相交，选项C错误；对于D，如图，a，b，a，b，在内过b上一点作ca，则c，则内有两相交直线平行于，则有选项D正确，故选：D【
6、思路点拨】直接利用空间中的点、线、面的位置关系逐一核对前三个选项加以排除，由面面平行的判断证明D正确【题文】8. 已知平面区域在区域内随机选取一点M，且点恰好在区域上的概率为，若，则的取值范围为（A） （B） （C） （D）【知识点】几何概型K3【答案】【解析】D 解析：依题意可在平面直角坐标系中作出集合D1所表示的平面区域是三角形与D2所表示的平面区域是阴影部分的三角形（如图），由图可知D1=，由于，则0D22由于直线恒过点（0，2），则的斜率k0的取值范围是：（0，1故选D【思路点拨】找出D1、D2对应面积的大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解在解题过程中，注意三角形面积的应用【题
7、文】9.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（A） （B）6 （C）8 (D)12【知识点】椭圆的简单性质H5【答案】【解析】B 解析：设P（x，y），则=，又点P在椭圆上，故，所以，又，所以当时，取得最大值为6，即的最大值为6，故选：B【思路点拨】设P（x，y），由数量积运算及点P在椭圆上可把表示为x的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值【题文】10.设函数当时，有，则的最大值是（A） (B) (C) (D) 【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值B11 B12【答案】【解析】C 解析：，令，可得，1，则f（x）max=f（1）=1，b（0，；01，f
8、（x）max=f（）=1，f（1）0，b（，b的最大值是故选：C【思路点拨】求导数，利用函数的单调性，结合x0，1时，有f（x）0，1，即可b的最大值【题文】第卷（非选择题，共100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.【题文】11.双曲线的离心率为 .【知识点】双曲线的几何性质H6【答案】【解析】 解析：因为双曲线，所以，所以离心率，故答案为。【思路点拨】根据双曲线的标准方程，可得a，b，c，从而可求双曲线的离心率【题文】12. 某射击运动员再一次测试中设计10次，其测试成绩如下表：则该运动员测试成绩的中位数为 .【知识点】众数、中位数、平均数I2【答案】【解析】8.
9、5 解析：根据题意得：该运动员射击10次命中环数从小到大的顺序如下，7、7、7、8、8、9、9、10、10、10；则该运动员测试成绩的中位数为故答案为8.5【思路点拨】根据中位数的定义，结合表中数据，求出答案【题文】13.等边的边长为2，D,E分别为BC,CA的中点，则= .【知识点】平面向量数量积的运算F3【答案】【解析】 解析：由于D，E分别为边BC，CA的中点，则=（+），=（+），则=（+）（+）=（+）=（4222+22）=故答案为：【思路点拨】运用中点的向量表示形式，结合向量的数量积的定义和性质，计算即可得到所求值【题文】14.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+2),
10、且时，则= .【知识点】函数奇偶性的性质B4【答案】【解析】 解析：函数满足f（x）=f（x+2），函数f（x）周期T=2，log2184=log218log216=log2（0，1），log2（1，0），f（log218）=f（log2184）=f（log2），=f（log2）=+=+=，故答案为：【思路点拨】易得函数的周期为2，可得f（log218）=f（log2184）=f（log2）=f（log2），代入已知解析式计算可得【题文】15.已知圆M：，圆N: ，直线分别过圆心，且与圆M相交于A,B, 与圆N相交于C,D,P是椭圆上的任意一动点，则的最小值为 .【知识点】平面向量数量积的运算
11、；圆与圆锥曲线的综合菁优H4 F3【答案】【解析】6 解析：，同理：=，在椭圆上，所以， =故答案为：6【思路点拨】，并且，所以便可得到，同理可得到所以=【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤【题文】16.（本小题满分12分）2014年11月12日，科幻片星际穿越上映，上映至今，全球累计票房高达6亿美金为了解绵阳观众的满意度，某影院随机调查了本市观看此影片的观众，并用“10分制”对满意度进行评分，分数越高满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为“满意观众”现从调查人群中随机抽取12名如图所示的茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎
12、，小数点后的一位数字为叶）（1） 求从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率；（2） 从本次所记录的满意度评分大于9.1的“满意观众”中随机抽取2人，求这2人得分不同的概率。【知识点】茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率I2 K2【答案】【解析】（1）；（2） 解析：()由茎叶图可知，所抽取12人中有4人低于9分，即有4人不是 “满意观众”， P=，即从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率为 4分 ()设本次符合条件的满意观众分别为A1(9.2)，A2(9.2)，A3(9.2)，A4(9.2)，B1(9.3)，B2(9.3)，其中括号内为该人的分数 6分则从中
13、任意选取两人的可能有 (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15种，8分其中，分数不同的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，共8种， 10分 所求的概率为 12分【思路点拨】（1）由茎叶图可知从12人中任抽一人，其中低于9的有4人，由古典概型概率公式可求；（2）利用列举法分别列出从中任意选取两人的可能
14、有 以及分数不同的人数，由古典概型的公式可求【题文】17. （本小题满分12分）已知等比数列的前n项和为（1） 求的值，并求出数列的通项公式；（2） 将函数向左平移个单位得到的图像，求在上的最大值。【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换；等比数列的性质C3 D3【答案】【解析】（1）an=；（2）4。 解析：() Sn=， a1=S1=-1，a2=S2-S1=2-1-(-1)=，a3=S3-S2=4-1-(2-1)=2，2分 an是等比数列， a22=a1a3，即2=2(-1)，解得=0(不合题意，舍去)，或=2 4分 在an中，a1=1，公比q=2， an=1= 6分()由()知，a2
15、=2，a3=4，于是， 8分 x， 0，10分 04，即在上的最大值为4 12分【思路点拨】（）根据已知先写出数列的前三项，从而可求得的值，进而可求得求出数列an的通项公式；（）先求，可得，由x，可得0，从而可求在上的最大值【题文】18. （本小题满分12分）已知中，所对的边分别是a,b,c,且，（1） 求的值；（2） 若，求b的值。【知识点】余弦定理；正弦定理C8【答案】【解析】（1）；（2） 解析：（1）由余弦定理得，则 4分()由A+B+C=有C=-(A+B)，于是由已知sinB+sinC=得，即，将，代入整理得7分根据，可得代入中，整理得8sin2B-4sinB+5=0，解得 10分
16、由正弦定理有 12分【思路点拨】（1）利用余弦定理求出cosA，再利用平方关系，求sinA的值；（2）运用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式及同角公式，即可求得sinB，再由正弦定理，即可得到b【题文】19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形是长方形，,CA=CB, ,，E,F分别是AB, 的中点.（1） 求证：平面；（2） 求证：平面 平面.【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定D2 D4【答案】【解析】（1）见解析；（2）见解析 解析：()如图，连结BC1 E，F分别是AB，AC1的中点， EF/ BC1 BC1面BB1C1C，EF面BB1C1C， EF平面
17、BB1C1C4分() 如图，连结A1E，CE AB/ A1B1，AB=2A1B1，E为中点， BE/A1B1，且BE=A1B1，即A1B1BE是平行四边形， A1E/B1B，且A1E=B1B由四边形BB1C1C是长方形，知C1C/B1B，且C1C=B1B， A1E/C1C，且A1E=C1C，即C1A1EC是平行四边形， A1C1/EC7分 B1BBC，B1BAB， B1B面ABC， B1BEC 9分由CA=CB，得ECAB， EC平面ABB1A110分 A1C1平面ABB1A1 A1C1平面C1AA1， 平面C1AA1平面ABB1A1 12分【思路点拨】（）连结BC1，可证EFBC1，从而证明
18、EF平面BB1C1C（） 连结A1E，CE，可证C1A1EC是平行四边形，可得A1C1EC，即证明B1BEC，可证EC平面ABB1A1，有A1C1平面ABB1A1，即可证明平面C1AA1平面ABB1A1【题文】20. （本小题满分13分）已知椭圆E的中心在原点O,焦点在x轴上，离心率，椭圆E的右顶点与上顶点之间的距离为。（1） 求椭圆E的标准方程；（2） 过定点且斜率为k的直线交椭圆E与不同的两点M,N,在线段MN上取异于M,N的点H,满足，证明：点H恒在一条直线上，并求出点H所在的直线方程。【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题H8【答案】【解析】（1）；（2）见解析 解析：（1）设椭圆的标准方
19、程为，焦点坐标为(c，0)，由题知：结合a2=b2+c2，解得：a2=3，b2=2， 椭圆E的标准方程为 4分（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，H(x0，y0)， 由已知直线MN的方程为y=kx+3k+4，联立方程消去，得，于是x1+x2=，x1x2= 7分又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上， 则可转化为，整理得： 10分将代入可得， 12分 ，消去参数得，即H点恒在直线上 13分【思路点拨】（1）设椭圆的标准方程为，焦点坐标为（c，0），由题知：，又a2=b2+c2，解出即可；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），H（x0，y0），由已知直线MN的方程为y=kx+
20、3k+4，与椭圆的方程联立可得：，得到根与系数的关系又P，M，H，N四点共线，将四点都投影到x轴上，满足可得，进而解出x0用k表示，及其y0用k表示，消去k即可得出【题文】21. （本小题满分14分）设和是函数的两个极值点，其中m0。（1） 若，求m,n值；（2） 求的取值范围；（3） 若（e是自然对数的底数），求证：。【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性B11 B12【答案】【解析】（1）m=1，n=2；（2）(-，)；（3）见解析 解析：() ，2分 当a=2时，由已知有m，n是方程x2-3x+2=0的两个根， m=1，n=24分()由已知有m，n是方程x2-(a+1
21、)x+2=0的两个根， =(a+1)2-80，m+n=a+10，mn=20 5分 7分 (a+1)28， ，即的取值范围为(-，) 8分()证明： ，又，所以m=，于是， 10分由 0m2，解得n a， m+n=a+1，即+n， 可解得0n(舍去)，或n 11分令=t，则n2=2t，且te， 令g（t）=2lntt+，则g（t）=1=0；故g（t）=2lntt+在e，+）上单调递减，gmax（t）=2e+；故f（n）f（m）2e+【思路点拨】（）求导f（x）=+x（a+1）=，从而可得m，n是方程x23x+2=0的两个根，从而求解（）由已知有m，n是方程x2（a+1）x+2=0的两个根，可得=（a+1）280，m+n=a+10，mn=20，化简f（m）+f（n）=2lnm+m2（a+1）m+2lnn+n2（a+1）n=（a+1）22+2ln2从而求得（）化简f（n）f（m）=2lnn+n2（a+1）n（2lnm+m2（a+1）m）=2ln（n2m2），从而化为f（n）f（m）=2ln（n2+）令=t，则n2=2t，且te，从而得到f（n）f（m）=2lntt+，令g（t）=2lntt+，则g（t）=1=0，从而证明
