1、3.1.2用二分法求方程的近似解学 习 目 标核 心 素 养1通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件(重点)2了解二分法是求方程近似解的常用方法,能借助计算器用二分法求方程的近似解(难点)3会用二分法求一个函数在给定区间内的零点,从而求得方程的近似解(易混点)借助二分法的操作步骤与思想,培养数学建模及逻辑推理素养.1二分法的定义对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法思考:若函数yf(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解?提示二分法只适用于函
2、数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)(x1)2的零点就不能用二分法求解2二分法求函数零点近似值的步骤1用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是()A2,1B1,0C0,1 D1,2Af(2)30,f(2)f(1)0,故可取2,1作为初始区间,用二分法逐次计算2用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是()A|ab|0.1B|ab|0.001 D|ab|0.001B据二分法的步骤知当区间长度|ba|小于精确度时,便可结束计算3已知函数yf(x)的图象如图所示,则不能利用二分法求
3、解的零点是_x3x3左右两侧的函数值同号,故其不能用二分法求解4用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时,第一次经过计算得f(0)0,f(0.5)0,可得其中一个零点x0_,第二次应计算_(0,0.5)f(0.25)f(0)0,x0(0,0.5),故第二次应计算f(0.25)二分法的概念【例1】已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A4,4B3,4C5,4 D4,3D图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以用二分法求解的个数为3,故选D.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点
4、为变号零点因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是()ABCDB二分法的理论依据是零点存在性定理,必须满足零点两侧函数值异号才能求解而选项B图中零点两侧函数值同号,即曲线经过零点时不变号,称这样的零点为不变号零点另外,选项A,C,D零点两侧函数值异号,称这样的零点为变号零点用二分法求函数零点的近似值探究问题1用二分法求方程的近似解,如何决定步骤的结束?提示:当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时,二分法步骤结束2用二分法求方程的近似解时,精确度不同对零点有影响吗?提示:精
5、确度决定步骤的始终,故精确度不同,零点可能会不同【例2】求函数f(x)x33x29x1的一个负零点(精确度0.01)思路点拨:解确定一个包含负数零点的区间(m,n),且f(m)f(n)0,f(2)0,f(2)0(2,1.5)x11.75f(x1)2.2030(2,1.75)x21.875f(x2)0.7360(2,1.875)x31.937 5f(x3)0.097 40(1.937 5,1.906 25)x51.921 875f(x5)0.117 40(1.937 5,1.921 875)x61.929 687 5f(x6)0.010 50(1.937 5,1.929 687 5)由于|1.9
6、29 687 51.937 5|0.007 812 50,f(2)0,f(2)0(2,1.5)x11.75f(x1)2.2030(2,1.75)x21.875f(x2)0.7360(2,1.875)x31.937 5f(x3)0.097 40(1.937 5,1.875)由于|1.8751.937 5|0.062 50.1,所以函数在区间2,1内的一个近似零点可取为1.937 5.2若将本例函数改为“f(x)x32x23x6”,如何求该函数的正数零点?(精确度0.1)解确定一个包含正数零点的区间(m,n),且f(m)f(n)0.因为f(0)60,f(1)60,所以可以取区间(1,2)作为计算的
7、初始区间,用二分法逐步计算,列表如下:端点(中点)端点或中点的函数值取值区间f(1)60(1,2)x11.5f(1.5)2.6250(1.5,1.75)x31.625f(1.625)1.302 70(1.625,1.75)x41.687 5f(1.687 5)0.561 80(1.687 5,1.75)由于|1.751.687 5|0.062 50.1,所以函数的正数零点的近似值可取为1.687 5.利用二分法求方程近似解的过程图示1二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并
8、非所有函数都可以用二分法求其零点,只有满足:(1)在区间a,b上连续不断;(2)f(a)f(b)0,上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.1.思考辨析(1)二分法所求出的方程的解都是近似解()(2)函数f(x)|x|可以用二分法求零点()(3)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内()答案(1)(2)(3)2关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是()A“二分法”求方程的近似解一定可将yf(x)在a,b内的所有零点得到B“二分法”求方程的近似解有可能得不到yf(x)在a,b内的零点C应用“二分法”求方程的近似解,yf(x)在a,b内有可能无零点D“二分法”
9、求方程的近似解可能得到f(x)0在a,b内的精确解D二分法求零点,则一定有且能求出,故B,C不正确;零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到,故A不正确,故选D.3用二分法求函数yf(x)在区间2,4上零点的近似值,经验证有f(2)f(4)0.取区间的中点x13,计算得f(2)f(x1)0,则此时零点x0_(填区间)(2,3)因为f(2)f(3)0,所以零点在区间(2,3)内4用二分法求方程ln(2x6)23x的根的近似值时,令f(x)ln(2x6)23x,并用计算器得到下表:x1.001.251.3751.50f(x)1.079 40.191 80.360 40.998 9由表中的数据,求方程ln(2x6)23x的一个近似解(精确度为0.1)解因为f(1.25)f(1.375)0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.062 50.1,因此1.312 5是一个近似解