1、3.1.2用二分法求方程的近似解学 习 目 标核 心 素 养1通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件(重点)2了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解(难点)3会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解(易混点)借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养.1二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法思考：若函数yf(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？提示二分法只适用于函
2、数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)(x1)2的零点就不能用二分法求解2二分法求函数零点近似值的步骤1用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是()A2，1B1，0C0，1 D1，2Af(2)30，f(2)f(1)0，故可取2，1作为初始区间，用二分法逐次计算2用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是()A|ab|0.1B|ab|0.001 D|ab|0.001B据二分法的步骤知当区间长度|ba|小于精确度时，便可结束计算3已知函数yf(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求
3、解的零点是_x3x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解4用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经过计算得f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_(0，0.5)f(0.25)f(0)0，x0(0，0.5)，故第二次应计算f(0.25)二分法的概念【例1】已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A4，4B3，4C5，4 D4，3D图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点
4、为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()ABCDB二分法的理论依据是零点存在性定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点用二分法求函数零点的近似值探究问题1用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束2用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？提示：精
5、确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同【例2】求函数f(x)x33x29x1的一个负零点(精确度0.01)思路点拨：解确定一个包含负数零点的区间(m，n)，且f(m)f(n)0，f(2)0，f(2)0(2，1.5)x11.75f(x1)2.2030(2，1.75)x21.875f(x2)0.7360(2，1.875)x31.937 5f(x3)0.097 40(1.937 5，1.906 25)x51.921 875f(x5)0.117 40(1.937 5，1.921 875)x61.929 687 5f(x6)0.010 50(1.937 5，1.929 687 5)由于|1.9
6、29 687 51.937 5|0.007 812 50，f(2)0，f(2)0(2，1.5)x11.75f(x1)2.2030(2，1.75)x21.875f(x2)0.7360(2，1.875)x31.937 5f(x3)0.097 40(1.937 5，1.875)由于|1.8751.937 5|0.062 50.1，所以函数在区间2，1内的一个近似零点可取为1.937 5.2若将本例函数改为“f(x)x32x23x6”，如何求该函数的正数零点？(精确度0.1)解确定一个包含正数零点的区间(m，n)，且f(m)f(n)0.因为f(0)60，f(1)60，所以可以取区间(1，2)作为计算的
7、初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值取值区间f(1)60(1，2)x11.5f(1.5)2.6250(1.5，1.75)x31.625f(1.625)1.302 70(1.625，1.75)x41.687 5f(1.687 5)0.561 80(1.687 5，1.75)由于|1.751.687 5|0.062 50.1，所以函数的正数零点的近似值可取为1.687 5.利用二分法求方程近似解的过程图示1二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并
8、非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间a，b上连续不断；(2)f(a)f(b)0，上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.1.思考辨析(1)二分法所求出的方程的解都是近似解()(2)函数f(x)|x|可以用二分法求零点()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内()答案(1)(2)(3)2关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是()A“二分法”求方程的近似解一定可将yf(x)在a，b内的所有零点得到B“二分法”求方程的近似解有可能得不到yf(x)在a，b内的零点C应用“二分法”求方程的近似解，yf(x)在a，b内有可能无零点D“二分法”
9、求方程的近似解可能得到f(x)0在a，b内的精确解D二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.3用二分法求函数yf(x)在区间2，4上零点的近似值，经验证有f(2)f(4)0.取区间的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0_(填区间)(2，3)因为f(2)f(3)0，所以零点在区间(2，3)内4用二分法求方程ln(2x6)23x的根的近似值时，令f(x)ln(2x6)23x，并用计算器得到下表：x1.001.251.3751.50f(x)1.079 40.191 80.360 40.998 9由表中的数据，求方程ln(2x6)23x的一个近似解(精确度为0.1)解因为f(1.25)f(1.375)0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25，1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 50.1，因此1.312 5是一个近似解