1、巩固层知识整合提升层题型探究向量的线性运算【例1】如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，3，F为AE的中点，以、为基底表示向量.解如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以，所以，于是.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题跟进训练1经过OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，求的值解设a，b，则(ab)，nbma，(ab)maab.由P，G，Q共线得，存在实数使得，即nbmaab，则消去，得3.向量数量积的运算【例2】设
2、向量a，b，且|4，AOB60.(1)求|ab|，|ab|；(2)求ab与a的夹角1，ab与a的夹角2.思路点拨利用|ab|求解；利用cos 求夹角解(1)|ab|2(ab)(ab)|a|22ab|b|216244cos 601648，|ab|4，|ab|2|a|22ab|b|216，|ab|4.(2)(ab)a|a|2ab1644cos 6024，cos 1.0，180，130.(ab)a|a|2ab1644cos 608，cos 2.20，180，260.1数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义2可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹
3、角进行计算跟进训练2已知cmanb，c(2，2)，ac，b与c的夹角为，bc4，|a|2，求实数m，n的值及a与b的夹角解c(2，2)，|c|4，又ac，ac0.bc|b|c|cos |b|44，|b|2.又cmanb，c2macnbc，164n，n4.又acma2nab，08m4ab. 又bcmabnb2，mab12. 由得m，ab2，设a与b的夹角为，则cos ，0，或.向量的应用【例3】如图，在等腰直角ABC中，角C是直角，CACB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE2EB，求证：ADCE.思路点拨欲证ADCE，即证0.由于已有0，故考虑选此两向量为基底，从而应用此已知条件另外，如
4、果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系解法一：记a，b，则ba，且ab0，|a|b|.因为ba，(ba)aba，所以b2a20.可得ADCE.法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设ACBC2，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，2)，因为D是CB的中点，则D(0，1)所以(2，1)，(2，2)又(2，0)(2，2)，所以(2，1)(2)0，因此ADCE.把几何图形放到适当的坐标系中， 就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题这样的解题方法具有普遍性跟进训练3.如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂线方向的夹角
5、为，绳子所受到的拉力为F1，求：(1)|F1|，|F2|随角的变化而变化的情况(2)当|F1|2|G|时，角的取值范围(3)当|F1|2|F2|时，求角的值解(1)由力的平衡原理知，GF1F20，作向量F1，F2，G，则，四边形OACB为平行四边形，如图由已知AOC，BOC，|，|tan ，即|F1|，|F2|G|tan ，.由此可知，当从0逐渐增大趋向于时，|F1|，|F2|都逐渐增大(2)当|F1|2|G|时，有2|G|，cos ，又.(3)当|F1|2|F2|时，2|G|tan ，sin .向量的综合应用【例4】如图，在ABC中，BAC90，AB2，AC3，D是BC的中点，点E满足2，B
6、E与AD交于点G.(1)设，求实数的值；(2)设H是BE上一点，且，求的值解(1)法一：设a，b，因为，D是BC的中点，所以ab.设t，0t1，故t，整理得t，又2，即，所以tab.联立，据平面向量基本定理，得 解得，t，所以实数的值为.法二：以A为原点，AC为x轴建立如图直角坐标系则B(0，2)，C(3，0)，因为D是BC的中点，所以D.因为2，所以，即E(2，0)因为，即G，所以(2，2)，.因为B，G，E三点共线，所以，即220，解得.(2)因为，所以0，即0，所以2.平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想引入向量的坐标表示，使向量运算代数化，有两种途径：选择基底和通过坐标运算，可解决共线、平行、垂直、夹角、距离、面积等问题跟进训练4在ABC中，设，M是BC的中点(1)若|1，求2与2的夹角的余弦值；(2)若O是线段AM上任意一点，且|，求的最小值解(1)设向量2与向量2的夹角为，0，cos ，令|a，cos .(2)|，|1，设|x，则|1x，而2，()22|cos 2x22x2，当且仅当x时，有最小值为.
