1、阶段回扣练3导数及其应用(建议用时：90分钟)一、选择题1(2015哈师大附中检测)设函数f(x)axln x(aR，a0)，若f(e)2，则f(e)的值为()A1 B Ce D2e解析f(x)aln xa，故f(e)2a2，得a1，故f(x)xln x，f(e)e.答案C2(2015南昌模拟)曲线yx2ln x在点(1,1)处的切线方程为()A3xy20 Bx3y20C3xy40 Dx3y40解析y2x，故y|x13，故在点(1,1)处的切线方程为y13(x1)，化简整理得3xy20.答案A3三次函数f(x)mx3x在(，)上是减函数，则m的取值范围是()A(，0) B(，1) C(，0 D
2、(，1解析f(x)3mx21，依题意可得m0.答案A4设函数g(x)x(x21)，则g(x)在区间0,1上的最小值为()A1 B0 C D解析g(x)x3x，由g(x)3x210，解得x或(舍去)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g(x)0g(x)0极小值0所以当x时，g(x)有最小值g.答案C5(2015济宁一模)已知函数f(x)的导函数f(x)ax2bxc的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()解析由导数的图象可得原函数f(x)图象在(，0)上“减”，在(0，)上先“增”后“减”，与之相符的只有D答案D6设f(x)，g(x)在a，b上可导，且f(x)g(x)，则当
3、axb时，有()Af(x)g(x)Bf(x)g(x)Cf(x)g(a)g(x)f(a)Df(x)g(b)g(x)f(b)解析f(x)g(x)0，(f(x)g(x)0，f(x)g(x)在a，b上是增函数，当axb时f(x)g(x)f(a)g(a)，f(x)g(a)g(x)f(a)答案C7(2014湛江模拟)已知函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则c()A2或2 B9或3C1或1 D3或1解析y3x23，当y0时，x1.则y，y的变化情况如下表；x(，1)1(1,1)1(1，)y00yc2c2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c20或c20，c2或c2.答案A8(2014石家庄
4、模拟)若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，4 C(0，) D4，)解析2xln xx2ax3，则a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递减；x(1，)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故a的取值范围是(，4答案B9(2015青岛一模)已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx等于()A B C D解析由题图可知f(1)0，f(2)0，解得f(x)x33x22x，f(x)3x26x2.由图可知x1，x2为f
5、(x)的极值点，x1x22，x1x2.xx(x1x2)22x1x24.答案C10(2013湖北卷)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) BC(0,1) D(0，)解析由题知，x0，f(x)ln x12ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f(x)0有两个不等的正根，即函数yln x1与y2ax的图象有两个不同的交点(x0)，则a0；设函数yln x1上任一点(x0,1ln x0)处的切线为l，则kly，当l过坐标原点时，x01，令2a1a，结合图象知0a，故选B答案B二、填空题11若函数f(x)在x1处取极值，则a_ _.解析由f(x)0，x22x
6、a0，x1，又f(x)在x1处取极值，x1是x22xa0的根，a3.答案312(2014温州三模)f(x)xsin xcos x的图象在点A(x0，f(x0)处的切线斜率为，则tan 2x0的值为_ _.解析f(x)cos xsin x，f(x0)cos x0sin x0 ，即sin x0cos x00，tan x0，tan 2x0.答案13(2014佛山模拟)设0a1，函数f(x)x，g(x)xln x，若对任意的x1，x21，e，都有f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围是_ _.解析f(x)1，当0a1，且x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上是增函数，f(x1)minf(1)
7、1a2，又g(x)1(x0)，易求g(x)0，g(x)在1，e上是增函数，g(x2)maxg(e)e1.由条件知只需f(x1)ming(x2)max.即1a2e1.a2e2.即a1.答案，114某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_ _元时利润最大，利润的最大值为_ _元解析设商场销售该商品所获利润为y元，则y(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p20)，则y3p2300p11 700.令y0得p2100p3 9000，解得p3
8、0或p130(舍去)则y，y随p的变化情况如下表：p(20,30)30(30，)y0y极大值故当p30时，y取极大值为23 000元又yp3150p211 700p166 000在20，)上只有一个极值，故也是最值所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元答案3023 00015(2015扬州模拟)已知函数f(x)ln x(mR)在区间1，e上取得最小值4，则m_ _.解析f(x)(x0)， 当m0时，f(x)0，f(x)在区间1，e上为增函数，f(x)有最小值f(1)m4，得m4，与m0矛盾当m0时，若m1，即m1，f(x)minf(1)m4，得m4，与m1矛盾；若m1，e
9、，即em1，f(x)minf(m)ln(m)14，解得me3，与em1矛盾；若me，即me时，f(x)minf(e)14，解得m3e，符合题意答案3e三、解答题16(2015北京海淀模拟)已知函数f(x)x3ax24xb，其中a，bR且a0.(1)求证：函数f(x)在点(0，f(0)处的切线与f(x)总有两个不同的公共点；(2)若函数f(x)在区间(1,1)上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围(1)证明由已知可得f(x)x22ax4.f(0)4，又f(0)b，f(x)在x0处的切线方程为y4xb.令x3ax24xb4xb，整理得(x3a)x20.x0或x3a，又a0，3a0，f(x)与切线
10、有两个不同的公共点(2)解f(x)在(1,1)上有且仅有一个极值点，f(x)x22ax4在(1,1)上有且仅有一个异号零点，由二次函数图象性质可得f(1)f(1)0，即(52a)(52a)0，解得a或a，即a的取值范围是.17(2015合肥质量检测)已知函数f(x)(a1)x22ax2ln x.(1)求证：a0时，f(x)1恒成立；(2)当a2，1时，求f(x)的单调区间(1)证明a0时，f(x)x22ln x，x(0，)f(x)2x，令f(x)0，解得x1(x1舍去)当x(0,1)时，f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递减；当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递增f(x)
11、minf(1)1.所以，x(0，)，f(x)1.(2)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)，当a1时，f(x)，此时f(x)在(1，)上单调递增，在(0,1)上单调递减当2a1时，1a10,1.f(x)，解f(x)0得x(0,1)或x；解f(x)0得x.即f(x)的单调增区间为，单调减区间为(0,1)和.当a2时，此时f(x)，x(0，)均有f(x)0，f(x)在区间(0，)上单调递减，无单调增区间综上，a1时，f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)；2a1时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(0,1)和；a2时，f(x)的单调递减区间为(0，)，无单调增区间18
12、(2015南平质检)已知函数f(x)sin x，g(x)mx(m为实数)(1)求曲线yf(x)在点P处的切线方程；(2)求函数g(x)的单调递减区间；(3)若m1，证明：当x0时，f(x)g(x).解(1)由题意得所求切线的斜率kfcos.切点P，则切线方程为y.即xy10.(2)g(x)mx2.当m0时，g(x)0，则g(x)的单调递减区间是(，)；当m0时，令g(x)0，解得x或x，则g(x)的单调递减区间是(，)，(，)(3)当m1时，g(x)x.令h(x)g(x)f(x)xsin x，x0，)，h(x)1cos x0，则h(x)是0，)上的增函数故当x0时，h(x)h(0)0，即sin
13、 xx，f(x)g(x).19(2015达州一诊)设函数f(x)x2(ex1)ax3.(1)当a时，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)x2(ex1)x3，f(x)2x(ex1)x2exx2(2xx2)(ex1)，令f(x)0，得x0或2x0；令f(x)0，得x2.f(x)的单调递增区间为(2，)；f(x)的单调递减区间为(，2)(2)因为f(x)x2(ex1ax)对x0恒成立，设g(x)exax1(x0)f(x)0恒成立g(x)0恒成立，g(x)exa，当a1时，g(x)0 对x0恒成立，g(x)g(0)0符合题意当a1时，由g(x)0得xln(a)，由g(x)0得0xln(a)g(x)在(0，ln(a)是减函数，在(ln(a)，)是增函数而又g(0)0，g(ln(a)0，故不符合题意综上所述a的取值范围是1，).
