1、广东省北大附中深圳南山分校2021届高三数学3月一模试卷（含解析）一、选择题（共8小题）.1已知（RA）B，则下面选项中一定成立的是（）AABABABBCABBDABR2中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备，对该校数学集训队进行一次选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示，则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为（）A85，75B85，76C74，76D75，773已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（）A64B48C32D164将函数f（x）sinx图象上所有点的横坐标变为原来的（0），纵坐标
2、不变，得到函数g（x）的图象，若g（x）的最小正周期为6，则（）AB6CD35已知等比数列an的前n项和为Sn，则“Sn+1Sn”是“an单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且|MF|6，则p（）A4B6C8D107已知a3.20.1，blog25，clog32，则（）AbacBcbaCbcaDabc8已知椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若0，且|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则C的
3、离心率为（）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9若复数zi，则（）A|z|2B|z|4Cz的共轭复数+iDz242i10已知（12x）2021ao+a1x+a2x2+a3x3+a2021x2021，则（）A展开式中所有项的二项式系数和为22021B展开式中所有奇次项系数和为C展开式中所有偶次项系数和为D11已知函数f（x）x33lnx1，则（）Af（x）的极大值为0B曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线为x轴Cf（x）的最小值为0Df（x）在定义域内单调12在梯形ABCD中，AB
4、2AD2DC2CB，将BDC沿BD折起，使C到C的位置（C与C不重合），E，F分别为线段AB，AC的中点，H在直线DC上，那么在翻折的过程中（）ADC与平面ABD所成角的最大值为BF在以E为圆心的一个定圆上C若BH平面ADC，则3D当AD平面BDC时，四面体CABD的体积取得最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13一条与直线x2y+30平行且距离大于的直线方程为 14若向量，满足|4，|2，（+）8，则，的夹角为 ，|+| 15若某商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y2040607080根据如表，利用最小二乘法求得y关于x的
5、回归直线方程为x+1.5，据此预测，当投入10万元时，销售额的估计值为 万元16已知yf（x）的图象关于坐标原点对称，且对任意的xR，f（x+2）f（x）恒成立，当1x0时，f（x）2x，则f（2021） 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在平面四边形ABCD中，ADCD，BAD，2ABBD4（1）求cosADB；（2）若BC，求CD18已知数列an满足2an3an+1an+2，a2a11（1）证明：数列an+1an是等比数列；（2）若a1，求数列an的通项公式19如图，平面ABCD平面ABE，ADBC，BCAB，ABBC2AE2，F为CE上一点
6、，且BF平面ACE（1）证明：AE平面BCE；（2）若平面ABE与平面CDE所成锐二面角为60，求AD20某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：时间周一周二周三周四周五活动项目篮球国画排球声乐书法要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；（2）用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X的分布列和数学期望21已知双曲线C：1（a，b0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），其中c0，M（c，3）在C上，且C的离心率为2（1）求C的标准方程；（2）若O为坐标原点，F1
7、MF2的角平分线l与曲线D：1的交点为P，Q，试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由22已知函数f（x）ex，g（x）2ax+1（1）若f（x）g（x）恒成立，求a的取值集合；（2）若a0，且方程f（x）g（x）0有两个不同的根x1，x2，证明：ln2a参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知（RA）B，则下面选项中一定成立的是（）AABABABBCABBDABR解：ABA，AB，AB时，（RA）B，A错误；ABB，BA，（RA）B，B正确；ABB，AB，同选项A，C错误；ABR，AR时，（RA）B，D错误故选：B2中国数学奥
8、林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备，对该校数学集训队进行一次选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示，则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为（）A85，75B85，76C74，76D75，77解：由茎叶图可知，集训队考试成绩为71，72，73，74，74，75，75，77，83，84，85，85，85，86，故众数为85，中位数为故选：B3已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（）A64B48C32D16解：因为圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，故圆锥的底面半径为4，底面周长为8，故圆锥的侧面积是故选
9、：C4将函数f（x）sinx图象上所有点的横坐标变为原来的（0），纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若g（x）的最小正周期为6，则（）AB6CD3解：将函数f（x）sinx图象上所有点的横坐标变为原来的（0），纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，即g（x）sinx，若g（x）的最小正周期为6，则T6，得，故选：A5已知等比数列an的前n项和为Sn，则“Sn+1Sn”是“an单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：在等比数列中，若Sn+1Sn，则Sn+1Sn0，即an+10，数列an1，满足an+10，即满足Sn+1Sn，但an为常数列，不是单调递增
10、数列，不满足条件，即充分性不成立，当a11，q时，满足an单调递增，但Sn+1Sn，不成立，即必要性不成立，即“Sn+1Sn”是“an单调递增”的既不充分也不必要条件，故选：D6已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且|MF|6，则p（）A4B6C8D10解：由抛物线的方程可得准线方程y，设P（x0，y0），由抛物线的性质可得|MF|6y0，由M到直线y2p的距离是M到C的准线距离的2倍可得：2py012，由可得p4，故选：A7已知a3.20.1，blog25，clog32，则（）AbacBcbaCbcaDabc解：13.2
11、0a3.20.13.20.540.52，blog25log242，clog32log331，bac故选：A8已知椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若0，且|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则C的离心率为（）ABCD解：因为|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，设|BF2|x，公差为d，|AB|x+d，|AF2|x+2d，因为0，所以ABBF2，由勾股定理可得：（x+2d）2x2+（x+d）2，解得x3d，由椭圆的定义可得三角形ABF2的周长为4a，由4a3d+4d+5d，即a3d，|BF2|a|BF1|，在直角三角形BF2F1中，a
12、2+a24c2，所以离心率e，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9若复数zi，则（）A|z|2B|z|4Cz的共轭复数+iDz242i解：因为复数zi，所以，故选项A正确，选项B错误；z的共轭复数+i，故选项C正确；，故选项D错误故选：AC10已知（12x）2021ao+a1x+a2x2+a3x3+a2021x2021，则（）A展开式中所有项的二项式系数和为22021B展开式中所有奇次项系数和为C展开式中所有偶次项系数和为D解：（12x）2021ao+a1x+a2x2+a3x3+a
13、2021x2021，故所有项的二项式系数和为2n22021，故A正确；令x1，可得aoa1+a2a3+a202132021，令x1，可得ao+a1+a2+a3+a20211 ，+，并除以2，可得展开式中所有偶次项系数和为ao+a2+a4+a3+a2020，故C正确；，并除以2，可得奇次项的系数和为 a1+a3+a5+a2021，故B错误；令x，可得a0+0，而a01，+1，故D正确，故选：ACD11已知函数f（x）x33lnx1，则（）Af（x）的极大值为0B曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线为x轴Cf（x）的最小值为0Df（x）在定义域内单调解：f（x）3x2，当x1时，f（x）0，f（
14、x）单调递增，当0x1时，f（x）0，f（x）单调递减，对于A：f（x）极小值f（1）0，故A错误；对于B：k切f（1）0，f（1）0，所以曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线为y00（x1），即y0，故B正确；对于C：f（x）minf（x）极小值f（1）0，故C正确；对于D：f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，故D错误故选：BC12在梯形ABCD中，AB2AD2DC2CB，将BDC沿BD折起，使C到C的位置（C与C不重合），E，F分别为线段AB，AC的中点，H在直线DC上，那么在翻折的过程中（）ADC与平面ABD所成角的最大值为BF在以E为圆心的一个定圆上C若BH平面ADC
15、，则3D当AD平面BDC时，四面体CABD的体积取得最大值解：如图，在梯形ABCD中，因为ABCD，AB2AD2DC2CB，所以得到ADDB，DAB，BDCDBC，在将BDC沿BD翻折至BDC的过程中，BDC与DBC的大小保持不变，由线面角的定义可知，DC与平面ABD所成角的最大值为，故选项A正确；因为DBC大小不变，所以在翻折的过程中，C的轨迹在以BD为轴的一个圆锥的底面圆周上，而EF是ABC的中位线，所以点F的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，但此圆的圆心不是点E，故选项B不正确；当BH平面ADC时，BHDH，因为HCB，所以DCBC2CH，所以，故选项C正确；在翻折的过程中，BCD的面积不变，
16、故当AD平面BDC时，四面体CABD的体积取得最大值，故选项D正确故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13一条与直线x2y+30平行且距离大于的直线方程为x2y+c0（c2或c8）解：因为所求直线与x2y+30平行，故设所求直线方程为x2y+c0，因为直线与x2y+30的距离大于，所以，解得c2或c8，故与直线x2y+30平行且距离大于的直线方程为x2y+c0（c2或c8）故答案为：x2y+c0（c2或c8）14若向量，满足|4，|2，（+）8，则，的夹角为，|+|2解：因为|4，|2，所以（+）8，故，所以cos，因为，故而故答案为：15若某商品的广告费支出x（单位：万
17、元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y2040607080根据如表，利用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为x+1.5，据此预测，当投入10万元时，销售额的估计值为106.5万元解：（2+4+5+6+8）5，（20+40+60+70+80）54，样本中心为（5，54），将其代入回归直线方程x+1.5中，有545+1.5，解得10.5，回归直线方程为10.5x+1.5，当x10时，10.510+1.5106.5，当投入10万元时，销售额的估计值为106.5万元故答案为：106.516已知yf（x）的图象关于坐标原点对称，且对任意的xR，f（x+2）f（x）恒成立，当1x
18、0时，f（x）2x，则f（2021）解：根据题意，yf（x）的图象关于坐标原点对称，即yf（x）是奇函数，则有f（x）f（x），又由对任意的xR，f（x+2）f（x）恒成立，即f（x+2）f（x）恒成立，则有f（x+4）f（x+2）f（x）对任意的x都成立，故f（x）是周期为4的周期函数，则f（2021）f（1+4505）f（1）f（1），当1x0时，f（x）2x，则f（1）21，则f（2021）f（1）f（1），故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在平面四边形ABCD中，ADCD，BAD，2ABBD4（1）求cosADB；（2）若BC，
19、求CD解：（1）ABD中，由余弦定理得，cosDAB，cosADB，因为BAD，AB2，BD4，故AD，cosADB，（2）由（1）得sinADB，因为ADCD，即ADC90，所以cosADCcos（ADB+BDC）0，解得，cosBDC，根据余弦定理得，cosBDC，所以，故CD3或CD（舍），故CD318已知数列an满足2an3an+1an+2，a2a11（1）证明：数列an+1an是等比数列；（2）若a1，求数列an的通项公式【解答】（1）证明：2an3an+1an+2，an+2an+12（an+1an），又a2a11，数列an+1an是首项为1，公比为2等比数列；（2）解：由（1）可得
20、：an+1an2n1，a1，an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a12n2+2n3+20+a1+2n1，n2，又a1，也适合上式，an2n119如图，平面ABCD平面ABE，ADBC，BCAB，ABBC2AE2，F为CE上一点，且BF平面ACE（1）证明：AE平面BCE；（2）若平面ABE与平面CDE所成锐二面角为60，求AD解：（1）证明：因为平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，BCAB，BC平面ABCD，所以BC平面ABE，又因为AE平面ABE，所以BCAE，又因为BF平面ACE，AE平面ACE，所以BFAE，又因为BFBCB，所以AE平面BCE（2）设AD
21、t，由（1）知AE平面BCE，BE平面BCE，所以AEBE，建立如图所示的空间直角坐标系，A（0，1，0），B（，0，0），D（0，1，t），E（0，0，0），C（，0，2），（0，1，t），（，0，2），设平面CDE的法向量为（x，y，z），令z，（2，t，），平面ABE法向量为（0，0，1），因为平面ABE与平面CDE所成锐二面角为60，所以cos60，解得t故AD20某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：时间周一周二周三周四周五活动项目篮球国画排球声乐书法要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项（1）求甲选
22、排球且乙未选排球的概率；（2）用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X的分布列和数学期望解：（1）甲选排球的概率，乙未选排球的概率，甲选排球且乙未选排球的概率（2）用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，则X0，1，2，3乙，丙选排球的概率都为， 选排球 不选排球 甲 乙 丙 P（X0），P（X1）+，P（X2）2+，P（X3），X的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望E（X）0+1+2+321已知双曲线C：1（a，b0）的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），其中c0，M（c，3）在C上，且C的离心率为2（1）求C的标准方程；（2）若O为坐标原点，F1MF2的角平分
23、线l与曲线D：1的交点为P，Q，试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由解：（1）由题意可得e2，即c2a，ba，又M（c，3）在C上，可得1，解得b，a1，则双曲线的方程为x21；（2）由（1）可得M（2，3），曲线D的方程为+1，在直角三角形MF1F2中，MF2F1F2，|MF2|3，|F1F2|4，|MF1|5，设F1MF2的角平分线l与x轴交于N，由角平分线的性质定理可得，又|NF1|+|NF2|F1F2|4，解得|NF2|，所以tanMNF22，可得直线l的方程为y32（x2），即y2x1，联立，可得19x216x80，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得162419（8）0，x1
24、+x2，x1x2，y1y2（2x11）（2x21）4x1x22（x1+x2）+1+1，所以x1x2+y1y20，所以OP与OQ不垂直22已知函数f（x）ex，g（x）2ax+1（1）若f（x）g（x）恒成立，求a的取值集合；（2）若a0，且方程f（x）g（x）0有两个不同的根x1，x2，证明：ln2a【解答】（1）解：令h（x）f（x）g（x）ex2ax1，h（x）ex2a，当a0时，h（x）0恒成立，所以h（x）在R上单调递增，因为h（0）0，所以当x0时，h（x）0，与题意不符；当a0时，令h（x）0，解得xln2a，当x（，ln2a）时，h（x）0，h（x）单调递减，当x（ln2a，+）
25、时，h（x）0，h（x）单调递增，所以h（x）minh（ln2a）2a2aln2a10，令u（x）xxlnx1，u（x）lnx，当x（0，1）时，u（x）0，u（x）单调递增，当x（1，+），u（x）0，u（x）单调递减，所以u（x）u（1）0，即xxlnx10，所以2a2aln2a10，所以2a2aln2a10，解得a，所以a的取值集合为（2）证明：不妨设x1x2，由题意可得h（x1）0，h（x2）0所以2ax110，2ax210，所以2a，要证ln2a，即证2a，即证，两边同除以，即证，即证（x1x2）1，即证（x1x2）+10，令x1x2t（t0）即证不等式tet+10（t0）恒成立设（t）tet+1，（t）+tet（1+t）et（1+t），设G（x）ex（x+1），x0，所以G（x）ex10，G（x）单调递减，G（x）G（0）0，即ex（x+1）0，所以（1+t）0，所以（t）0，所以（t）在（，0）上是减函数所以（t）在t0处取得极小值（0）0所以（t）0则ln2a
