1、2015-2016学年广西来宾市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1已知数列an的通项公式为an=4n3，则a5的值是（）A9B13C17D212下列命题为真命题的是（）A若acbc，则abB若a2b2，则abC若，则abD若，则ab3若aR，则“a=2”是“（a2）（a+4）=0”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4已知命题P：x2，x380，那么P是（）Ax2，x380Bx2，x380Cx2，x380Dx2，x3805在正方体ABCDA1B1C1D1中，（）=（）
2、ABCD6等差数列an中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A66B99C144D2977在ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）A60B45C120D1508已知点（x，y）满足不等式组，则z=xy的取值范围是（）A2，1B2，1C1，2D1，29已知椭圆=1（a5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则ABF2的周长为（）A10B20CD10已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（）AB2CD11若f（x）=x+，则下列结论正确的是（）Af（x）的最小
3、值为4Bf（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增Cf（x）的最大值为4Df（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+）上单调递减12已知双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（，）B，C（，+）D，+）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13不等式0的解集是 14在ABC中，若2cosBsinA=sinC，则ABC的形状一定是三角形15公差非0的等差数列an满足a3=6且a1，a2，a4成等比数列，则an的公差d=16设x0，y0且x+y=1，则的最小值为三、解答题（本大题共
4、6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosCcsinA=0（）求角C的大小；（）已知b=4，ABC的面积为6，求边长c的值18等差数列an中，a3=3，a1+a4=5（）求数列an的通项公式；（）若，求数列bn的前n项和Sn19（1）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=，求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，），（，），求双曲线的标准方程20已知函数f（x）=ax2+bxa+2（1）若关于x的不等式f（x）0的解集是（1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a0，解关于x的不等
5、式f（x）021如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上（1）求证：平面AEC平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小22已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）证明：OAB的面积为定值2015-2016学年广西来宾市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1已知数列an的通项公式为an=4n3，则a5的值是（）A9
6、B13C17D21【考点】数列的概念及简单表示法【专题】计算题【分析】由题目给出的数列的通项公式直接代入n的值求a5的值【解答】解：由数列an的通项公式为an=4n3，得a5=453=17故选C【点评】本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了由数列的通项求某一项的值，是基础的计算题2下列命题为真命题的是（）A若acbc，则abB若a2b2，则abC若，则abD若，则ab【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】分别举例说明选项A，B，C错误；利用基本不等式的性质说明D正确【解答】解：由acbc，当c0时，有ab，选项A错误；若a2b2，不一定有ab，如（3）2（2）2，但32，选项B
7、错误；若，不一定有ab，如，当23，选项C错误；若，则，即ab，选项D正确故选：D【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，是基础题3若aR，则“a=2”是“（a2）（a+4）=0”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性，从而得到答案，【解答】解：若a=2，则（a2）（a+4）=0，是充分条件，若（a2）（a+4）=0，则a不一定等于2，是不必要条件，故选：B【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题4已知命题P：x2，x380，那么
8、P是（）Ax2，x380Bx2，x380Cx2，x380Dx2，x380【考点】命题的否定；全称命题【专题】规律型【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可【解答】解：命题P为全称命题，其否定为特称命题，则P：x2，x380，故选B【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题5在正方体ABCDA1B1C1D1中，（）=（）ABCD【考点】向量的减法及其几何意义【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用【分析】利用向量的三角形法则即可得出【解答】解：（）=，故选：C【点评】本题考查了向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6等差
9、数列an中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A66B99C144D297【考点】等差数列的前n项和【专题】计算题【分析】根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分别得到和，用得到d的值，把d的值代入即可求出a1，根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13，由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9，得d=2，把d=2代入得到a1=19，则前9项的和S9=919+（2）=99故选B【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的
10、公式化简求值，是一道中档题7在ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）A60B45C120D150【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】由余弦定理a2=b2+c22bccosA与题中等式比较，可得cosA=，结合A是三角形的内角，可得A的大小【解答】解：由余弦定理，得a2=b2+c22bccosA又a2=b2+c2+bc，cosA=又A是三角形的内角，A=150，故选：D【点评】本题考查了余弦定理的应用，特殊角的三角函数值的求法，属于基础题8已知点（x，y）满足不等式组，则z=xy的取值范围是（）A2，1B2，1C1，2D1，2【考点】简单线性规划【专题】数形结合；转化法；不等式【分析
11、】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=xy，得y=xz表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，平移直线y=xz，当直线y=xz经过点C（2，0）时，直线y=xz的截距最小，此时z最大，当直线经过点A（0，1）时，此时直线y=xz截距最大，z最小此时zmax=2zmin=01=11z2，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决9已知椭圆=1（a5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则ABF2的周长为（）A10B20CD【考点】椭
12、圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据椭圆=1，得出b=5，再由|F1F2|=8，可得c=4，求得a=，运用定义整体求解ABF2的周长为4a，即可求解【解答】解：由|F1F2|=8，可得2c=8，即c=4，由椭圆的方程=1（a5）得：b=5，则a=，由椭圆的定义可得，ABF2的周长为c=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4故选：D【点评】本题考查了椭圆的方程，定义，整体求解的思想方法，属于中档题10已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=
13、1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（）AB2CD【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】先根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，根据点A在抛物线外可得到|PA|+d的最小值为|AF|，再由两点间的距离公式可得答案【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=1，焦点F坐标（1，0）因为点A（3，4）在抛物线外，根据抛物线的定义可得|PA|+d的最小值为|AF|=故答案为：2【点评】本题主要考查抛物线的基本性质，等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题11若f（x）=x+，则下列结论正确的是（）Af（x）的最小值为4Bf（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增Cf（x）的最大
14、值为4Df（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+）上单调递减【考点】对勾函数【专题】作图题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】直接画出对勾函数f（x）=x+的图象的大致形状，由图象得答案【解答】解：函数f（x）=x+的定义域为x|x0，函数的图象如图，由图可知，函数在定义域上无最小值，故A错误；f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，故B正确；函数在定义域上无最大值，故C错误；f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，故D错误故选：B【点评】本题考查对勾函数的图象和性质，熟记的图象是关键，是基础题12已知双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，若过点F
15、且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（，）B，C（，+）D，+）【考点】双曲线的简单性质【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】若过点F且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围【解答】解：已知双曲线=1的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，即有，由e2=1+，e，故选：D【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，考查离心率的范围的求法，解题时要注意渐近线方
16、程的运用，考查运算能力，属于中档题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13不等式0的解集是 x|1x，xR【考点】其他不等式的解法【专题】计算题；转化思想【分析】不等式0说明：12x 和 x+1是同号的，可等价于（12x）（x+1）0，然后解二次不等式即可【解答】解：不等式0等价于（12x）（x+1）0，不等式对应方程（12x）（x+1）=0的两个根是x=1 和 x=由于方程对应的不等式是开口向下的抛物线，所以0的解集为x|1x故答案为：x|1x，xR【点评】本题考查分式不等式的解法，考查转化思想，计算能力，是基础题14在ABC中，若2cosBsinA=sinC，则ABC的形状一
17、定是等腰三角形【考点】三角形的形状判断【专题】计算题【分析】等式即 2cosBsinA=sin（A+B），展开化简可得sin（AB）=0，由AB，得 AB=0，故三角形ABC是等腰三角形【解答】解：在ABC中，若2cosBsinA=sinC，即 2cosBsinA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinAcosBcosAsinB=0，即 sin（AB）=0，AB，AB=0，故ABC 为等腰三角形，故答案为：等腰【点评】本题考查两角和正弦公式，诱导公式，根据三角函数的值求角，得到sin（AB）=0，是解题的关键15公差非0的等差数列an满足a3=6且a1，a2，a4成等比数
18、列，则an的公差d=2【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式即可得到结论【解答】解：a1，a2，a4成等比数列，a3=6，a1=62d，a2=6d，a4=6+d，则（6d）2=（62d）（6+d），即3d2=6d，解得d=2或d=0（舍），故答案为：2【点评】本题主要考查等差数列的公差的计算，根据条件建立方程组是解决本题的关键16设x0，y0且x+y=1，则的最小值为9【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】不等式的解法及应用【分析】先把转化成=（）（x+y）展开后利用均值不等式进行求解，注意等号成立的条件【解答】解：x0，y0且x+y
19、=1，=（）（x+y）=1+4+5+2=9，当且仅当=，即x=3，y=6时取等号，的最小值是9故答案为：9【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则属于基础题三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosCcsinA=0（）求角C的大小；（）已知b=4，ABC的面积为6，求边长c的值【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】（）由正弦定理得： sinAcosCsinCsinA=0，即可解得tanC=，从而求得C的值；（
20、）由面积公式可得SABC=6，从而求得得a的值，由余弦定理即可求c的值【解答】解：（）在ABC中，由正弦定理得： sinAcosCsinCsinA=0 因为0A，所以sinA0，从而cosC=sinC，又cosC0，所以tanC=，所以C=（）在ABC中，SABC=6，得a=6，由余弦定理得：c2=62+422=28，所以c=2【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题18等差数列an中，a3=3，a1+a4=5（）求数列an的通项公式；（）若，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；等差
21、数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】（）设数列an的公差为d，由解得a1与d，再利用等差数列的通项公式即可得出（）利用an=n，an+1=n+1，可得，再利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（）设数列an的公差为d，由解得，an=a1+（n1）d=1+（n1）1=n（）an=n，an+1=n+1，=【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”等基础知识与基本方法，属于中档题19（1）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=，求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，），（，），求双曲线的标准方程【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲
22、线的定义、性质与方程【分析】（1）设抛物线方程为y2=2px（p0），根据题意建立关于p的方程，解之可得p=，得到抛物线方程；（2）设双曲线方程为mx2ny2=1（m0，n0），代入点（，），（，），可得方程组，求出m，n，即可求双曲线的标准方程【解答】解：（1）由题意，设抛物线的标准方程为y2=2px（p0），抛物线的准线方程为x=，=，解得p=，故所求抛物线的标准方程为y2=x（2）设双曲线方程为mx2ny2=1（m0，n0），代入点（，），（，），可得，m=1，n=，双曲线的标准方程为x2y2=1【点评】本题给出抛物线的准线，求抛物线的标准方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，考
23、查双曲线方程，属于基础题20已知函数f（x）=ax2+bxa+2（1）若关于x的不等式f（x）0的解集是（1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a0，解关于x的不等式f（x）0【考点】一元二次不等式的应用【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bxa+2=0的两根分别为1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（axa+2）0，由此讨论1与的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集【解答】解：（1）不等式f（x）0的解集是（1，3）1，3是方程ax2+
24、bxa+2=0的两根，可得，解之得（2）当b=2时，f（x）=ax2+2xa+2=（x+1）（axa+2），a0，若，即a=1，解集为x|x1若，即0a1，解集为若，即a1，解集为【点评】本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题21如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上（1）求证：平面AEC平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【专题】计算题；证明题【分析】（）欲
25、证平面AEC平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC平面PDB；（）设ACBD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知AEO为AE与平面PDB所的角，在RtAOE中求出此角即可【解答】（）证明：四边形ABCD是正方形，ACBD，PD底面ABCD，PDAC，AC平面PDB，平面AEC平面PDB（）解：设ACBD=O，连接OE，由（）知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所的角，O，E分别为DB、PB的中点，OEPD，又PD底面ABCD，OE底面ABCD，OEAO，在RtAOE中，AEO=45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45【点
26、评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题22已知椭圆的两个焦点为F1、F2，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF1|+|AF2|=4，O为坐标原点（1）求椭圆的方程；（2）证明：OAB的面积为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由椭圆的离心率，结合椭圆的定义及隐含条件求得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（）设出直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联直线方程和椭圆方程，由根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，结合，得到A
27、，B的横坐标的乘积再由y1y2=（kx1+m）（kx2+m）求得A，B的纵坐标的乘积，最后把OAB的面积转化为含有k，m的代数式可得为定值【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，可得，即a=，又2a=|AF1|+|AF2|=，a=，c=2，b2=4，椭圆方程为：；（）设直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0=（4km）24（1+2k2）（2m28）=8（8k2m2+4）0，又y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，（m24）=m28k2，即4k2+2=m2，设原点到直线AB的距离为d，则=，当直线斜率不存在时，有A（），B（），d=2，SOAB=即OAB的面积为定值2【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题
