1、授课提示:对应学生用书第363页A组基础保分练1(2020高考全国卷)已知A为抛物线C:y22px(p0)上一点,点A到点C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p()A2B3C6 D9解析:设A(x,y),由抛物线的定义知,点A到准线的距离为12,即x12又因为点A到y轴的距离为9,即x9,所以912,解得p6答案:C2已知抛物线y22px(p0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为()A4 B9C10 D18解析:抛物线y22px的焦点为,准线方程为x由题意可得49,解得p10,所以该抛物线的焦点到准线的距离为10答案:C3(2021安阳模拟)已知抛物
2、线C:y22px(p0)的焦点为F,准线为l,l与x轴的交点为P,点A在抛物线C上,过点A作AAl,垂足为A若四边形AAPF的面积为14,且cosFAA,则抛物线C的方程为()Ay2x By22xCy24x Dy28x解析:过点F作FFAA,垂足为F设|AF|3x,因为cosFAA,故|AF|5x,则|FF|4x,由抛物线定义可知,|AF|AA|5x,则|AF|2xp,故x四边形AAPF的面积S14,解得p2,故抛物线C的方程为y24x答案:C4过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若|AF|2|BF|,则|AB|等于()A4 BC5 D6解析:易知直线l的斜率存在,设为k,
3、则其方程为yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20,得xAxB1,因为|AF|2|BF|,由抛物线的定义得xA12(xB1),即xA2xB1,由解得xA2,xB,所以|AB|AF|BF|xAxBp答案:B5(2021合肥检测)已知双曲线x21的两条渐近线分别与抛物线y22px(p0)的准线交于A,B两点O为坐标原点若OAB的面积为1,则p的值为()A1 BC2 D4解析:双曲线的两条渐近线方程为y2x,抛物线的准线方程为x,故A,B两点的坐标为,|AB|2p,所以SOAB2p1,解得p答案:B6(2021广东六校联考)抛物线y2x2上有一动弦AB,中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标
4、的最小值为()A BC D1解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),直线AB的方程为ykxb,由题意知y0b0,联立得整理得2x2kxb0,k28b0,x1x2,x1x2,则|AB|,点M的纵坐标y0xxb因为弦AB的长为3,所以3,即(1k2)9,故(14y04b)(y0b)9,即(14y04b)(4y04b)36由基本不等式得,(14y04b)(4y04b)212,当且仅当时取等号,得18y012,y0,故点M的纵坐标的最小值为答案:A7已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为(0,2),则此抛物线的标准方程为_解析:依题意可设抛物线的方程为x22py(p0),因为焦点
5、坐标为(0,2),所以2,解得p4故所求的抛物线的标准方程为x28y答案:x28y8直线l过抛物线C:y22px(p0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p,_解析:由1,得p2当直线l的斜率不存在时,l:x1,代入y24x,得y2,此时|AF|BF|2,所以1;当直线l的斜率存在时,设l:yk(x1)(k0),代入抛物线方程,得k2x22(k22)xk20,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x21,1综上,1答案:219已知抛物线y22px(p0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点
6、为M(1)求抛物线的方程;(2)若过M作MNFA,垂足为N,求点N的坐标解析:(1)抛物线y22px的准线为x,于是45,p2,抛物线方程为y24x(2)点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2)又F(1,0),kFAMNFA,kMN又FA的方程为y(x1),故MN的方程为y2x,解方程组得x,y,N的坐标为10(2021襄阳联考)动点P到定点F(0,1)的距离比它到直线y2的距离小1设动点P的轨迹为曲线C,过点F的直线交曲线C于A,B两个不同的点,过点A,B分别作曲线C的切线,且两切线相交于点M(1)求曲线C的方程;(2)求证:0解析:(1)由已知得动点P在直线y2的上方,条
7、件可转化为动点P到定点F(0,1)的距离等于它到直线y1的距离,动点P的轨迹是以F(0,1)为焦点,直线y1为准线的抛物线,故其方程为x24y(2)证明:设直线AB的方程为ykx1则得x24kx40设A(xA,yA),B(xB,yB),则xAxB4k,xAxB4由x24y得yx2,yx直线AM的方程为yxxA(xxA),直线BM的方程为yxxB(xxB),得(xx)(xAxB)x(xx),x2k将x代入,得yxxAxAxBx,yxAxB1,M(2k,1)(2k,2),(xBxA,k(xBxA),2k(xBxA)2k(xBxA)0B组能力提升练1若抛物线y22px(p0)上一点到焦点和到抛物线对
8、称轴的距离分别为10和6,则抛物线的方程为()Ay24x By236xCy24x或y236x Dy28x或y232x解析:因为抛物线y22px(p0)上一点到抛物线对称轴的距离为6,所以可设该点为P(x0,6)因为P到抛物线焦点F的距离为10,所以根据抛物线的定义得x010因为P在抛物线上,所以362px0由解得p2,x09或p18,x01,所以抛物线的方程为y24x或y236x答案:C2(2021武汉模拟)已知抛物线y24x的焦点为F,点A(5,3),M为抛物线上一点,且M不在直线AF上,则MAF周长的最小值为()A10 B11C12 D13解析:由题意知,当|MA|MF|的值最小时,MAF
9、的周长最小设点M在抛物线的准线上的射影为D,根据抛物线的定义,可知|MD|MF|,因此|MA|MF|的最小值即|MA|MD|的最小值根据平面几何的知识可得,当D,M,A三点共线时,|MA|MD|最小,最小值为xA(1)516又|FA|5,所以MAF周长的最小值为6511答案:B3(2021河北六校模拟)抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则抛物线的方程为_解析:设满足题意的圆的圆心为M根据题意可知圆心M在抛物线上又圆的面积为36,圆的半径为6,则|MF|xM6,则xM6又由题意可知xM,6,解得p8抛物线方程为y216
10、x答案:y216x4(2021成都摸底)已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,准线为l若位于x轴上方的动点A在准线l上,线段AF与抛物线C相交于点B,且|AF|1,则抛物线C的标准方程为_解析:如图,设直线l与x轴交于点D,过点B作BEl于点E,则|DF|p由抛物线的定义知|BE|BF|设|BE|BF|m,因为AEBADF,所以,即,所以,所以|AF|由|AF|1,得1,解得p1,所以抛物线C的标准方程为y22x答案:y22x5在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:x22py(p0)的焦点为F,点A在抛物线C上,若|AO|AF|(1)求抛物线C的方程;(2)设直线l与抛物线C交于P,Q两点
11、,若线段PQ的中点的纵坐标为1,求OPQ的面积的最大值解析:(1)因为点A在C上,|AO|AF|,所以点A的纵坐标为,所以,所以p2,所以抛物线C的方程为x24y(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为ykxb(b0),代入抛物线方程,可得x24kx4b0设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1x24k,x1x24b,所以y1y24k22b,因为线段PQ的中点的纵坐标为1,所以2k2b1,即2k21b0,所以0b1,SOPQb|x1x2|bbb(0b1)设yb3b2,y3b22b0,函数单调递增,所以当b1时,OPQ的面积取最大值为26已知抛物线C:x22py(p0)和定点M(0,
12、1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程解析:设直线AB:ykx1,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0,则x1x22pk,x1x22p(1)由x22py得y,则A,B处的切线斜率的乘积为,因为点N在以AB为直径的圆上,所以ANBN,所以1,所以p2(2)易得直线AN:yy1(xx1),直线BN:yy2(xx2),联立,得结合式,解得即N(pk,1)|AB|x2x1|,点N到直线AB的距离d,则ABN的面积SA
13、BN|AB|d2,当k0时,取等号因为ABN的面积的最小值为4,所以24,所以p2,故抛物线C的方程为x24yC组创新应用练1(2021兰州模拟)设抛物线y28x的焦点为F,过点M(4,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|4,则BCF与ACF的面积之比()A BC D解析:由抛物线方程y28x,得焦点F的坐标为(2,0),准线方程为x2如图,过点A,B分别作准线的垂线,垂足分别为E,N设直线AB的方程为yk(x4)(k0),则由消去y并整理得k2x2(8k28)x16k20设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x216由抛物线的定义知|BF|BN|x224,所以x22,所以x18,所以|AE|x1210因为BNAE,所以答案:D2已知抛物线xy2的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),抛物线的准线交x轴于点K,则最小时,直线AK的斜率为()A1 BC D2解析:xy2可化为y28x如图,过A作准线的垂线,垂足为A1因为|AF|AA1|,所以sinAKA1若最小,则sinAKA1最小,即AKA1最小数形结合可得,直线AK与抛物线y28x相切时,AKA1最小设直线AK的方程为yk(x2),且k0,与y28x联立,得消去x,得ky28y16k0,由6464k20,得k1答案:A