1、第 26 讲 平面向量的数量积及应用【学习目标】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题.【基础检测】1.在四边形 ABCD 中，AB DC，且AC BD 0，则四边形 ABCD 是()A.矩形 B.菱形C.直角梯形 D.等腰梯形 B【解析】由AB DC 知四边形 ABCD 为平行四边形，又因为AC BD 0，即ABCD 的两条对角线垂直，所以四边形 ABCD 为菱形.2.设向量
2、a 与 b 的夹角为，定义 a 与 b 的“向量积”：ab 是一个向量，它的模|ab|a|b|sin ，若 a(3，1)，b(1，3)，则|ab|等于()A.3B.2 C.2 3 D.4B【解析】|a|b|2，ab2 3，cos 2 322 32.又 0，sin 12.|ab|22122.故选 B.3.已知点 A(1，1)、B(1，2)、C(2，1)、D(3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为()A.3 22 B.3 152C.3 22D.3 152A【解析】解法一：由已知易得AB(2，1)，CD(5，5)，所以向量AB 在CD 方向上的投影为AB cos AB AB CDABCD AB
3、 CDCD（2，1）（5，5）5 23 22.故选 A.解法二：由已知易得AB(2，1)，CD(5，5)，所以 cos AB CDABCD（2，1）（5，5）55 23 1010.故 向量 AB 在 CD 方 向上 的投 影为 AB cos 53 1010 3 22.故选 A.4.如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边CD 上，若AB AF 2，则AE BF 的值是_.2【解析】以 A 为坐标原点，AB，AD 所在的直线分别为 x，y 轴建立直角坐标系，则 B(2，0)，E(2，1)，D(0，2)，C(2，2).设 F(x，2)(0 x 2)，由A
4、B AF 2 2x 2x1，所以 F(1，2)，AE BF(2，1)(1 2，2)2.【知识要点】1.两向量的夹角已知非零向量 a，b，作OA a，OB b，则AOB叫做 a 与 b 的夹角.a 与 b 的夹角的取值范围是.当 a 与 b 同向时，它们的夹角为_；当 a 与 b反向时，它们的夹角为_；当夹角为 90时，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab.2.向量数量积的定义已知两个非零向量 a 与 b，我们把叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab|a|b|cos .0，0|a|b|cos 规定：零向量与任何向量的数量积为 0，即 0a0.3.向量数量积的几何意义向量的投影
5、：|a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，当 为锐角时，它是正值；当 为钝角时，_；当 为直角时，它是零.ab 的几何意义：数量积 ab 等于与b 在 a 方向上的投影|b|cos 的乘积.4.平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b 的夹角.它是负值a的长度|a|结论几何表示坐标表示 模|a|aa|a|数量积ab|a|b|cos abx1x2y1y2 夹角cos ab|a|b|cos ab 的充要条件 ab0|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21 x22y22x
6、1x2y1y2x21y21 x22y22x1x2y1y20 x21y215.平面向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(R).(3)(ab)cacbc.一、数量积的运算例1已知向量 a(1，2)，b(2，2).(1)设 c4ab，求(bc)a；(2)若 ab 与 a 垂直，求 的值；(3)求向量 a 在 b 方向上的投影.【解析】(1)a(1，2)，b(2，2)，c4ab(4，8)(2，2)(6，6).bc26260，(bc)a0a0.(2)ab(1，2)(2，2)(21，22)，由于 ab 与 a 垂直，212(22)0，52.的值为52.(3)设向量 a 与 b
7、的夹角为，向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos.|a|cos ab|b|122（2）22（2）2 22 2 22.【点评】平面向量的数量积运算形式分为“定义式和坐标式”两种，在运算过程中注意数量运算法则的灵活应用.二、向量的模与夹角例2在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)，B(0，3)，C(3，0).(1)求向量AC，BC 夹角的大小；(2)若动点 D 满足CD 1，求OA OB OD 的最大值.【解析】(1)因为 A(1，0)，B(0，3)，C(3，0)，所以AC(4，0)，BC(3，3)，所以 cosAC，BC 124 12 32，所以向量AC，BC 的夹角为 30.(2)
8、因为 C 的坐标为(3，0)且|CD|1，所以动点 D的轨迹为以 C 为圆心的单位圆，则 D 满足参数方程xD3cos yDsin(为参数且 0，2)，所以设 D的坐标为(3cos，sin)(0，2)，则|OAOBOD|（3cos 1）2（sin 3）282（2cos 3sin），因 为2cos 3 sin 的 最 大 值 为22（3）2 7，所以|OA OB OD|的最大值为82 7（1 7）21 7.【点评】本题考查了向量的夹角与向量的模长两个概念，与三角函数只是联系在一起.三、向量的数量积的综合例 3 在ABC 中，已知 2AB AC 3|AB|AC|3BC 2，求角 A，B，C 的大小
9、.【解析】设 BCa，ACb，ABc.由 2AB AC 3|AB|AC|得 2bccos A 3bc，所以 cos A 32.又 A(0，)，因此 A6.由 3|AB|AC|3BC 2，得 cb 3a2.于是 sin Csin B 3sin2A 34.所以 sin Csin56 C 34，sin C12cos C 32 sin C 34.因此 sin 2C 3cos 2C0 即 2sin2C3 0.由 A6 知 0C56，所以3 2C3 0，b，e1b，e230.由 be11，得|b|e1|cos 301，|b|1322 33.2 331.已知 a(1，3)，b(4，6)，c(2，3)，则 a
10、(bc)等于()A.(26，78)B.(28，42)C.52 D.78【解析】a(bc)(1，3)(4263)(26，78).A2.设向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，其中 0，若|2ab|a2b|，则()A.2 B.2 C.4 D.4【解析】由|2ab|a2b|得 3|a|23|b|28ab0，而|a|b|1，故 ab0，cos cos sin sin 0，即 cos()0，由于 0，故0，2，即 2.A3.已知平面向量 a(2，m)，b(1，3)，且(ab)b，则实数 m 的值为()A.2 3B.2 3C.4 3D.6 3【解析】因为(ab)b，所以(ab)babb
11、20，即2 3m40，解得 m2 3.B4.已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量 a 与b 的夹角为()A.2B.3 C.4 D.6【解析】a(ba)aba22，所以 ab3，所以 cosa，b ab|a|b|31612.所以a，b3.B5.设 e1，e2 为单位向量，且 e1，e2 的夹角为3，若 ae13e2，b2e1，则向量 a 在 b 方向上的投影为_.52【解析】本题考查向量的数量积、向量的投影及模长公式，意在考查考生的运算能力.依题意得|e1|e2|1 且 e1e212，ab(e13e2)2e12e216e1e226125，|b|2，所以向量 a 在 b 方向上的投影为|a
12、|cosa，bab|b|52.6.若平面向量 a，b 满足|2ab|3，则 ab 的最小值是.【解析】由|2ab|3 可知，4a2b24ab9，所以 4a2b294ab，而 4a2b2|2a|2|b|22|2a|b|4ab，所以 ab98，当且仅当 2ab时取等号.987.在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60，E 为 CD 的中点.若AC BE 1,则 AB 的长为.【解析】本题考查平面向量的运算，意在考查考生的运算求解能力.设|AB|x，x0，则AB AD 12x.又AC BE(AD AB)AD 12AB 112x214x1，解得 x12，即 AB 的长为12.128.已知向量 a
13、(sin ，cos 2sin )，b(1，2).(1)若 ab，求 tan 的值；(2)若|a|b|，0，求 的值.【解析】(1)因为 ab，所以 2sin cos 2sin，于是 4sin cos，故 tan 14.(2)由|a|b|知，sin2(cos 2sin)25，所以 12sin 24sin25.从而2sin 22(1cos 2)4，即 sin 2cos 21，于是 sin24 22.又由 0知，4 24 94，所以 24 54 或 24 74.因此 2 或 34.9.设在平面上有两个向量 a(cos ，sin )(0 360)，b12，32.(1)求证：向量 ab 与 ab 垂直；(2)当向量 3ab 与 a 3b 的模相等时，求 的大小.【解析】(1)证明：因为(ab)(ab)|a|2|b|2(cos2sin2)1434 0，故 ab 与 ab 垂直.(2)由|3ab|a 3b|，两边平方得 3|a|22 3ab|b|2|a|22 3ab3|b|2，所以 2(|a|2|b|2)4 3ab0，而|a|b|，所以 ab0，则12 cos 32 sin 0，即 cos(60)0，60k18090，即 k18030，kZ，又 0360，则 30或 210.
