1、2.12 函数的综合问题知识梳理函数的综合应用主要体现在以下几方面：1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.3.函数与实际应用问题的综合.点击双基1.已知函数f（x）=lg（2xb）（b为常数），若x1，+）时，f（x）0恒成立，则A.b1 B.b1 C.b1 D.b=1解析：当x1，+）时，f（x）0，从而2xb1，即b2x1.而x1，+）时，2x1单调增加，b21=1.答案：A2.（2003年郑州市质检题）若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过
2、点A（0，3）和B（3，1），则不等式|f（x+1）1|2的解集是_.解析：由|f（x+1）1|2得2f（x+1）12，即1f（x+1）3.又f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象过点A（0，3），B（3，1），f（3）f（x+1）f（0）.0x+13，1x2.答案：（1，2）典例剖析【例1】 取第一象限内的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），使1，x1，x2，2依次成等差数列，1，y1，y2，2依次成等比数列，则点P1、P2与射线l:y=x（x0）的关系为A.点P1、P2都在l的上方B.点P1、P2都在l上C.点P1在l的下方，P2在l的上方D.点P1、P2都在l的下方剖析：x1=+
3、1=，x2=1+=，y1=1=，y2=，y1x1，y2x2，P1、P2都在l的下方.答案：D【例2】 已知f（x）是R上的偶函数，且f（2）=0，g（x）是R上的奇函数，且对于xR，都有g（x）=f（x1），求f（2002）的值.解：由g（x）=f（x1），xR，得f（x）=g（x+1）.又f（x）=f（x），g（x）=g（x），故有f（x）=f（x）=g（x+1）=g（x1）=f（x2）=f（2x）=g（3x）=g（x3）=f（x4），也即f（x+4）=f（x），xR.f（x）为周期函数，其周期T=4.f（2002）=f（45002）f（2）=0.评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等
4、性质.【例3】 函数f（x）=（m0），x1、x2R，当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=.（1）求m的值；（2）数列an，已知an=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1），求an.解：（1）由f（x1）+f（x2）=，得+=，4+4+2m=4+m（4+4）+m2.x1+x2=1，（2m）（4+4）=（m2）2.4+4=2m或2m=0.4+42=2=4，而m0时2m2，4+42m.m=2.（2）an=f（0）+f（）+f（）+f（）+f（1），an=f（1）+f（）+ f（）+f（）+f（0）.2an=f（0）+f（1）+f（）+f（）+f（1）+f（0）=+=.an=.深化拓展用
5、函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.【例4】 函数f（x）的定义域为R，且对任意x、yR，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）=2.（1）证明f（x）是奇函数；（2）证明f（x）在R上是减函数；（3）求f（x）在区间3，3上的最大值和最小值.（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得fx+（x）=f（x）+f（x），f（x）+ f（x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），f（0）=0.从而有f（x）+f（x）=0.f（x）=f（x）.f（x）是奇函数.（2）证明：任取x1、x2R，且x1x2，则f（x1）f（x2）=f（
6、x1）fx1+（x2x1）=f（x1）f（x1）+f（x2x1）=f（x2x1）.由x1x2，x2x10.f（x2x1）0.f（x2x1）0，即f（x1）f（x2），从而f（x）在R上是减函数.（3）解：由于f（x）在R上是减函数，故f（x）在3，3上的最大值是f（3），最小值是f（3）.由f（1）=2，得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3（2）=6，f（3）=f（3）=6.从而最大值是6，最小值是6.深化拓展对于任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘
7、法运算.现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数m，使得对于任意实数x，都有x*m=x，试求m的值.提示：由1*2=3，2*3=4，得b=2+2c，a=16c.又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立，b=0=2+2c.c=1.（16c）+cm=1.1+6m=1.m=4.答案：4.闯关训练夯实基础1.已知y=f（x）在定义域1，3上为单调减函数，值域为4，7，若它存在反函数，则反函数在其定义域上A.单调递减且最大值为7B.单调递增且最大值为7C.单调递减且最大值为3D.单调递增且最大值为3解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f1（x）的值域是1，3.
8、答案：C2.（2003年郑州市质检题）关于x的方程|x24x+3|a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是_.解析：作函数y=|x24x+3|的图象，如下图.由图象知直线y=1与y=|x24x+3|的图象有三个交点，即方程|x24x+3|=1也就是方程|x24x+3|1=0有三个不相等的实数根，因此a=1.答案：13.（2003年春季北京）若存在常数p0，使得函数f（x）满足f（px）=f（px）（xR），则f（x）的一个正周期为_.解析：由f（px）=f（px），令px=u，f（u）=f（u）=f（u+），T=或的整数倍.答案：（或的整数倍）4.已知关于x的方程sin2x2sinxa=0有
9、实数解，求a的取值范围.解：a=sin2x2sinx=（sinx1）21.1sinx1，0（sinx1）24.a的范围是1，3.5.（2004年上海，19）记函数f（x）=的定义域为A，g（x）=lg（xa1）（2ax）（a1）的定义域为B.（1）求A；（2）若BA，求实数a的取值范围.解：（1）由20，得0，x1或x1，即A=（，1）1，+）.（2）由（xa1）（2ax）0，得（xa1）（x2a）0.a1，a+12a.B=（2a，a+1）.BA，2a1或a+11，即a或a2.而a1，a1或a2.故当BA时，实数a的取值范围是（，2，1）.培养能力6.（理）已知二次函数f（x）=x2+bx+c
10、（b0，cR）.若f（x）的定义域为1，0时，值域也是1，0，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.解：设符合条件的f（x）存在，函数图象的对称轴是x=，又b0，0.当0，即0b1时，函数x=有最小值1，则或（舍去）.当1，即1b2时，则（舍去）或（舍去）.当1，即b2时，函数在1，0上单调递增，则解得 综上所述，符合条件的函数有两个，f（x）=x21或f（x）=x2+2x.（文）已知二次函数f（x）=x2+（b+1）x+c（b0，cR）.若f（x）的定义域为1，0时，值域也是1，0，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表
11、达式；若不存在，请说明理由.解：函数图象的对称轴是x=，又b0，.设符合条件的f（x）存在，当1时，即b1时，函数f（x）在1，0上单调递增，则 当1，即0b1时，则（舍去）.综上所述，符合条件的函数为f（x）=x2+2x.7.（2005年春季上海，21）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+），且f（2）=2+.设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N.（1）求a的值.（2）问：|PM|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.解：（1）f（2）=2+=2+，a=.（2）设点P的坐
12、标为（x0，y0），则有y0=x0+，x00，由点到直线的距离公式可知，|PM|=，|PN|=x0，有|PM|PN|=1，即|PM|PN|为定值，这个值为1.（3）由题意可设M（t，t），可知N（0，y0）.PM与直线y=x垂直，kPM1=1，即=1.解得t=（x0+y0）.又y0=x0+，t=x0+.SOPM=+，SOPN=x02+.S四边形OMPN=SOPM+SOPN=（x02+）+1+.当且仅当x0=1时，等号成立.此时四边形OMPN的面积有最小值1+.探究创新8.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计：
13、如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）.（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1；（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2V1.解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为42x，高为x，V1=（42x）2x=4（x34x2+4x）（0x2）.V1=4（3x28x+4）.令V1=0，得x1=，x2=2（舍去）.而V1=12（x）（x2），又当x时，V10；当x2时，V10，当x=时，V1取最大值.（2）重新设计方案如下：如
14、图，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图，将图焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=321=6，显然V2V1.故第二种方案符合要求.思悟小结1.函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问题应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点内容，应适当加强.2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有章可循.教师下载中心教学点睛数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法，应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、
15、方程、不等式等问题.拓展题例【例1】 设f（x）是定义在1，1上的奇函数，且对任意a、b1，1，当a+b0时，都有0.（1）若ab，比较f（a）与f（b）的大小；（2）解不等式f（x）f（x）；（3）记P=x|y=f（xc），Q=x|y=f（xc2），且PQ=，求c的取值范围.解：设1x1x21，则x1x20，0.x1x20，f（x1）+f（x2）0.f（x1）f（x2）.又f（x）是奇函数，f（x2）=f（x2）.f（x1）f（x2）.f（x）是增函数.（1）ab，f（a）f（b）.（2）由f（x）f（x），得 x.不等式的解集为x|x.（3）由1xc1，得1+cx1+c，P=x|1+cx1
16、+c.由1xc21，得1+c2x1+c2，Q=x|1+c2x1+c2.PQ=，1+c1+c2或1+c1+c2，解得c2或c1.【例2】 （2003年南昌市高三第一次质量调研测试题）已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+2的图象关于点A（0，1）对称.（1）求f（x）的解析式；（2）（文）若g（x）=f（x）x+ax，且g（x）在区间（0，2上为减函数，求实数a的取值范围.（理）若g（x）=f（x）+，且g（x）在区间（0，2上为减函数，求实数a的取值范围.解：（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（x，2y）在h（x）的图象上.2y=x+2.y
17、=x+，即f（x）=x+.（2）（文）g（x）=（x+）x+ax，即g（x）=x2+ax+1.g（x）在（0，2上递减2，a4.（理）g（x）=x+.g（x）=1，g（x）在（0，2上递减，10在x（0，2时恒成立，即ax21在x（0，2时恒成立.x（0，2时，（x21）max=3，a3.【例3】 （2003年山东潍坊市第二次模拟考试题）在4月份（共30天），有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量（单位：件）f（n）关于时间n（1n30，nN*）的函数关系如下图所示，其中函数f（n）图象中的点位于斜率为5和3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大.（1）求f（n）的表达式
18、，及前m天的销售总数；（2）按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由.解：（1）由图形知，当1nm且nN*时，f（n）=5n3.由f（m）=57，得m=12.f（n）= 前12天的销售总量为5（1+2+3+12）312=354件.（2）第13天的销售量为f（13）=313+93=54件，而354+54400，从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行.设第n天的日销售量开始低于30件（12n30），即f（n）=3n+9330，解得n21.从第22天开始日销售量低于30件，即流行时间为14号至21号.该服装流行时间不超过10天.
