1、72.2复数的乘、除运算新课程标准解读核心素养1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算数学抽象2.理解复数乘法的运算律数学运算我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，cR时，有(ab)cacbc，而且，实数的正整数次幂满足amanamn，(am)namn，(ab)nanbn，其中m，n均为正整数问题复数的运算满足上述的运算律吗？知识点一复数的乘法1复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i2复数乘法的运算律对于任意复数z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)分配律z1
2、(z2z3)z1z2z1z31复数的乘法与多项式乘法有何不同？提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部、虚部分别合并2多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？提示：仍然成立，乘法公式也适用1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)两个复数的积一定是虚数()(2)两个共轭复数的和与积是实数()答案：(1)(2)2已知复数z2i，则z的值为()A5B.C3 D.解析：选Az(2i)(2i)22i2415.故选A.3复数(1i)2(23i)的值为()A64i B64iC64i D64i解析：选D(1i)2(23i)2i(23i)64i.故选D.知识
3、点二复数的除法复数代数形式的除法法则(abi)(cdi)i(a，b，c，dR，且cdi0)对复数除法的两点说明(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数cdi，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似；(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开 i是虚数单位，则_解析：23i.答案：复数代数形式的乘法运算例1(链接教科书第78页例3、例4)计算下列各题：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(2i)(15i)(34i)2i.解(1)(1i)(1i)(1i)1i21i1i.(2)(2i)(15i)(34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(31
4、1i)(34i)2i(912i33i44i2)2i5321i2i5323i.复数的乘法运算法则的应用(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为1，进行最后结果的化简；(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便例如平方差公式、完全平方公式等 跟踪训练1计算：(1i)2(23i)(23i)()A213iB132iC1313i D132i解析：选D(1i)2(23i)(23i)12ii2(49i2)132i.故选D.2复数z13i，z21i，则zz1z2在复平面内的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D由题设知z(3i
5、)(1i)42i，在复平面内对应的点为(4，2)，位于第四象限故选D.复数代数形式的除法运算例2(1)设z，则|z|()A2 B.C. D1(2)(链接教科书第79页例5)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析(1) z，所以|z| .(2)由复数的几何意义知，z12i，z2i，所以12i，对应的点在第二象限答案(1)C(2)B1两个复数代数形式的除法运算的步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式2常用公式(1)i；(2)
6、i；(3)i. 跟踪训练1已知z(2i)1ai(aR，i为虚数单位)，若z为纯虚数，则a()A2 BC. D2解析：选Az(2i)1ai(aR)，z(2i)(2i)(1ai)(2i)，z.z为纯虚数，0且0，a2.故选A.2计算：_解析：法一：2i.法二：2i.答案：2ii幂值的周期性及应用例3计算下列各式的值：(1)i2 020；(2)(1i)12(1i)12；(3)1ii2i2 020.解(1)i2 020i4505i41.(2)(1i)12(1i)12(1i)26(1i)26(2i)6(2i)6(4)3(4)3128.(3)1ii2i2 020(1ii2i3)(i4i5i6i7)(i2
7、016i2 017i2 018i2 019)i2 0200505i2 0201.利用i幂值的周期性解题的技巧(1)熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，1，i；(2)对于nN，有inin1in2in30. 跟踪训练若Ax|xi2ni2n，nN*，则集合A的子集的个数为()A3 B4C8 D16解析：选B当n1时，xi2i21(1)2，当n2时，xi4i4112，当n3时，xi6i62，当n4时，xi8i82，因此A2，2，故A有4个子集在复数范围内解方程例4(链接教科书第79页例6)在复数范围内解下列方程：(1)x250；(2)x24x60
8、.解(1)因为x250，所以x25，又因为(i)2(i)25，所以xi，所以方程x250的根为i.(2)法一：因为x24x60，所以(x2)22，因为(i)2(i)22，所以x2i或x2i，即x2i或2i，所以方程x24x60的根为x2i.法二：由x24x60知424680，所以方程x24x60无实数根在复数范围内，设方程x24x60的根为xabi(a，bR且b0)，则(abi)24(abi)60，所以a22abib24a4bi60，整理得(a2b24a6)(2ab4b)i0，所以又因为b0，所以解得a2，b.所以x2i，即方程x24x60的根为x2i.在复数范围内，实系数一元二次方程ax2b
9、xc0(a0)的求解方法(1)求根公式法当0时，x；当0时，x.(2)利用复数相等的定义求解设方程的根为xmni(m，nR)，将此代入方程ax2bxc0(a0)，化简后利用复数相等的定义求解 跟踪训练已知关于x的方程x2(k2i)x2ki0有实根，求这个实根及实数k的值解：设xx0是方程的实根，代入方程并整理得(xkx02)(2x0k)i0.由复数相等的条件得xkx022x0k0，解得或方程的实根为x或，相应的k的值为k2或2.欧拉公式及其应用欧拉公式eixcos xisin x(xR，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，
10、它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”问题探究1复数e的虚部是多少？提示：复数ecosisini，所以复数ei的虚部为.2求复数ee 的模提示：复数eecosisincosisin i，所以复数ee的模为.迁移应用复数zei(R)，z的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为Z0，A(1，0)与B(0，1)为定点，则函数f(z)|(z1)(i)|取最大值时，在复平面上以Z0，A，B三点为顶点的图形是()A等边三角形B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形解析：选Dzeicos isin ，(z1)(i)(cos 1isin )(cos isin i)cos2isin cos
11、 icos cos isin iisin cos sin2sin (cos sin 1)i(cos sin 1)，f(z)|(z1)(i)|，f(z) ，当sin1时，f(z)取得最大值，即当2k，kZ，即2k，kZ时，f(z)取最大值，此时zi，i，又A(1，0)，B(0，1)，|Z0A|22，|Z0B|22，又|AB|2(10)2(01)22，|Z0A|Z0B|，且|Z0A|2|Z0B|2|AB|2，该图形为等腰三角形故选D.1若复数z满足(34i)z5(1i)，其中i为虚数单位，则z的虚部为()A1 BC. D1解析：选C根据已知得zi，则复数z的虚部为.故选C.2已知mR，i为虚数单位
12、，若(mi)(23i)5i，则m的值为()A1 B1C2 D2解析：选A由(mi)(23i)(2m3)(23m)i5i，得解得m1.3已知i是虚数单位，复数zi2 019在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Czi2 019(i4)504i32i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(2，1)，位于第三象限，故选C.4已知复数z满足z(1i)21i(i为虚数单位)，则|z|为()A. B.C. D1解析：选B因为复数z满足z(1i)21i，zi，|z|.故选B.5计算：_解析：原式(1i)23(1i)23(2i)3i(2i)3(i)881616i16i.答案：16i
