1、广东省六校联盟2020届高三数学下学期第四次联考试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得集合，再结合集合的交集、并集的运算，即可求解.【详解】由集合，又由集合，所以，.故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集的运算，其中解答中熟记集合的交集、并集的概念与运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2. 若复数是纯虚数（i为虚数单位），则实数m的值是（ ）A. B. C. 1D. 4【答案】C【解析】【分析】利用复数除法运算化简，根据为纯虚数求得的值.【详解】依题意，由于为纯虚数，所以
2、，解得.故选：C【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查纯虚数的概念，属于基础题.3. 学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在10,50)（单位：元），其中支出在 （单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则的值为（ ）A. 100B. 120C. 130D. 390【答案】A【解析】试题分析：支出在的同学的频率为，.考点：频率分步直方图.4. “3m5”是“方程表示椭圆”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出曲线方程表示椭圆的参数的取值范围，然后根
3、据充分必要条件的定义判断【详解】方程表示椭圆的条件是，即且，故题中应为必要不充分条件，故选B【点睛】方程或表示椭圆的条件是，方程或表示双曲线的条件是5. 我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与“辗转相除法”实质一样如图的程序框图源于“更相减损术”，当输入，时，输出的m的值是（ ）A. 28B. 14C. 7D. 0【答案】C【解析】【分析】按照程序框图运行程序，逐一循环，即可求解运算的结果.【详解】按照程序框图运行程序，输入：，则，；，则，；，则，；，则，；，则，；，则，满足，输出.故选：C【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果、
4、程序框图的功能问题，属于基础题.6. 设D为所在平面内一点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用平面向量基本定理，把作为基底，再利用向量的加减法法则把向量用基底表示出来即可.【详解】解：因为，所以,所以，故选：D【点睛】此题考查了平面向量基本定理和向量的加减法法则，属于基础题.7. 已知，则值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将已知展开化简可得平方后，再结合即可解决.【详解】由已知，化简，即，即，平方可得：，解得：.故选：A.【点睛】本题考查已知三角函数值求三角函数值的问题，解这类题的关键是找到已知式与待求式之间的联系与差异，本题是一道基础
5、题.8. 如图，正方形ABCD的边长为1，分别以A，C为圆心，1为半径作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将阴影部分拆分成两个小弓形，从而可求解出阴影部分面积，根据几何概型求得所求概率【详解】解：如图所示：阴影部分可拆分为两个小弓形，则阴影部分面积：，正方形面积：，所求概率，故选：【点睛】本题考查利用几何概型求解概率问题，属于基础题9. 己知函数，若，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断为上的奇函数且为单调增函数，从而可解函数不等式.【详解】由题设可得，故即函数的定义域为.，
6、故为上的奇函数.令，则为上的增函数，故为上的增函数，又也为上的增函数.故为上的单调增函数.因为，故，所以，故.故选：B.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性以及函数不等式的求解，考虑函数性质时，注意利用简单函数的性质以及复合函数性质的讨论方法来解决，函数不等式的求解，关键是函数单调性和奇偶性的确定.10. 如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是A. 在内总存在与平面平行的线段B. 平面平面C. 三棱锥的体积为定值D. 可能为直角三角形【答案】D【解析】【分析】A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面
7、ABC平行；B项利用线面垂直的判定定理；C项三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.【详解】A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND，则交线平行于平面ABC，故正确； B项，如图：当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正确；C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确；D项,若DMN为直角三角
8、形,则必是以MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以DMN不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.11. 已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三角函数恒等变换的应用可得f（x）2sinx，即，是函数含原点的递增区间，结合已知可得，解得0，又函数在0，上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得0，进而得解【详解】 4sinxsin2（）2
9、sin2x4sinx2sin2x2sinx（1+sinx）2sin2x2sinx，即f（x）2sinx，是函数含原点的递增区间，又函数在上递增，得不等式组：，又0，0，又函数在区间0，上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知x2k+，kZ，即函数在x处取得最大值，可得0，综上，可得，故选：A【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用和正弦函数的图象和性质，研究三角函数时要利用整体思想，要灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题12. 双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线l与双曲线C交于P，Q两点，且，若，则此双曲线C的离心率是（ ）A. 2B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】由已
10、知条件结合双曲线的定义可得为等边三角形，从而得，然后在中，利用余弦定理化简可得到，从而可求出离心率的值.【详解】解：设，则，设，由则双曲线的定义得，解得，所以， ，所以为等边三角形，所以，则，中，由余弦定理得，,即，化简得，所以双曲线的离心率为，故选：C【点睛】此题考查双曲线的定义，双曲线的离心率，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 己知实数x，y满足，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线到可行域边界点时，目标函数取得最小值为.故答案为：【点睛】本小题
11、主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14. 一个圆锥的表面积为，其侧面展开图为半圆，则此圆锥的体积是_【答案】【解析】【分析】由圆锥的侧面展开图为半圆，可得圆锥的母线长等于底面半径的2倍，再由表面积为，可求出底面半径的长，从而可求出圆锥的体积.【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，因为圆锥的侧面展开图为半圆，所以，得，因为圆锥的表面积为，所以，解得，则 ，所以圆锥的体积为，故答案为：【点睛】此题考查的是圆锥的表面积和体积的有关计算，属于基础题.15. 在研究函数的变化规律时，常常遇到“”等无法解决的情况，如，当时就出现此情况随着微积分的发展应用，数学家采取
12、了如下策略来解决：分式的分子、分母均为可导函数，分别对分式的分子、分母的两个函数求导，如对函数的分子、分母求导得到新函数，当时，的值为1，则1为函数在处的极限，根据此思路，函数在处的极限是_【答案】【解析】【分析】根据题中条件，得到，即可求出结果.【详解】因为，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查极限的运算，考查洛必达法则的运用，涉及函数求导，属于基础题型.16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且的面积为，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】首先利用正弦定理面积公式和余弦定理得到，再利用三角函数的性质即可得到最大值.【详解】由题知：，整理得：.又因为，则整理得：，即.所以当时，
13、取得最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，利用三角函数的性质求最值为解题的关键，属于中档题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17至21题为必考题，每位考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 为了对新产品进行合理定价，对该产品进行了试销试验，以观察需求量（单位：件）对于价格（单位：万元）的反应，得到数据如下：（万元）（件）（1）在所给定的坐标系中画出散点图； （2）若与之间具有线性相关关系，求线性回归方程；（3）若需求量为件时，总成本为（万元），试由（2）的结论预测要使利润最大，价格应定为多少
14、万元？参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，【答案】（1）散点图见解析；（2）；（3）万元【解析】分析】（1）根据表格中的数据可描出散点图；（2）计算出、，将表格中数据代入最小二乘法公式，求出和的值，即可得出关于的回归直线方程；（3）设利润为万元，根据题意求得函数的解析式，然后利用二次函数的基本性质可得出结论.【详解】（1）散点图如图所示：（2），所以，关于的的线性回归方程；（3）设利润为万元，由（2）可得，当时，利润有最大值答：要使利润最大，价格应定为万元【点睛】本题考查回归直线方程的求解，同时也考查了利用回归直线方程解决实际问题，考查计算能力，属于中等题.18. 已知等比数列的前
15、n项和为，且，（1）求实数m的值和数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意求得，再由，求得，根据是等比数列，求得数列的公比和的值，以及数列的通项公式；（2）由（1）求得，结合“分组求和”，即可求得数列的前项和.【详解】（1）由题意，等比数列满足，可得，又由，可得，两式相减，可得，即，即，又因为是等比数列，所以公比为，所以，即，解得，所以数列的通项公式为（2）由（1）及，可得，【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，和的递推关系式的应用，以及数列的“分组”求和，其中解答中熟练应用和的递推关系式求得数列的通项公式是解答的关键，着重考查推理
16、与运算能力.19. 如图1，C，D是以AB为直径的圆上两点，且，将所在的半圆沿直径AB折起，使得点C在平面ABD上的射影E在BD上，如图2（1）求证：平面平面BCD；（2）在线段AB上是否存在点F，使得平面CEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）在线段AB上存在点F，使得平面CEF，此时【解析】【分析】（1）要证平面平面，只要证平面经过平面的一条垂线即可，由是以为直径的圆上的点，得到，由垂直于底面得到垂直于，利用线面垂直的判定得到证明；（2）由线面垂直可得，从而可得E是BD的三等分点，且，则在线段AB上存在点F，使得，则有即可得解【详解】（1）证明：AB是
17、圆的直径，平面ABD，平面ABD，又，平面ABD，平面BCD平面ACD，平面平面BCD（2）平面ABD，平面ABD，在和中，由得，在中，由，得，在中，E是BD的三等分点，且在线段AB上存在点F，使得，则有平面CEF，平面CEF，平面CEF故在线段AB上存在点F，使得平面CEF，此时【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定与线面平行的判定，考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答的关键是明确折叠问题中的折叠前后的变量和不变量，属于中档题20. 已知函数（1）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围；（2）若函数在区间内存在极值，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求得函数
18、的定义域与导数，得到函数的单调性与最小值，得到，即可求得实数m的取值范围；（2）由，求得，根据函数在区间内存在极值，转化为方程在区间上有两个不等的实根，或一根在区间内，另一根在区间外，二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】（1）函数的定义域为，则，令，解得，当时，；当时，所以函数在上递减，在上递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，依题意，可得，即，解得，故所求实数m的取值范围是（2）由，其中，可得，因为函数在区间内存在极值，所以方程在区间上有两个不等的实根，或一根在区间内，另一根在区间外，即方程在区间上有两个不等的实根或一根在区间内，另一根在区间外，所以或，解得或，当时，方程的根为
19、，也符合题意故所求实数m的取值范围是【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题21. 己知过点的直线l与抛物线交于A，B两点（1）分别以A，B为切点作抛物线的两条切线PA，PB，交点为P，当时，求点P的轨迹方程；（2）若为定值，求m的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设直线l的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，结合抛物线的方程，求得分别以点为切点的切
20、线方程，联立方程组，求得交点坐标，即可求解；（2）设直线l的方程为与抛物线的方程，联立方程组，利用根与系数的关系，分别求得，得到，根据为定值，列出方程组，即可求解.【详解】（1）设点，直线l的方程为，联立方程组，整理得，则，由抛物线方程，可得，则，所以以点A为切点的切线方程是，即，同理，以点B为切点的切线方程是联立方程组，解得，点P的坐标为，即，点P的轨迹方程是（2）设直线l的方程为代入，化简得，又设，则，所以，同理可得：，所以，因为为定值，令（C为常数），则，可得，解得【点睛】本题主要考查抛物线方程、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线与抛物线方程，应用一元二次方程
21、根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若P，Q分别是曲线，上的动点，求的最大值【答案】（1）曲线的普通方程是；曲线的直角坐标方程是；（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的参数方程和圆的极坐标方程化简即
22、可得到答案.（2）首先设点，得到，利用二次函数的性质得到，再计算的最大值即可.【详解】（1）由（为参数），得（为参数），即：曲线的普通方程是又由，得，即，曲线的直角坐标方程是（2）设点，则当时，故的最大值是【点睛】本题第一问考查椭圆的参数方程和圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，第二问考查利用参数方程求最值，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23. 己知函数（1）求函数的值域；（2）若函数的最大值为m，设正实数a，b满足，求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用零点分区间讨论，分，三种情况去绝对值化简，可求得其值域；（2）由（1）可知的最大值是，从而有，得，所以可化为，化简后利用基本不等式可求得其最小值.【详解】解：（1）当时，当时，当时，函数的值域是（2）由（1）可知，函数的最大值是，当且仅当，即时，取等号，的最小值是【点睛】此题考查了分类讨论解绝对值不等式的应用，考查了基本不等式，属于中档题.
