1、23函数的奇偶性与周期性1奇、偶函数的概念(1)偶函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做偶函数(2)奇函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数2奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称;奇函数的图象关于 对称3具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于 ,即“定义域关于 ”是“一个函数具有奇偶性”的 条件4周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数f(x),如果存在一个 T,使得当x取定义域内的 值时,都有 ,那么函数f(x)就叫做周期函数T叫做这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期
2、函数f(x)的所有周期中存在一个_的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期5函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f(x)为奇函数,且在上为增(减)函数,则f(x)在上为 ;(2)若函数f(x)为偶函数,且在上为增(减)函数,则f(x)在上为 6奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇奇 ,偶偶 ,奇奇 ,偶偶 ,奇偶 .7函数的对称性如果函数f(x),xD,满足xD,恒有f(ax)f(b-x),那么函数的图象有对称轴x;如果函数f(x),xD,满足xD,恒有f(a-x)-f(bx),那么函数的图象有对称中心.8函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(xD)在定义域内有两条
3、对称轴xa,xb(ab),则函数f(x)是周期函数,且周期T2(b-a)(不一定是最小正周期,下同)(2)如果函数f(x)(xD)在定义域内有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab),那么函数f(x)是周期函数,且周期T2(b-a)(3)如果函数f(x),xD在定义域内有一条对称轴xa和一个对称中心B(b,0)(ab),那么函数f(x)是周期函数,且周期T4|b-a|.自查自纠1(1)f(-x)f(x)(2)f(-x)-f(x)2y轴原点3原点对称原点对称必要不充分4(1)非零常数每一个f(xT)f(x)(2)最小5(1)增(减)函数(2)减(增)函数6奇偶偶偶奇 ()下列函数中,既不是
4、奇函数,也不是偶函数的是()Ayxex ByxCy2x Dy解:令f(x)xex,则f(1)1e,f(-1)-1e-1,有f(1)f(-1)0,所以yxex既不是奇函数也不是偶函数,而选项B,C,D中的函数依次是奇函数、偶函数、偶函数故选A. ()已知函数f(x) 则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数Df(x)的值域为,关于原点对称所以f(x).所以f(x)-f(-x),所以f(x)是奇函数(4)由 得x3.所以f(x)的定义域为-3,3,关于原点对称又f(3)f(-3)0,f(3)-f(-3)0.所以f(x)f(-x)所以f(x)既是奇函数,又是偶函
5、数(5)因为函数的定义域为R,又因为f(-x)f(x)logaloga(x)loga(-x)loga(x)logaloga(x21-x2)loga10.即f(-x)-f(x),所以f(x)为奇函数【点拨】(1)判断函数奇偶性的步骤是:求函数定义域,看定义域是否关于原点对称,若不对称,则既不是奇函数,也不是偶函数;验证f(-x)是否等于f(x),或验证其等价形式f(x)f(-x)0或1(f(x)0)是否成立(2)对于分段函数的奇偶性应分段验证,但比较繁琐,且容易判断错误,通常是用图象法来判断(3)对于含有x的对数式或指数式的函数常用“f(-x)f(x)0”来判断(1)()若函数f(x)在定义域上
6、为奇函数,则实数k_.解:因为f(-x),所以f(-x)f(x).由f(-x)f(x)0对定义域中的x均成立可得k21,所以k1.故填1.(2)已知函数f(x)ln.判断函数的奇偶性解:由0,得-1x1,即f(x)ln的定义域为(-1,1)又f(-x)lnln-ln-f(x),故f(x)为奇函数(3)已知函数f(x)ln(-3x)1.判断函数的奇偶性解:令-3x0,得xR,故函数f(x)的定义域为R.f(x)f(-x)ln(-3x)1ln(3x)12,故f(x)不是奇函数;f(x)-f(-x)ln(-3x)1-ln(3x)-1ln(-3x)2,不恒为0,故f(x)不是偶函数综上得f(x)不具有
7、奇偶性(4)已知函数f(x).判断函数的奇偶性解:由 得-2x2,即函数f(x)的定义域是x|-2x2又f(x)lg(4-x2),所以f(-x)lglg(4-x2)f(x),故函数f(x)是偶函数(5)已知函数f(x) 判断函数的奇偶性解:当x0时,f(x)x2x,-x0,f(-x)-(-x)2-x-x2-x-f(x);当x0时,f(x)-x2x,-x0,f(-x)(-x)2-xx2-x-f(x)所以f(x)是奇函数类型二利用函数性质求解析式已知函数f(x)满足f(x)f(x2)13.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)若f(1)2,求f(99)的值;(3)若当x时,f(x)x,试求x时函数
8、f(x)的解析式解:(1)证明:由题意知f(x)0,则f(x2).用x2代替x得f(x4)f(x),故f(x)为周期函数,且4为f(x)的周期(2)若f(1)2,则f(99)f(2443)f(3).(3)当x时,x-4,则f(x-4)x-4,又周期为4,所以f(x)f(x-4)x-4.当x(6,8时,x-6(0,2,则f(x-6)x-6,根据周期为4,则f(x2)f(x-6)x-6.又f(x)f(x2)13,所以f(x).所以解析式为f(x)【点拨】本题存在规律性:若f(xa)f(x)b(常数),则2a为f(x)的周期(a0);同理,f(xa)-f(x)或f(xa)或f(xa)-,均可推得2a
9、为f(x)的周期(a0)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x1对称(1)求证:f(x)是周期为4的周期函数;(2)若f(x)(0x1),求x时,函数f(x)的解析式解:(1)证明:由函数f(x)的图象关于直线x1对称,有f(x1)f(1-x),即有f(-x)f(x2)又函数f(x)是定义在R上的奇函数,故有f(-x)-f(x)故f(x2)-f(x)从而f(x4)-f(x2)f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数,有f(0)0.x,f(x)-f(-x)-.故x时,f(x)-.x时,x4,f(x)f(x4)-.从而,x时,函数f(x
10、)-.类型三奇偶性与单调性的综合问题函数f(x)的定义域为Dx|x0,且满足对于任意x1,x2D,有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)1,f(x-1)2,且f(x)在(0,)上是增函数,求x的取值范围解:(1)因为对于任意x1,x2D,有f(x1x2)f(x1)f(x2),所以令x1x21,得f(1)2f(1),所以f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明如下:令x1x2-1,有f(1)f(-1)f(-1),所以f(-1)f(1)0.令x1-1,x2x,有f(-x)f(-1)f(x),所以f(-x)f(x),所以f
11、(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)2,等价于f(|x-1|)f(16)又f(x)在(0,)上是增函数,所以0|x-1|16,解得-15x17且x1.所以x的取值范围是x|-15xf,则-2x-1,解得-x0的解集为()A(-,-2)(2,) B(-,-2)(0,2)C(-2,0)(2,) D(-2,0)(0,2)解法一:由题意得f(x)在(0,)内是增函数,且f(2)-f(-2)0.作出符合条件的f(x)的大致图象如图所示,易得xf(x)0的解集为(-,-2)(2,)解法二:由已知得x-2时,f(x)0;当-2x0时,f(x
12、)0,xf(x)0.又f(x)为奇函数,则f(x)在(0,)上是增函数,且f(2)0.故0x2时,xf(x)0;当x2时,xf(x)0.因此,xf(x)0的解集为(-,-2)(2,)故选A.6()函数f(x)在定义域R上的导函数是f(x),若f(x)f(2-x),且当x(-,1)时,(x-1)f(x)0,设af(0),bf(),cf(log28),则()Aabbc Ccab Dacb解:当x(-,1)时,(x-1)f(x)0,所以函数在(-,1)上单调递增,又f(x)f(2-x),得函数f(x)的图象关于直线x1对称,所以函数f(x)图象上的点距离x1越近函数值越大又log283,所以log2
13、8-11-0-1,得f()f(0)f(log28)故选C.7()已知函数f(x),若f(a),则f(-a)_解:先将函数表达式化简为f(x)1,由此可得f(-x)1,所以有f(x)f(-x)2,即有f(a)f(-a)2,所以f(-a).故填.8设函数f(x)x3x,若0时,f(mcos)f(1-m)0恒成立,则实数m的取值范围是_解:f(x)x3x是R上的奇函数与增函数,故由f(mcos)f(1-m)0得f(mcos)-f(1-m)f(m-1),mcosm-1,即m(1-cos)1对任意成立当0时,不等式m(1-cos)0)上是单调函数,且f(0)f(a)0,则方程f(x)0在区间内根的个数是
14、()A3 B2 C1 D0解:因为f(0)f(a)0,所以f(x)在内至少有一个零点,又因为f(x)在上是单调函数,所以f(x)在上有且仅有一个零点又因为f(x)是偶函数,所以f(-x)f(x),所以f(x)在内有两个零点,即方程f(x)0在区间内根的个数为2.故选B.5()函数f(x)x|xa|b是奇函数的充要条件是()Aab0 Bab0Ca2b20 Dab解:f(x)为奇函数,首先f(0)0,则b0;其次f(-x)-f(x)-x|-xa|-x|xa|xa|-xa|恒成立,则a0,即当f(x)为奇函数时,一定有ab0,这与C中条件是等价的故选C.6已知函数f(x) 若f(-a)f(a)2f(
15、1),则a的取值范围是()A C D解:易知函数f(x)是偶函数,故f(-a)f(a),原不等式等价于f(a)f(1),即f(|a|)f(1),而函数在,且它们在上的图象如图所示,则不等式0的解集是_解:依据偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称,先补全f(x)与g(x)的图象如图,因为0,所以或 观察两函数的图象,其中一个在x轴上方,一个在x轴下方,即满足要求,所以-x0或x.故填.8若函数f(x)(a为常数)在定义域上为奇函数,则实数a的值为_解:f(-x),f(x)f(-x)0恒成立,所以a1或-1.故填1或-1.9已知函数f(x)2|x-2|ax(xR)有最小值(1)求实数a的取值范围;(2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x0,则-x0,所以2ag(x)h(2x)0可化为2a-.令2x-2-xt,x,则t,4x4-xt22,所以-.又函数yt在上单调递增,所以函数yt的最小值为,-的最大值为-,所以2a-,即a-.故填.