1、23函数的奇偶性与周期性1奇、偶函数的概念(1)偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数(2)奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做奇函数2奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称3具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于 ，即“定义域关于 ”是“一个函数具有奇偶性”的 条件4周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数f(x)，如果存在一个 T，使得当x取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数T叫做这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期
2、函数f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期5函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f(x)为奇函数，且在上为增(减)函数，则f(x)在上为 ；(2)若函数f(x)为偶函数，且在上为增(减)函数，则f(x)在上为 6奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇奇 ，偶偶 ，奇奇 ，偶偶 ，奇偶 .7函数的对称性如果函数f(x)，xD，满足xD，恒有f(ax)f(b-x)，那么函数的图象有对称轴x；如果函数f(x)，xD，满足xD，恒有f(a-x)-f(bx)，那么函数的图象有对称中心.8函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(xD)在定义域内有两条
3、对称轴xa，xb(ab)，则函数f(x)是周期函数，且周期T2(b-a)(不一定是最小正周期，下同)(2)如果函数f(x)(xD)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T2(b-a)(3)如果函数f(x)，xD在定义域内有一条对称轴xa和一个对称中心B(b，0)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T4|b-a|.自查自纠1(1)f(-x)f(x)(2)f(-x)-f(x)2y轴原点3原点对称原点对称必要不充分4(1)非零常数每一个f(xT)f(x)(2)最小5(1)增(减)函数(2)减(增)函数6奇偶偶偶奇 ()下列函数中，既不是
4、奇函数，也不是偶函数的是()Ayxex ByxCy2x Dy解：令f(x)xex，则f(1)1e，f(-1)-1e-1，有f(1)f(-1)0，所以yxex既不是奇函数也不是偶函数，而选项B，C，D中的函数依次是奇函数、偶函数、偶函数故选A. ()已知函数f(x) 则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数Bf(x)是增函数Cf(x)是周期函数Df(x)的值域为，关于原点对称所以f(x).所以f(x)-f(-x)，所以f(x)是奇函数(4)由 得x3.所以f(x)的定义域为-3，3，关于原点对称又f(3)f(-3)0，f(3)-f(-3)0.所以f(x)f(-x)所以f(x)既是奇函数，又是偶函
5、数(5)因为函数的定义域为R，又因为f(-x)f(x)logaloga(x)loga(-x)loga(x)logaloga(x21-x2)loga10.即f(-x)-f(x)，所以f(x)为奇函数【点拨】(1)判断函数奇偶性的步骤是：求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；验证f(-x)是否等于f(x)，或验证其等价形式f(x)f(-x)0或1(f(x)0)是否成立(2)对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断(3)对于含有x的对数式或指数式的函数常用“f(-x)f(x)0”来判断(1)()若函数f(x)在定义域上
6、为奇函数，则实数k_.解：因为f(-x)，所以f(-x)f(x).由f(-x)f(x)0对定义域中的x均成立可得k21，所以k1.故填1.(2)已知函数f(x)ln.判断函数的奇偶性解：由0，得-1x1，即f(x)ln的定义域为(-1，1)又f(-x)lnln-ln-f(x)，故f(x)为奇函数(3)已知函数f(x)ln(-3x)1.判断函数的奇偶性解：令-3x0，得xR，故函数f(x)的定义域为R.f(x)f(-x)ln(-3x)1ln(3x)12，故f(x)不是奇函数；f(x)-f(-x)ln(-3x)1-ln(3x)-1ln(-3x)2，不恒为0，故f(x)不是偶函数综上得f(x)不具有
7、奇偶性(4)已知函数f(x).判断函数的奇偶性解：由 得-2x2，即函数f(x)的定义域是x|-2x2又f(x)lg(4-x2)，所以f(-x)lglg(4-x2)f(x)，故函数f(x)是偶函数(5)已知函数f(x) 判断函数的奇偶性解：当x0时，f(x)x2x，-x0，f(-x)-(-x)2-x-x2-x-f(x)；当x0时，f(x)-x2x，-x0，f(-x)(-x)2-xx2-x-f(x)所以f(x)是奇函数类型二利用函数性质求解析式已知函数f(x)满足f(x)f(x2)13.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(1)2，求f(99)的值；(3)若当x时，f(x)x，试求x时函数
8、f(x)的解析式解：(1)证明：由题意知f(x)0，则f(x2).用x2代替x得f(x4)f(x)，故f(x)为周期函数，且4为f(x)的周期(2)若f(1)2，则f(99)f(2443)f(3).(3)当x时，x-4，则f(x-4)x-4，又周期为4，所以f(x)f(x-4)x-4.当x(6，8时，x-6(0，2，则f(x-6)x-6，根据周期为4，则f(x2)f(x-6)x-6.又f(x)f(x2)13，所以f(x).所以解析式为f(x)【点拨】本题存在规律性：若f(xa)f(x)b(常数)，则2a为f(x)的周期(a0)；同理，f(xa)-f(x)或f(xa)或f(xa)-，均可推得2a
9、为f(x)的周期(a0)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)(0x1)，求x时，函数f(x)的解析式解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x1对称，有f(x1)f(1-x)，即有f(-x)f(x2)又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(-x)-f(x)故f(x2)-f(x)从而f(x4)-f(x2)f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)0.x，f(x)-f(-x)-.故x时，f(x)-.x时，x4，f(x)f(x4)-.从而，x时，函数f(x
10、)-.类型三奇偶性与单调性的综合问题函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x-1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解：(1)因为对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，所以令x1x21，得f(1)2f(1)，所以f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明如下：令x1x2-1，有f(1)f(-1)f(-1)，所以f(-1)f(1)0.令x1-1，x2x，有f(-x)f(-1)f(x)，所以f(-x)f(x)，所以f
11、(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，所以f(x-1)2，等价于f(|x-1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数，所以0|x-1|16，解得-15x17且x1.所以x的取值范围是x|-15xf，则-2x-1，解得-x0的解集为()A(-，-2)(2，) B(-，-2)(0，2)C(-2，0)(2，) D(-2，0)(0，2)解法一：由题意得f(x)在(0，)内是增函数，且f(2)-f(-2)0.作出符合条件的f(x)的大致图象如图所示，易得xf(x)0的解集为(-，-2)(2，)解法二：由已知得x-2时，f(x)0；当-2x0时，f(x
12、)0，xf(x)0.又f(x)为奇函数，则f(x)在(0，)上是增函数，且f(2)0.故0x2时，xf(x)0；当x2时，xf(x)0.因此，xf(x)0的解集为(-，-2)(2，)故选A.6()函数f(x)在定义域R上的导函数是f(x)，若f(x)f(2-x)，且当x(-，1)时，(x-1)f(x)0，设af(0)，bf()，cf(log28)，则()Aabbc Ccab Dacb解：当x(-，1)时，(x-1)f(x)0，所以函数在(-，1)上单调递增，又f(x)f(2-x)，得函数f(x)的图象关于直线x1对称，所以函数f(x)图象上的点距离x1越近函数值越大又log283，所以log2
13、8-11-0-1，得f()f(0)f(log28)故选C.7()已知函数f(x)，若f(a)，则f(-a)_解：先将函数表达式化简为f(x)1，由此可得f(-x)1，所以有f(x)f(-x)2，即有f(a)f(-a)2，所以f(-a).故填.8设函数f(x)x3x，若0时，f(mcos)f(1-m)0恒成立，则实数m的取值范围是_解：f(x)x3x是R上的奇函数与增函数，故由f(mcos)f(1-m)0得f(mcos)-f(1-m)f(m-1)，mcosm-1，即m(1-cos)1对任意成立当0时，不等式m(1-cos)0)上是单调函数，且f(0)f(a)0，则方程f(x)0在区间内根的个数是
14、()A3 B2 C1 D0解：因为f(0)f(a)0，所以f(x)在内至少有一个零点，又因为f(x)在上是单调函数，所以f(x)在上有且仅有一个零点又因为f(x)是偶函数，所以f(-x)f(x)，所以f(x)在内有两个零点，即方程f(x)0在区间内根的个数为2.故选B.5()函数f(x)x|xa|b是奇函数的充要条件是()Aab0 Bab0Ca2b20 Dab解：f(x)为奇函数，首先f(0)0，则b0；其次f(-x)-f(x)-x|-xa|-x|xa|xa|-xa|恒成立，则a0，即当f(x)为奇函数时，一定有ab0，这与C中条件是等价的故选C.6已知函数f(x) 若f(-a)f(a)2f(
15、1)，则a的取值范围是()A C D解：易知函数f(x)是偶函数，故f(-a)f(a)，原不等式等价于f(a)f(1)，即f(|a|)f(1)，而函数在，且它们在上的图象如图所示，则不等式0的解集是_解：依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)与g(x)的图象如图，因为0，所以或 观察两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个在x轴下方，即满足要求，所以-x0或x.故填.8若函数f(x)(a为常数)在定义域上为奇函数，则实数a的值为_解：f(-x)，f(x)f(-x)0恒成立，所以a1或-1.故填1或-1.9已知函数f(x)2|x-2|ax(xR)有最小值(1)求实数a的取值范围；(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x0，则-x0，所以2ag(x)h(2x)0可化为2a-.令2x-2-xt，x，则t，4x4-xt22，所以-.又函数yt在上单调递增，所以函数yt的最小值为，-的最大值为-，所以2a-，即a-.故填.