1、湖北省武汉市武昌区2015届高三元月调考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）i为虚数单位，若，则|z|=（）A1BCD22（5分）已知，B=（x，y）|（x1）2+（y1）21，“存在点PA”是“PB”的（）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件3（5分）若的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A1B2C3D44（5分）根据如下样本数据 x34567y4.02.50.50.52.0得到的回归方程为若a=7.9，则x每增加1个单位，y就（）A增加1.
2、4个单位B减少1.4个单位C增加1.2个单位D减少1.2个单位5（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面上用一平行于平面的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）AS圆S圆环BS圆=S圆环CS圆S圆环D不确定6（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是（）A24+和40B24+和72C64+和40D50+和727（5分）x、y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A或
3、1B2或C2或1D2或18（5分）如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，1），B（，1），C（，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）ABCD9（5分）抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，A、B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值为（）A1B2C3D410（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，它的图象关于直线x=1对称，且f（x）=x（0x1）若函数y=f（x）a在区间10，10上有10个零
4、点（互不相同），则实数a的取值范围是（）A，B（，）C，D（，）二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11-14题）11（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，则=12（5分）根据如图框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是13（5分）设斜率为的直线l与双曲线=1（a0，b0）交于不同的两点P、Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是14（5分）“渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正
5、整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）（）共有个五位“渐升数”（用数字作答）；（）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分.）（选修4-1：几何证明选讲）15（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=（选修4-4：坐标系与参数方程）16已知曲线C1的参数方程是（t为参数，a为实数常数），曲线C2的参数方程是（t为参数，
6、b为实数常数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程是=1若C1与C2分曲线C3所成长度相等的四段弧，则a2+b2=三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（11分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+cos2xsin2x+a的在区间0，上的最小值为0（）求常数a的值；（）当x0，时，求使f（x）0成立的x的集合18（12分）已知等差数列an的首项为1，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）记Tn为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得Tn？若存在，求n的最大值；若不存
7、在，说明理由19（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF（）求证：A1FC1E；（）当三棱锥B1BEF的体积取得最大值时，求二面角B1EFB的正切值20（12分）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：日车流量x0x55x1010x1515x2020x25x25频率0.050.250.350.250.100将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立（）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于
8、10万辆的天数，求X的分布列和数学期望21（14分）已知椭圆C：=1（ab0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1（）求椭圆C的标准方程；（）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（tR，t2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q（）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（）在（）的条件下，当最小时，求点T的坐标22（14分）已知函数f（x）=exax1（a为常数），曲线y=f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为1（）求a的值及函数f（x）的单调区间；（）证明：当x0时，exx2+1；（）证明：当nN*时，湖北省武汉市武昌区2015届高三元月调考数学试卷（理
9、科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）i为虚数单位，若，则|z|=（）A1BCD2考点：复数求模 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数模的运算性质，将已知关系式等号两端取模，即可即可求得答案解答：解：，|z|=|，即2|z|=2，|z|=1，故选：A点评：本题考查了复数求模、熟练应用模的运算性质是关键，属于基础题2（5分）已知，B=（x，y）|（x1）2+（y1）21，“存在点PA”是“PB”的（）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件考点：必要条件、充分条件与
10、充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：首先，化简集合A的元素满足的特征，然后，根据集合B的元素构成，得到相应的结果解答：解：根据，得x，y满足条件为：，根据B=（x，y）|（x1）2+（y1）21，得x，y满足的条件为：以（1，1）为圆心，1为半径的圆及其内部，显然，（x，y）在B中，那么它必然在A中，反之不正确，故“存在点PA”是“PB”的必要不充分条件，故选：B点评：本题重点考查了充分条件、必要条件、充要条件的判断方法和判断标准，属于中档题3（5分）若的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为（）A1B2C3D4考点：二项式定理的应用 专题：计算题；不等式的解法及应用；二项式定理分
11、析：运用二项式展开式的通项公式，化简整理，再由条件得到方程，求出r=3，进而得到ab=1，再由重要不等式a2+b22ab，即可得到最小值解答：解：的展开式的通项公式为Tr+1=，由于x3项的系数为20，则123r=3，解得，r=3，即有=20，即有ab=1，则a2+b22ab=2，当且仅当a=b，取得最小值2故选B点评：本题考查二项式定理和通项公式的运用，考查重要不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题4（5分）根据如下样本数据 x34567y4.02.50.50.52.0得到的回归方程为若a=7.9，则x每增加1个单位，y就（）A增加1.4个单位B减少1.4个单位C增加1.2个单位D减
12、少1.2个单位考点：线性回归方程 专题：概率与统计分析：首先，根据所给数据，计算样本中心点（5，0.9），然后，将改点代人回归方程，得到b=1.4，从而得到答案解答：解：设变量x，y的平均值为：，=5，=0.9，样本中心点（5，0.9），0.9=5b+7.9b=1.4，x每增加1个单位，y就减少1.4故选：B点评：本题重点考查了回归直线方程的特征、回归直线方程中回归系数的意义等知识，属于中档题5（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面上用一平行于平面的平面去截这两个几何体，截面分
13、别为圆面和圆环面（图中阴影部分）设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）AS圆S圆环BS圆=S圆环CS圆S圆环D不确定考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据图形得出，S截面圆=（R2d2），r=d，S圆环=（R2d2），即可判断解答：解：根据题意：半球的截面圆：r=，S截面圆=（R2d2），取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，r=d，S圆环=（R2d2），根据得出：S截面圆=S圆环，故选：B点评：本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题6（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表
14、面积和体积分别是（）A24+和40B24+和72C64+和40D50+和72考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：根据三视图判断：几何体下部分为长方体，上部分为四棱锥运用体积面积公式求解即可判断解答：解：根据三视图判断：几何体下部分为长方体，上部分为四棱锥几何体如下；体积：342+=24+16=40，该几何体的表面积：34+2（3+4）2+44=64，故选：C点评：本题考查了空间几何体的性质，三视图的运用恢复立体图形，确定线段长度即可求解面积，体积，属于中档题7（5分）x、y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A或1B2或C2或1D2或1考
15、点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=yax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2xy+2=0平行，此时a=2，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y2=0，平行，此
16、时a=1，综上a=1或a=2，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义8（5分）如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，1），B（，1），C（，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）ABCD考点：几何概型 专题：概率与统计分析：利用定积分计算公式，算出曲线y=sinx与y=cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S=2，再由定积分求出阴
17、影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率解答：解根据题意，可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域，其面积为（sinxcosx）dx=（cosxsinx）|=1（）=1+；又矩形ABCD的面积为2，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；故选B点评：本题给出区域和正余弦曲线围成的区域，求点落入指定区域的概率着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题9（5分）抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，A、B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值为（）A1B2C3D4考点：抛物线的简单
18、性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）23ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos60=a2+b2ab，配方得，|AB|2=（a+b）23ab，又ab，（a+b）23ab（a+b）2（a+b）2=（a+b）2得到|AB|（a+b）
19、1，即的最大值为1故选：A点评：本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题10（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，它的图象关于直线x=1对称，且f（x）=x（0x1）若函数y=f（x）a在区间10，10上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（）A，B（，）C，D（，）考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：根据f（x）的图象关于x=1对称得f（1+x）=f（1x），由f（x）是R上的奇函数求出函数的周期，再画出f（x）和y=的图象（第一象限部分），由图得函数y=f（
20、x）a在区间10，10上有10个零点的条件，列出不等式组求出实数a的取值范围解答：解：因为f（x）的图象关于x=1对称，所以f（1+x）=f（1x）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）=f（x1）所以f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）=f（x）则f（x）是周期为4的函数，由f（x）=x（0x1）画出f（x）和y=的图象（第一象限部分）：因为函数y=f（x）a在区间10，10上有10个零点，所以y=f（x）与y=+a在区间10，10上有10个不同的交点，因为y=f（x）与y=是奇函数，所研究第一象限的部分交点问题即可，而y=+a的图象是由y=的图象上下平移得到，由图得，向
21、上平移时保证图象第三象限的部分在x轴的下方，则第一象限的部分有4个交点，第三象限的部分有6个交点，同理向下平移时保证图象第一象限的部分在x轴的上方，则第一象限的部分有6个交点，第三象限的部分有4个交点，即，解得，故选：C点评：本题考查函数的周期性、奇偶性、对称性的综合应用，图象平移问题，以及反比列函数的图象，考查数形结合，数形结合是2015届高考中常用的方法，属于难题二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11-14题）11（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，
22、F为AD的中点，则=0考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题分析：建立平面直角坐标系，结合正方形的边长，可求，进而可求解答：解：如图所示，建立平面直角坐标系则A（0，0）B（2，0），C（2，2），D（0，2）E为CD的中点，F为AD的中点E（1，2），F（0，1）=（1，2），=（2，1）则=1（2）+21=0故答案为：00点评：本题主要考查了向量数量积的求解，建立坐标可以简化基本运算12（5分）根据如图框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是an=2n考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式解答：解：由程序框图知
23、：ai+1=2ai，a1=2，数列为公比为2的等比数列，an=2n故答案为：an=2n点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键，属于基础题13（5分）设斜率为的直线l与双曲线=1（a0，b0）交于不同的两点P、Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设斜率为的直线l：y=x+t，代入双曲线方程，消去y，由题意可得，方程的两根分别为c，c则有t=0，代入c，得到方程，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求解答：解：设斜率为的直线
24、l：y=x+t，代入双曲线方程，消去y，可得，（b2a2）x2a2txa2t2a2b2=0，由于点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则有上式的两根分别为c，c则t=0，即有（b2a2）c2=a2b2，由于b2=c2a2，则有2c45a2c2+2a4=0，由e=，则2e45e2+2=0，解得e2=2（舍去），则e=故答案为：点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题14（5分）“渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）（）共有126个五位“渐
25、升数”（用数字作答）；（）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是34579考点：计数原理的应用 专题：排列组合分析：（）分析可得“渐升数”中不能有0，则可以在其他9个数字中任取5个，按从小到大的顺序排成一列，即可以组成一个“渐升数”，即每种取法对应一个“渐升数”，由组合数公式计算C95即可得答案，（），先计算1和2，3在首位的“渐升数”的个数，可得第100个“渐升数”的首位是3，进而计算3在首位，第二位是4，第三位是5的“渐升数”的个数，即可分析可得第1111个“渐升数”是首位是3、第二位是4，第三位是5的“渐升数”中最大的一个，即34589，继而求出第
26、110个解答：解：（）根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取5个，每种取法对应一个“渐升数”，则共有“渐升数”C95=126个，（）对于这些“渐升数”，1在首位的有C84=70个，2在首位的有C74=35个，3在首位的有C64=15个，对于3在首位的“渐升数”中，第二位是4的有C53=10个，第三位是5的有C42=6，70+35+10+6=111，所以则第111个“渐升数”是首位是3、第二位是4，第三位是5的“渐升数”中最大的一个，即34589则第110个“渐升数”即34579；故答案为126，34579；点评：本题考查排列、组合的应用，关键是理解“渐升数”的含义，其次要注意0
27、不能在首位，即“渐升数”中不能有0（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分.）（选修4-1：几何证明选讲）15（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=4考点：圆的切线的判定定理的证明 专题：选作题；立体几何分析：由题意，PAB=C，可得PABPCA，从而，代入数据可得结论解答：解：由题意，PAB=C，APB=CPA，PABPCA，PA=6，AC=8，BC=9，PB=3，AB=4，故答案为：4点评：本题考查圆
28、的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题（选修4-4：坐标系与参数方程）16已知曲线C1的参数方程是（t为参数，a为实数常数），曲线C2的参数方程是（t为参数，b为实数常数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程是=1若C1与C2分曲线C3所成长度相等的四段弧，则a2+b2=2考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：由题意将参数方程、极坐标方程化为普通方程，再由题意判断出直线与圆相交截得的弦长所对的圆心角是90，利用点到直线的距离公式求出a、b，代入a2+b2求值解答：解：由题意得，C1的普通方程：y=x+a，C2的普
29、通方程：y=x+b，因为曲线C3的极坐标方程是=1，化为直角坐标方程为x2+y2=1，因为C1与C2分曲线C3所成长度相等的四段弧，所以直线y=x+a、y=x+b与圆x2+y2=1相交截得的弦长所对的圆心角是90，则圆心到直线的距离d=，即=，解得a=1，即不妨令a=1、b=1，所以a2+b2=2，故答案为：2点评：本题考查参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，以及直线与圆相交的问题，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（11分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+cos2xsin2x+a的在区间0，上的最小值为0（）求常
30、数a的值；（）当x0，时，求使f（x）0成立的x的集合考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性 专题：三角函数的图像与性质分析：利用两角和与差的三角函数式化简f（x）为一个角的一个三角函数的形式，然后解答解答：解：（）因为f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+cos2xsin2x+a=+cos2x+a，所以，所以因为时，所以x=时，f（x）的取得最小值f（）=1+a依题意，1+a=0，所以a=1（）由（）知要使f（x）0，即所以，即当k=0时，；当k=1时，又x0，故使f（x）0成立的x的集合是点评：本题考查了两角和与差的三角函数公式的运用化简三角函数解析式为最简形式，然后解答相关问
31、题；关键是正确化简18（12分）已知等差数列an的首项为1，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）记Tn为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得Tn？若存在，求n的最大值；若不存在，说明理由考点：数列与不等式的综合；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（）设数列an的公差为d，利用S1，S2，S4成等比数列，求出公差，然后求出通项公式（）利用an=1时，Tn=n1，此时不存在正整数n，使得；当an=2n1时，利用裂项法求出Tn，通过，解得n1007得到n的最大值解答：解：（）设数列an的公差为d，依题意，1，2+d，4+6d成等比数列，所以（2+d）2
32、=4+6d，即d22d=0，所以d=0或d=2因此，当d=0时，an=1；当d=2时，an=2n1（6分）（）当an=1时，Tn=n1，此时不存在正整数n，使得；当an=2n1时，=由，得，解得n1007故n的最大值为1006（12分）点评：本题考查数列求和，数列与不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力19（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF（）求证：A1FC1E；（）当三棱锥B1BEF的体积取得最大值时，求二面角B1EFB的正切值考点：用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法 专题：空间位置关系与距离；空间角分
33、析：设AE=BF=x以D为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标（）通过计算，证明A1FC1E（）判断当SBEF取得最大值时，三棱锥B1BEF的体积取得最大值求出平面B1EF的法向量，底面ABCD的法向量，设二面角B1EFB的平面角为，利用空间向量的数量积求出，然后求解二面角B1EFB的正切值解答：解：设AE=BF=x以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，x，0），F（2x，2，0）（）因为，所以所以A1FC1E（4分）（）因为，
34、所以当SBEF取得最大值时，三棱锥B1BEF的体积取得最大值因为，所以当x=1时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B1BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为E（2，1，0），F（1，2，0）设平面B1EF的法向量为，则得取a=2，b=2，c=1，得显然底面ABCD的法向量为设二面角B1EFB的平面角为，由题意知为锐角因为，所以，于是所以，即二面角B1EFB的正切值为（12分）点评：本题考查空间向量在立体几何值的应用，直线与直线的垂直，二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：日车流量x0x55x101
35、0x1515x2020x25x25频率0.050.250.350.250.100将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立（）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：（）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”直接求出概率即可（）X可能取的值为
36、0，1，2，3，求出相应的概率，写出X的分布列，即可求出E（X）解答：解：（）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”则P（A1）=0.35+0.25+0.10=0.70，P（A2）=0.05，所以P（B）=0.70.70.052=0.049（）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为，X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343因为XB（3，0.7），所以期望E（X）=30.7=2.1点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望与方差，考查计算能
37、力21（14分）已知椭圆C：=1（ab0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1（）求椭圆C的标准方程；（）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（tR，t2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q（）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；（）在（）的条件下，当最小时，求点T的坐标考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由已知可得，由此能求出椭圆C的标准方程（）（）设直线PQ的方程为x=my+2将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得（m2+3）y2+4my2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出t=
38、3（）T点的坐标为（3，m），|PQ|=由此能求出当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，1）解答：解：（）由已知可得，解得a2=6，b2=2所以椭圆C的标准方程是（）（）由（）可得，F点的坐标为（2，0）由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x=my+2将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得（m2+3）y2+4my2=0，其判别式=16m2+8（m2+3）0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，于是设M为PQ的中点，则M点的坐标为因为TFPQ，所以直线FT的斜率为m，其方程为y=m（x2）当x=t时，y=m（t2），所以点T的坐标为（t，m（t2），此时直线OT
39、的斜率为，其方程为将M点的坐标为代入，得解得t=3（）由（）知T点的坐标为（3，m）于是，=所以=当且仅当，即m=1时，等号成立，此时取得最小值故当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，1）点评：本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、弦长公式的合理运用22（14分）已知函数f（x）=exax1（a为常数），曲线y=f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为1（）求a的值及函数f（x）的单调区间；（）证明：当x0时，exx2+1；（）证明：当nN*时，考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利
40、用导数研究函数的单调性；数学归纳法 专题：导数的综合应用分析：（）求出函数的f（x）=exa通过f（x）=ex20，即可求解函数f（x）在区间（，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增（）求出f（x）的最小值，化简f（x）1ln4构造g（x）=exx21，通过g（x）0判断g（x）在（0，+）上单调递增，得到g（x）g（0），推出结果（）首先证明：当x0时，恒有令，则h（x）=exx2推出h（x）在（0，+）上单调递增，得到x+ln33lnx利用累加法推出解答：解：（）由f（x）=exax1，得f（x）=exa又f（0）=1a=1，所以a=2所以f（x）=ex2x1，f（x）=ex2由
41、f（x）=ex20，得xln2所以函数f（x）在区间（，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增（4分）（）证明：由（）知所以f（x）1ln4，即ex2x11ln4，ex2x2ln40令g（x）=exx21，则g（x）=ex2x0所以g（x）在（0，+）上单调递增，所以g（x）=exx21g（0）=0，即exx2+1（8分）（）首先证明：当x0时，恒有证明如下：令，则h（x）=exx2由（）知，当x0时，exx2，所以h（x）0，所以h（x）在（0，+）上单调递增，所以h（x）h（0）=10，所以所以，即x+ln33lnx依次取，代入上式，则，以上各式相加，有所以，所以，即（14分）另解：用数学归纳法证明（略）点评：本题考查函数的导数的应用，构造法以及累加法的应用，函数的导数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力是难题
