1、湖北省武汉市外国语学校2019-2020学年高一数学下学期5月月考试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 数列4，6，10，18，34，的通项公式等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据前五项的规律，即可得出.【详解】故选：C【点睛】本题主要考查了通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.2. 下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】取特殊值判断ABD，根据不等式的性质判断C.【详解】对于A，取时，则A错误；对于B，取时，则B错误；对于C，因为，所以由不等
2、式的性质可知，则C正确；对于D，取时，则D错误；故选：C【点睛】本题主要考查了根据所给条件判断不等式是否成立，属于中档题.3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将两边平方，结合平方关系，二倍角公式，即可得出答案.【详解】故选：B【点睛】本题主要考查了根据平方关系，二倍角公式化简求值，属于基础题.4. 已知圆锥的轴截面为正三角形，有一个球内切于该圆锥，圆锥的体积为，球的体积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设圆锥的底面半径为，该内切球的半径为，由等面积法得出，再由圆锥和球的体积公式求解即可.【详解】设圆锥的底面半径为，该内切球的半径为圆
3、锥的轴截面为正三角形由等面积法可知，故选：A【点睛】本题主要考查了求圆锥和球的体积比，涉及了球和圆锥的体积公式的应用，属于中档题.5. 已知两点，则与向量垂直的单位向量（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】设，根据与垂直，且列出方程组求解的坐标.【详解】设，则，即，解得或，所以或.故选：B.【点睛】本题考查单位向量的概念及向量的垂直关系，属于简单题.解答时，只要灵活运用平面向量的坐标运算公式即可.6. 已知中，角，的对边分别为，且，成等比数列，则角的取值范围为（ ）A. B. C D. 【答案】A【解析】【分析】由、依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正
4、弦定理化简，再利用余弦定理表示出，把得出关系式代入并利用基本不等式求出的范围，利用余弦函数的性质确定出的范围即可【详解】在中，、依次成等比数列，利用正弦定理化简得，由余弦定理得（当且仅当时取等号），因为,则的范围为，故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键7. 已知，、，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平方关系求出，的值，再由结合两角差的余弦公式计算即可.【详解】，故选：A【点睛】本题主要考查了利用两角差的余弦公式求三角函数值，属于中档题.8. 设是，两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正
5、确的个数是（ ）若，则；若，则若，则；若，则A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A【解析】【分析】通过例举法可分别找出对应反例，可判断4个命题全部错误【详解】中，若分别是平行于的另一平面内的两条相交直线，则也满足，故错误；中，两平面，则与可能平行也可能异面，故错误；若，当为内的两条平行直线时，只要平行于与的交线即满足题设，此时相交，故错误；中，若，此时与可能平行也可能异面，故错误；故正确的命题个数为0个故选：A【点睛】本题考查空间中直线与平面位置有关命题的判断，属于基础题9. 设为的重心，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据直角三角形以及重心的性
6、质得出，由余弦定理得出，利用三角恒等变换以及正弦定理和余弦定理的边角转化将化简，即可得出答案.【详解】设的延长线交于点，为的重心，为的中点又，又，由余弦定理得可得，即故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理应用，涉及了三角恒等变换的应用，属于中档题.10. 已知函数在区间内单调递减，则的最大值为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据余弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.【详解】由得，即函数的单调递减区间为函数在区间内单调递减，则满足，得，同时，则，则当时，当时，不等式无解故的最大值为故选：C【点睛】本题主要考查了三
7、角函数单调性的应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键，属于中档题.11. 如图，正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，经过，三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】分别取的中点为，根据平面的性质确定截面图形为正六边形，计算出，结合三角形的面积公式，即可得出截面图形的面积.【详解】分别取的中点为，连接容易得出，则点共面且即经过，三点的截面图形为正六边形连接，且相交于点因为，所以则截面图形的面积为故选：B【点睛】本题主要考查了由平面的基本性质作截面图形以及相关计算，属于中档题.12. 某同学研究如下数表时，发现其特点是每行每列都成等
8、差数列，在表中，数37出现的次数为（ ）234563579114710131659131721A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】第行第列的数记为，根据第一行数组成的数列是以为首项，公差为的等差数列，第列数组成的数列是以为首项，公差为的等差数列，得出，再由求出的值，即可得出答案.【详解】第行第列的数记为.那么每一组与的组合就是表中一个数因为第一行数组成的数列是以为首项，公差为的等差数列所以所以第列数组成的数列是以为首项，公差为的等差数列所以令，则则；所以37出现的次数为故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，涉及了等差数列通项公式的计算，属于中档题.二、填空题：本大
9、题共4小题.13. 已知向量，且，则_.【答案】【解析】【分析】由先求，再求的值.【详解】由条件可知，解得：，.故答案为：【点睛】本题考查两向量平行和两向量数量积的坐标表示，属于基础题型.14. 已知等差数列的公差，且，则_.【答案】【解析】【分析】将代换成和，代入，求得与的关系，再结合等差数列下标性质得，即可求解【详解】由题可知，故，解得，由等差数列的性质可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列基本量的求解，下标性质的应用，属于基础题15. 如图，正三棱锥的侧棱长为3，底面边长为2，则与所成角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】根据向量的运算得出，利用数量积公式得出与所成角的余弦值.【详解】
10、设与的夹角为，则与的夹角也是则与所成角的余弦值为故答案为：【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角的余弦值，属于中档题.16. 已知，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】令，利用同角三角函数的基本关系得出，从而将化为，再结合基本不等式得出最值.【详解】令则，当且仅当，即时，取等号则的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用，涉及了基本不等式求最值，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题.17. 已知函数（1）若函数的定义域为，求的取值范围；（2）若函数的值域为，求的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据定义域得出，对任意的都成立，由得出的取值范
11、围；（2）函数的值域为，则函数的值域包含，利用，即可得出的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，对任意的都成立则，解得（2）若函数的值域为，则函数的值域包含则，解得或【点睛】本题主要考查了由函数的定义域和值域求参数的范围，涉及了一元二次不等式的应用，属于中档题.18. 在锐角中，角、的对边分别为、，且有.（1）求；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边化角公式化简即可得出答案；（2）根据锐角三角形的性质得出，再由正弦定理的边化角公式结合三角函数的性质，求出的取值范围.【详解】（1）由正弦定理边化角公式可得，（2）由（1）可知，则为锐角三角形，则，【点睛
12、】本题主要考查了正弦定理边化角的应用，涉及了三角函数求值域的应用，属于中档题.19. 如图，在三棱柱中，分别是线段，的中点.（1）求证：平面；（2）是否在线段上存在一点使得平面平面，若存在指出具体位置；若不存在请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，为的中点.【解析】【分析】（1）连接，则也为的中点，由可证平面；（2）存在，为的中点时，平面平面，利用平面与平面平行的判定定理可证结论.【详解】（1）连接，则也为的中点，因为为的中点，所以为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面.（2）存在，为的中点时，平面平面，证明：连， 因为为的中点，为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，又由（1）知
13、平面，且，所以平面平面.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了平面与平面平行的判定定理，属于基础题.20. 武汉是我国著名的“火炉”城市之一，如图，武汉某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条夹角为（即）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长为且落在小路上，要求弦长，记弓形花园的顶点为，且，设，（1）将，用含有的关系式表示出来；（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即，长度），才使得喷泉与山庄距离即值最大？【答案】（1），（2）答案见解析【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理即可将，用含有的关系式表示出来；（2）
14、在中，由余弦定理得出，结合三角函数的性质，即可得出的最大值，再求出的长度即可.【详解】（1）在中，由正弦定理可知，则由正弦定理可得则（2），在中，由余弦定理可知，当时，即时，取最大值此时即当时，取最大值【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的实际应用，涉及了三角函数求值域，属于中档题.21. 在中，已知，在线段上，且，是边（含端点）上动点；（1）用向量，表示；（2）若存在点使得向量，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用平面向量的加法和减法法则求解；（2）设，根据得到，设，求出函数的值域即得解.【详解】（1）由题得.（2）设，因为，所以，所以，所以,所以,所以，
15、所以，设因为函数在单调递增，所以，所以.所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量的数量积的计算，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22. 已知数列的前项和满足，且，.（1）求，的值；（2）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；（3）设，数列的前项和为，求证：【答案】（1），；（2），证明见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）采用迭代法，计算，的值；（2）通过得出与的关系式，利用累乘法得出，验证为等差数列；（3）先得出，证明，恒成立，然后利用裂项相消法求和证明.【详解】解：（1）因为，所以当时有，将代入得：，同理，当时，有，得.（2）由 得-得：，即，又成立，故，则，累乘得：，即.故数列是以为首项，公差为的等差数列.（3），又因为时，恒成立，所以，则，两边同除以得：，即.所以.故.【点睛】本题考查数列的综合运用，考查学生利用递推关系式求解数列的前几项、通项公式的能力，考查数列与不等式的结合问题，难度较大. 一般地，利用递推关系式求通项公式时，多采用进行求解；解决数列前n项和与不等式的问题要注意观察目标式子的特点，合理放缩证明.
