1、第三章 三角恒等变换章前概览内容提要：学法指津：本章的特点是公式多，运算技巧强，因此学习时应遵循以下原则：1熟记课本中出现的公式和经常用到的有关重要结论，并注意其变形应用2对教材中出现的公式要做到真正理解、记准、用活，并知道公式的来龙去脉，能灵活运用公式解决问题3转化与化归思想是本章应用时最重要的，也是最基本的数学思想，它贯串于本章内容的始终，要认真体会理解，解题过程中要学会灵活运用第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学点：探究与梳理自主探究探究问题：在平面直角坐标系中作单位圆O，以Ox为始边作角，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B，则=_，=_，=_探究问题：1两角差的余弦公式=_（
2、这个公式对任意的都成立）2两角和的余弦公式=_3两角和的正弦公式=_4两角差的正弦公式=_5（1）=_；（2）=_探究问题：1在中，令_，可得到=_，简记为2在中，令_，可得到=_ _，简记为3在中，令_，可得到=_，简记为4在中考虑可将变形为=_=_，简记为重点把握1两角和的余弦与两角和、差的正弦、正切公式：（1）理顺公式间的逻辑关系：以代以代诱导公式（2）注意公式的结构特征和符号规律：对于公式，可记为“同名相乘，符号反”，对于公式，可记为“异名相乘，符号同”（3）公式应用时要注意的问题：符号变化规律可间记为“分子同，分母反”；公式适用范围：都不为2二倍角的正弦、余弦、正切公式：（1）在公式
3、，中，要求角为任意角；而公式中则要求角（2）一般来说， （3）； （4）对“二倍角”的广义理解：4是2的两倍，是的两倍，是的两倍等 （5）公式变形：降幂公式 3如何将三角函数式化成一个角的一个三角函数的形式？ （1）提取，增设辅助角，逆用两角和的正弦公式，化为； （2）辅助角大小确定：一般用的正切值确定的大小，但的具体范围必须用来确定 （3）不仅可化为，也可化为，但是的大小不一样题例：解析与点拨例1 （给角求值）求sin105的值.解析：sin105=sin(60+45)=sin60cos45+cos60sin45点拨：有几个常见值要熟悉，如sin15=cos75=；sin75=cos15=；
4、tan15=；tan75=等. 变式训练1：求的值例2 （给值求值）已知是第二象限角，求，的值解析：由是第二象限角，得，； ； 变式训练2：已知，求的值例3 已知、为锐角，求的值解析：（1）为锐角且，又、均为锐角，则，又，=点拨：（1）本题中巧用角的变换，建立了“未知”与“已知”间的桥梁；（2）常见角的变换有：，等.变式训练3：已知，求的值例4（给值求角）已知、均为锐角，且，求的值解析：、为锐角，且， ， 变式训练4：已知，且，求的值点拨：解给值求角问题的一般步骤：（1）求出角的某一个三角函数值；（2）确定角所在的范围；（3）根据角的范围写出所求的角.特别注意选取角的某一三角函数值时，是选正弦
5、还是余弦，应先缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内.例5已知是方程的两根，试求的值.解析：由已知有， ， =变式训练5：已知是方程的两根，且，求的值点拨：两角和的正切公式经常和方程结合起来，注意韦达定理的应用.例6化简（1）； （2）；（3）解析：（1）原式=（2）原式= ， 故原式=(3)原式= =变式训练6：（1）设，化简 ；（2）求值点拨：（1）当式子中既有弦又有切时，可以化切为弦.（2）注意创造条件来利用二倍角的正弦公式.例7(1)已知，求的值；(2)已知，求的值解析：(1)由已知，得，上两式相加得， 上两式相减得， 得，(2)两式平方相加得， 即 ， 变式训
6、练7：设, ，求 的值点拨：（1）注意整体思想与变换的思想（即化切为弦、收缩、常值代换、角的代换等）.（2）注意给值求角时，当范围较大时，要根据已知条件和三角函数在各象限的符号，尽量缩小角的范围，知道能够准确地确定角的值为止.例8已知函数，求：（1）函数的最小正周期；（2）求的单调递增区间解析：（1）， 函数的最小正周期为（2）当，即时，函数是增函数，故函数的单调增区间是点拨：将函数化为的形式易求解.例9已知ABC得三个内角A、B、C满足A+C=2B，且，求的值.解析：A+C=2B，可得B=60，设，利用条件可得，将代入有，再利用两角和与差的余弦公式展开，得，即 ， 整理得， ，解方程得 或（
7、舍）， 变式8：已知是三角形中的一个最小的内角，且满足，求的取值范围.学业水平测试巩固基础1.下列各式中，不正确的是（ ） A B C D2计算的值等于（ ）A B C D 3若，则的值为 （ ） A B C D-24若，则的值为 （ ） A B C D15在ABC中，A=15，则的值为 （ ） A B C D26若，则=_能力提升7若在ABC中，满足，则这个三角形一定是（ ） A、正三角形 B、等腰直角三角形 C、锐角三家形 D、钝角三角形8若，则=_9（1）若，则的取值范围是_ （2）已知，则的取值范围是_10化简下列各式：（1）；（2）； （3）；（4）11某工人要从一块圆心角为45的扇
8、形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积拓展创新12是否存在锐角和，使得下列两式；同时成立？13已知向量，其中O为坐标原点，（1）若，求向量与的夹角；（2）若对任意实数、都成立，求实数的取值范围.自主发展（用向量求值）若，求满足的和的值.参考答案：第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式变式训练：1 ；2；3；4；5；6（1），（2）；7；8学业水平测试：1D；2A；3A；4B；5C；6；7C ；83 ；9（1）-2，2，（2）；10（1）4，（2），（3）2，（4）3；11如图，设COP=（，矩形ABCD面积为S， OC=1， OB=，BC=，在RtOAD中， AOD=， OA=AD=， S=ABBC= =， ， ， 当，即时，12存在满足条件.13（1）设与的夹角为，则= ， 当时， ；当时， （2）， ， ，即，对恒成立.令，则，由题意，则，即实数的取值范围是自主发展：解：原式可化为，所以构造向量=(，b=，则b=，又因为|b|= ，（b|b，于是有，即，又，可得，代入中有，即，而，故，所以， 即
