1、湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2020届高三数学下学期押题考试试题 文（含解析）一、选择题1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出集合和集合,再求交集即可.【详解】解: ,故选:B【点睛】本题考查集合的交集运算,是基础题.2.已知复数满足，则的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】转化为，再利用复数的乘除法运算计算即可.【详解】解：由题知，所以的共轭复数为.故选：A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算，共轭复数的概念，是考查数学运算能力，是基础题.3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先比较和0
2、，1的大小，易比较出最小，再进行同底对数变形比较真数的大小即可.【详解】由已知可得：，只需比较和的大小即可，同时平方，所以所以故选：A【点睛】此题考查指对数比较大小，一般先和0，1比较缩小比较范围，再同底变化或者通过图像判断等，属于较易题目.4.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简函数表达式得，然后利用特殊值法和排除法得到答案.【详解】解：， 为奇函数，排除选项， 当 时， ，选项,排除，故选：.【点睛】此类题目多采用特殊值法，结合奇偶性、单调性得出答案，选特殊值时应该选具有区分度的特殊值和好计算的特殊值.5.本周日下午1点至6点学校游泳馆照常开放，甲、
3、乙两人计划前去游泳，其中甲连续游泳2小时，乙连续游泳3小时假设这两人各自随机到达游泳馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在游泳馆游泳的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设出甲乙到达的时刻，求出满足条件的不等式组，作出对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论【详解】解; 据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆,设甲、乙到达图书馆的时间分别为，则应满足，如图，所对应的矩形区域的面积为，下午5钟点时，甲、乙两人都在自习，则应满足，所对应的正方形区域的面积为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应的区域面积是解决本题的关键6.若平面
4、向量与的夹角为60，则向量的模为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 12【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积公式，计算即可.【详解】解：，又因为，所以整理得：，解得：或（舍），故.故选：B.【点睛】本题考查向量数量积，是基础题.7.随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品”.下图是2015年2019年，我国对快递行业发展的统计图.下面描述错误的是（ ）A. 从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势B. 2016年，快递业务量增长速度最快C. 从2016到2019年，快递业务量增长速度连续上升D. 从2
5、016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓【答案】C【解析】【分析】本题首先可以结合图像判断出A正确，然后求出从2016到2019年每一年的快递业务量增长率，即可得出结果.【详解】结合图像易知，我国快递业务量保持逐年增长的趋势，A正确，2016年，快递业务量增长率为；2017年，快递业务量增长率为；2018年，快递业务量增长率为；2019年，快递业务量增长率为；故2016年的快递业务量增长速度最快，B正确，从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓，C错误，D正确，故选：C.【点睛】本题主要考查学生对增长率的理解，能否从题意中找出需要的信息是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.
6、8.在锐角中，角，的对边分别为，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知结合正弦定理以及三角恒等变换，化简求出，由结合，求得，从而求出的值，再由正弦定理将结合关系，转化为（或 ）角的三角函数，注意求出角的范围，再用三角恒等变换求出范围.【详解】由可得：，.，又，.故选B.【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查利用三角恒等变换，以及正弦函数的图像与性质的应用，解题中要注意角的范围，属于中档题.9.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著书中商功有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高两丈问积及为粟几何？”其意思为“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为
7、12丈，高为2丈，问它的体积和堆放的粟各为多少？”如图所示，主人欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛等于2700立方寸，一斛粟米卖540钱，一两银子1000钱，则主人欲卖得银子（单位换算：1立方丈=立方寸）（ ）A. 800两B. 1600两C. 2400两D. 3200两【答案】B【解析】【分析】先计算它的体积，在根据题意计算即可.【详解】解：由底圆周长为12丈，圆周率约为3得底面半径为：丈，该堆粟的体积为：立方丈，故共有立方寸，故主人欲卖得银子为：两.故选：B.【点睛】本题考查空间几何体的体积的计算，考查数学文化的相关，是中档题.10.设，为双曲线同一条渐近线上的两个不同的点，若向量，且，
8、则双曲线的离心率为（ ）A. 2或B. 3或C. D. 3【答案】B【解析】【详解】由题意得，当双曲线的焦点在x轴上时，其渐近线方程为，即， 点（0,2）到渐近线的距离为，整理得， 当双曲线的焦点在y轴上时，其渐近线方程为，点（0,2）到渐近线的距离为，整理得， 综上双曲线的离心率为或3选B点睛：（1）解答本题时要读懂题意，结合可得向量与夹角的正弦值，进而得到点（0,2）到渐近线的距离，这是解题的突破口然后再根据点到直线的距离公式得到，变形后根据定义可得双曲线的离心率（2）求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方
9、程或不等式求得离心率的值或取值范围11.已知的定义城为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由坐标结构特点想到构造函数并得到其单调性，再对两边同乘，得到，结合单调性可得不等式，解出答案.【详解】解：构造函数则所以在上单调递减又因为所以所以解得或（舍）所以不等式的解集是故选:C【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确
10、构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.12.将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据y=Acos（x+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得的取值范围【详解】函数的图象先向右平移个单位长度，可得图象，再将图象上每个点的横坐标变为原
11、来的倍(纵坐标不变)，得到函数图象，周期，若函数在上没有零点， ， ，解得，又，解得，当k=0时，解，当k=-1时，可得，.故答案为：A.【点睛】本题考查函数y=Acos（x+）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.二、填空题13.已知实数，满足约束条件，则的最大值为_【答案】6【解析】【分析】作出不等式组对应的可行域，如下图阴影部分，当目标函数过点时，取得最大值，求解即可.【详解】作出不等式组对应的可行域，如下图阴影部分，联立，可得，目标函数可化为，当目标函数过点时，取得最大值，.故答案为：6.【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合的数学方
12、法的应用，属于基础题.14.若数列an满足a12，an+1，a2020_.【答案】【解析】【分析】分别求出，得到数列是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果.【详解】数列满足，同理可得：，数列是周期为4的数列，又20205054，故答案为：.【点睛】本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.已知数列的前几项，写出数列的一个通项公式，常用的方法有：（1）通过观察、分析、联想、比较，发现项与项之间的关系；（2）如果关系不明显，可以将该数列同时加上或减去一个数，或分解等，将规律呈现出来，便于找出通项公式；（3）正负号间隔的用或来调整；（4）若项中出现分式，则要分子分母分别找通项，同时要
13、注意分子分母的关系；（5）分别观察奇数项与偶数项的的变化规律，可用分段函数的形式写出通项公式.15.若，则函数的最大值为_【答案】【解析】【分析】先根据二倍角正切公式化简，取倒数转化为关于的一元二次函数，再根据二次函数性质求最值,即得结果.【详解】解:.令，则.当时，最小值为，.即的最大值为故答案为：【点睛】本题考查二倍角正切公式、利用二次函数求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.16.菱形边长为3，将沿对角线翻折使得二面角的大小为120，已知、四点在同一球面上，则球的表面积等于_【答案】【解析】【分析】利用三棱锥外接球球心与底面三角形外心的连线垂直于底面，作出，的外心，三棱锥的外接球球心，
14、利用，均为等边三角形得到，由得到，从而求出，进而求出外接球半径，得出答案.【详解】如图，为的中点，分别为，的外心，为三棱锥的外接球球心， 菱形边长为3， 为二面角的平面角，故， ，均为直角三角形，所以，所以由 ， ，球的表面积为，故答案为：.【点睛】此题关键是作出图形，找到外接球球心位置，要利用好“外接球球心与底面三角形外心的连线垂直于底面”这个性质.三、解答题（一）必考题17.在数列，中，（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）可将代入，计算可得数列的通项公式，然后根据可得数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式，再根据定义法可证
15、明数列是等差数列；（2）先根据（1）的结果计算出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求出前项和.【详解】（1）证明：由题意，将代入，可得，即，数列是以为公差的等差数列（2）由（1）知，则，两式相减，得，所以【点睛】本题主要考查数列求通项公式，等差数列的证明，以及运用错位相减法求和的问题，考查了转化与化归思想、逻辑思维能力和数学运算能力，属于中档题.18.如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，且底面（1）证明：平面；（2）若为的中点，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】【分析】（1）通过条件各边长之间的关系得,再利用底面为平行四边形可得，再根据平面求得，即可证明平面.（2）
16、利用三棱的积和三棱锥的积相等，将体积转化即可。【详解】（1）证明：，又底面，平面（2）三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，而所以三棱锥的体积【点睛】本题主要考查点、直线、平面的位置关系，以及等体积公式的应用.涉及几何体，特别是棱锥的体积计算问题，一般要进行转化，变换顶点后，有时还需要利用等底等高转换，还可以利用直线上的点为中点或三等分点再进行顶点变换，从而求出几何体的体积.19.2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体上在线学习，为了研究上学习的情况，某上随机抽取100名学生对于线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为，其中男生有50人表示对线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意（1
17、）完成列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；满意不满意总计男生女生合计100（2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取9名学生，再从这9名学生中抽取2名学生，介绍线上学习的经验，求抽取的两名学生中恰有一名男生与一名女生的概率参考公式：附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8425.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，没有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）【解析】【分析】（1）根据男女生的人数之比为3：2，以及总人数100人，可求出男女生的人数，
18、即可完成列联表，并根据独立性检验的基本思想，求出的观测值，对照临界值表，即可判断是否有把握.（2）利用分层抽样可得，男生6人，女生3人，列出抽取2人的所有基本事件和恰好抽取到一名男生和一名女生的情况，由古典概型即可求出概率.【详解】（1）列联表如下：满意不满意总计男生501060女生251540合计7525100所以没有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）由题知，从对线上教育满意的75人中，分层抽样抽取9人，则9人中，男生人数为：人，设，女生人数：人，设为，则9人中再抽取2人，有以下情况：，共有36种，其中恰好抽取到一名男生和一名女生共有18种，所以9人中抽取2人，抽到一名男
19、生和一名女生的概率为：【点睛】本题考查了独立性检验的基本思想的初步运用、分层抽样和古典概型，考查了数学运算能力、数据分析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.20.已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）经过点且斜率存在的直线交椭圆于、两点，点与点关于坐标原点对称连接，是否存在实数，使得对任意直线，都有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，根据离心率和的等量关系可求得，从而确定椭圆方程.（2）设直线方程为，直线与椭圆联立，设，利用韦达定理和斜率公式计算可得和，从而可得所求值.【详解】（1）由题意可知，又，得，所以椭圆的方程为（
20、2）设直线的方程为，联立，可得，设，则有，因为，所以，又因为点与点关于原点对称，所以，即，则有，由点在椭圆上，得，所以，所以，即，所以存在实数，使成立【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查直线与椭圆位置关系和韦达定理以及斜率公式的应用，考查学生的计算能力，属于中档题.21.函数.（1）若为的极值点，求实数；（2）若在上恒成立，求实数的范围.【答案】（1）-2（2）【解析】【分析】（1）求得函数的导数，根据，求得，验证即可求解；（2）由（1）知时，为增函数，根据和分类讨论，结合函数的单调性和最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，令，解得，当时，当时，；当时，令，即为增函数，综上时，
21、；时，时，为的极值点.（2）因为，；由（1）知时，为增函数，当，即时，为增函数，即在上恒成立当，即时，因为，使，当，为增函数；当，为减函数，与在上恒成立相矛盾，不成立综上时，在上恒成立.所以，实数的范围是.【点睛】本题主要考查导数在函数中综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题（二）选考题22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的
22、极坐标系中，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点的坐标为，直线与曲线相交于，两点，求的值【答案】（1）； （2）【解析】【分析】(1) 由得，把，代入上式即可. (2) 将代入中,得 ，把， 代入上式即可.【详解】解：（1）曲线，即，由于，所以，即（2）将代入中，得，设两根分别为，则，所以【点睛】考查把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线方程中的几何意义求与两根之和、之积有关的式子的值，中档题.23.已知函数，.（1）解不等式：；（2）记的最小值为，若实数，满足，试证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】(1)先将化为分段函数形式,然后根据,分别解不等式即可;(2)由(1)可得,从而得到,再利用基本不等式求出的最小值.【详解】(1).,或或,或或,不等式的解集为;(2)因为(当且仅当等号成立),所以的最小值,即,所以(当且仅当,等号成立).【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值,属于中档题.
