1、1.如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQBB1(0)(1)若，求AP与AQ所成角的余弦值；(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45，求实数的值解：以，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，P(1,2,2)，Q(2,0,2)(1)当时，(1,2,2)，(2,0,1)，所以cos，.所以AP与AQ所成角的余弦值为. (2)(0,0,2)，(2,0,2)设平面APQ的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x2，y2.所以n(2，2，2)又因为直线AA1与平面APQ所成角为45
2、，所以|cosn，|，可得5240，又因为0，所以.2(2019宿迁期末)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBC1，BB12，点D在棱BB1上，且C1DAB1.(1)求线段B1D的长；(2)求二面角DA1CC1的余弦值解：在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，则以，为基底构建如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，A(1,0,2)，B1(0,1,0)，C1(0,0,0)，B(0,1,2)，C(0,0,2)，所以(1,1，2)，设B1Dt,0t2，则D(0,1，t)，(0,1，t)(1)由C1DAB1，得0，所以12t0t，所以B1D.(2)易知平面A1C1C的一个
3、法向量为(0,1,0)，设平面A1CD的一个法向量为n(x，y，z)，由(1)知，(1,0,2)，因为所以取z2，则y3，x4，所以n(4,3,2)，所以cosn，.所以二面角DA1CC1的余弦值为.3.如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，已知BADCDA90，ADCD2，AB1，SASD，且平面SAD平面ABCD.(1)当SASD时，求直线SA与平面SBC所成角的正弦值； (2)若平面SBC与平面SAD所成角的大小为，求SA的长解：(1)取AD中点O，连结SO.因为SASD，所以SOAD，因为平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，SO平面SAD，所以SO平面ABCD.建
4、立如图所示的空间直角坐标系，由条件可得，A(1,0,0)，S(0,0,1)，B(1,1,0)，C(1,2,0)所以(1,0，1)，(1,1，1)，(2,1,0)设平面SBC的法向量n(x，y，z)，则所以取n(1,2,3)设直线SA与平面SBC所成角为，则sin |cos，n|.(2)设SOa，则S(0,0，a)，所以(1,1，a)，平面SBC的法向量n(x，y，z)满足取n.取平面SAD的法向量n(0,1,0)，所以cos，解得a，所以SA2.4.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，ADBC，APABAD1.(1)若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；(2)求二面角
5、BPDA的余弦值解：(1)以，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为APABAD1，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)设C(1，y,0)，则(1,0，1)，(1,1y,0)因为直线PB与CD所成角大小为，所以|cos，|，即，解得y2或y0(舍)，所以C(1,2,0)，所以BC的长为2.(2)设平面PBD的法向量为n1(x，y，z)因为(1,0，1)，(0,1，1)，则即令x1，则y1，z1，所以n1(1,1,1)因为平面PAD的一个法向量为n2(1,0,0)，所以cosn1，n2，所以由图可知二面角BPDA的余弦值为.5(2019苏
6、州调研)如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，且ABBP2，ADAE1，AEAB，且AEBP.(1)求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；(2)线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由解：(1)因为AEAB，AEBP，所以BPAB，因为平面ABCD平面ABPE，平面ABCD平面ABPEAB，所以BP平面ABCD，又ABBC，所以直线BA，BP，BC两两垂直以B为坐标原点，分别以BA，BP，BC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,2,0)，B(0,0,0)，
7、D(2,0,1)，E(2,1,0)，C(0,0,1)，因为BC平面ABPE，所以(0,0,1)为平面ABPE的一个法向量，设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，易得(2，2,1)，(2,0,0)，则即令y1，则z2，故n(0,1,2)，设平面PCD与平面ABPE所成的二面角大小为，则|cos |，由图知，所求二面角为锐角，所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值为.(2)假设满足题意的点N存在，设(2，2，)(01)，则(2，22，)由(1)知，平面PCD的一个法向量为n(0,1,2)，设直线BN与平面PCD所成的角为，则sin |cos，n|，即92810，解得1或(舍去)故当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.
