1、2015-2016学年山东省枣庄八中南校区高三（上）1月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1设全集为R，A=x|x（x2）0，B=x|y=ln（1x），则A（RB）=（）A（2，1）B1，2）C（2，1D（1，2）2下列命题中，假命题是（）AxR，3x20Bx0R，tanx0=2Cx0R，log2x02DxN*，（x2）203已知tan=2，且（，0），则sincos的值是（）ABCD4直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“OAB的面积为”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件
2、5已知向量，其中=（1，），且（3），则在上的投影为 （）ABCD6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD7函数y=的图象大致为（）ABCD8设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为8，则ab的最大值为（）A1B2CD49已知函数f（x）=sin（x），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）Ax=Bx=Cx=Dx=10已知函数f（x）=，若函数y=f（x）k（x+1）有三个零点，则实数k的取值范围是（）A（1，+）B（，0）C（0，）D（，1）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11如图，在棱长为2的正方体ABC
3、DA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于12已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，an=2Sn1（n2），则an=13若对任意实数x，不等式|x+3|+|x1|a23a恒成立，则实数a的取值范围为14已知双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是15如图，在ABC中，B=45，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或
4、演算步骤16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（）求cosA的值；（）若，b=5，求角B、边c的值17某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数46来源:Zxxk.Com46（）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为，求随机变量的概率分布列和数学期望18已知公比为q的等比数列an是递减数列，且满足（）求数列an的通项公式；
5、（）求数列（2n1）an的前n项和Tn19如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD（）求证：ABPD；（）若BPC=90，PB=PC=2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时直线PB与平面PDC所成角的正弦值20已知椭圆+=1（ab0）经过点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1（c，0）与F2（c，0）（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M（4，0）作斜率为k（k0）的直线l，交椭圆C于B、D两点（B在M、D之间），N为BD中点，并设直线ON的斜率为k1（i）证明：kk1为值；（ii）是否存在实数k，使得F1NAD？如果存在，求
6、直线l的方程；如果不存在，请说明理由21设aR，函数f（x）=ax2（2a+1）x+lnx（）当a=1时，求f（x）的极值；（）设g（x）=exx1，若对于任意的x1（0，+），x2R，不等式f（x1）g（x2）恒成立，求实数a的取值范围2015-2016学年山东省枣庄八中南校区高三（上）1月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1设全集为R，A=x|x（x2）0，B=x|y=ln（1x），则A（RB）=（）A（2，1）B1，2）C（2，1D（1，2）【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】分别求出关于A，B的集合，再求出B在R的补
7、集，从而求出则A（RB）【解答】解：A=x|x（x2）0=x|0x2，B=x|y=ln（1x）=x|1x0=x|x1，RB=x|x1，A（RB）=1，2）故选：B【点评】本题考查了集合的补集，交集的运算，是一道基础题2下列命题中，假命题是（）AxR，3x20Bx0R，tanx0=2Cx0R，log2x02DxN*，（x2）20【考点】全称命题；特称命题【专题】函数的性质及应用；简易逻辑【分析】根据指数函数，对数函数，正切函数，二次函数的图象和性质，分别判断四个答案的真假，可得答案【解答】解：由指数函数的值域为（0，+）可得：xR，3x20为真命题；由正切函数的值域为R可得：x0R，tanx0=
8、2为真命题；由对数函数的值域为R可得：x0R，log2x02为真命题；当x=2时，（x2）2=0，故xN*，（x2）20为假命题，故选：D【点评】本题考查的知识点是全称命题，函数的值域，是函数与命题的综合应用，难度不大，属于基础题3已知tan=2，且（，0），则sincos的值是（）ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】三角函数的求值【分析】由tan的值，根据的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin与cos的值，代入原式计算即可得到结果来源:Z&xx&k.Com【解答】解：tan=20，（，），cos=，sin=，则sincos=+=【点评】此题考查了同角三角基本关系的运用，
9、熟练掌握基本关系是解本题的关键4直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“OAB的面积为”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质【专题】直线与圆；简易逻辑【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则OAB的面积为=成立，即充分性成立若OAB的面积为，则S=2=，即k2+1=2|k|
10、，即k22|k|+1=0，则（|k|1）2=0，即|k|=1，解得k=1，则k=1不成立，即必要性不成立故“k=1”是“OAB的面积为”的充分不必要条件故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键5已知向量，其中=（1，），且（3），则在上的投影为 （）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】利用在上的投影为即可得出【解答】解：由已知， =（1，），且（3），=43，所以在上的投影为；故选C【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的投影，属于基础题6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
11、为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的左边侧面与底面垂直，四棱锥的底面是边长为2的正方形，画出其直观图如图，由侧视图等腰三角形的腰长为，求得棱锥的高，把数据代入棱锥的体积公式计算【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，四棱锥的左边侧面与底面垂直，其直观图如图：且四棱锥的底面是边长为2的正方形，由侧视图等腰三角形的腰长为，得棱锥的高为=2，几何体的体积V=222=故选B【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及求相关几何量的数据7函数y=的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【专题】
12、函数的性质及应用【分析】现根据函数的奇偶性排除A，再根据函数值y的情况排除B，再利用极限的思想排除C，问题得以解决【解答】解：f（x）=f（x），函数f（x）为奇函数，故排除A，当x0时，3x3x，当x0时，3x3x，当2k3x2k+，即x+时，cos3x0，故y0，故排除B，因为=0，故排除C，故选：D【点评】本题考查了函数的图象的识别，函数的奇偶性，函数值，极限是常用的方法，属于中档题8设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为8，则ab的最大值为（）A1B2CD4【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求
13、出最优解的坐标，代入目标函数得到3a+14b=20，然后利用基本不等式求得ab的最大值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（）化z=ax+by为，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z最大此时z=，即3a+14b=20a0，b0，即ab的最大值为故选：C【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题9已知函数f（x）=sin（x），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；定积分【专题】三角函数的图像与性质【分析】由f（x）dx=0
14、求得cos（+）=0，故有 +=k+，kz可取=，则f（x）=sin（x）令x=k+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程【解答】解：函数f（x）=sin（x），f（x）dx=cos（x）=cos（）cos（）= cossin=cos（+）=0，+=k+，kz，即 =k+，kz，故可取=，f（x）=sin（x）令x=k+，求得 x=k+，kZ，则函数f（x）的图象的一条对称轴为 x=，故选：A【点评】本题主要考查定积分，函数y=Asin（x+）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题10已知函数f（x）=，若函数y=f（x）k（x+1）有三个零点，则实数k的取值范围是
15、（）A（1，+）B（，0）C（0，）D（，1）【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】函数y=f（x）k（x+1）有三个零点可化为f（x）k（x+1）=0有三个不同的解；易知x=1不是方程的解，故可化为k=；从而作图求解【解答】解：函数y=f（x）k（x+1）有三个零点可化为f（x）k（x+1）=0有三个不同的解；易知x=1不是方程的解，故可化为k=；作y=的图象如下，由图象结合选项可知，实数k的取值范围是（0，）；故选C【点评】本题考查了函数的性质与图象的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于基础题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11如图，
16、在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】首先通过做平行线把异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，进一步利用解直角三角形知识求得结果【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF由于O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，所以：EFBC1AD1所以：异面直线OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角平面ABCD平面BCC1B1OFBC所以：OF平面BCC1B1EF平面BCC1B1所以：EFOFcos故答案为：【点评】本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，线面
17、垂直与面面垂直及线线垂直之间的转化，属于基础题型12已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，an=2Sn1（n2），则an=【考点】数列递推式【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】利用n2时，an=SnSn1，确定数列Sn是以1为首项，3为公比的等比数列，从而可得结论【解答】解：n2时，an=2Sn1，SnSn1=2Sn1，Sn=3Sn1，a1=1，S1=1数列Sn是以1为首项，3为公比的等比数列Sn=3n1，n2时，an=2Sn1=23n2，又a1=1，an=故答案为：【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查数列的通项，确定数列Sn是以1为首项，3为公比的等比数列是解题的关键
18、13若对任意实数x，不等式|x+3|+|x1|a23a恒成立，则实数a的取值范围为1，4【考点】函数恒成立问题【专题】不等式的解法及应用【分析】由绝对值的集合意义求得|x+3|+|x1|的最小值，把不等式|x+3|+|x1|a23a恒成立转化为a23a4，求解该不等式得答案【解答】解：由绝对值的几何意义知，|x+3|+|x1|表示数轴上的动点x与两定点3，1的距离，则|x+3|+|x1|的最小值为4，要使不等式|x+3|+|x1|a23a恒成立，则a23a4，即a23a40，解得：1a4满足对任意实数x，不等式|x+3|+|x1|a23a恒成立的实数a的取值范围为1，4故答案为：1，4【点评】
19、本题考查了函数恒成立问题，考查了绝对值的几何意义，考查了数学转化思想方法，是中档题14已知双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是y2=4x【考点】双曲线的简单性质【分析】把x=代入，解得y，可得|AB|=，利用AOB的面积为，可得=，再利用=2，解得即可得出p【解答】解：把x=代入，解得y=|AB|=，AOB的面积为，=，由=2，解得=来源:Z。xx。k.Com，解得p=2该抛物线的标准方程是y2=4x故答案为：y2=4x【点评】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性
20、质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15如图，在ABC中，B=45，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为来源:学+科+网Z+X+X+K【考点】余弦定理【专题】综合题【分析】先根据余弦定理求出ADC的值，即可得到ADB的值，最后根据正弦定理可得答案【解答】解：在ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cosADC=，ADC=120，ADB=60在ABD中，AD=5，B=45，ADB=60，由正弦定理得，AB=故答案为：【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理属基础题三、解答题：本大题共6个小题，共75分
21、，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（）求cosA的值；（）若，b=5，求角B、边c的值【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】（I）利用三角函数的降幂公式和诱导公式，化简题中等式得，再利用两角和的正弦公式得，即得cosA的值；（II）由同角三角函数关系算出，再根据正弦定理得出，结合题意算出最后根据余弦定理a2=b2+c22bccosA的式子加以计算，即可得到边c的值【解答】解：（I）由，得，（3分）即，可得，即（6分）（II）由，得，根据正弦定理，得由题意ab，则AB，故（9分）再由余弦定理a2
22、=b2+c22bccosA，得，解之得c=1（c=7舍去）（12分）【点评】本题着重考查了三角函数恒等变换公式、正弦定理、余弦定理和三角形大角对大边等知识，属于中档题17某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数4646（）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为，求随机变量的概率分布列和数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算
23、基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差【专题】概率与统计【分析】（）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率（）可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的概率分布列和数学期望【解答】解：（）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：所以（）可能的取值为0，1，2，3，所以的分布列为0123P所以【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合
24、知识的合理运用18已知公比为q的等比数列an是递减数列，且满足（）求数列an的通项公式；（）求数列（2n1）an的前n项和Tn【考点】数列的求和【专题】综合题；等差数列与等比数列【分析】（）由a1a2a3=及等比数列性质得=，可求得a2=，根据等比数列的通项公式求出数列的首项和公比，然后求数列an的通项公式；（）利用错位相减法可求数列（2n1）an的前n项和为Tn；【解答】解：由a1a2a3=，及等比数列性质得=，解得a2=，由a1+a2+a3=得a1+a3=由以上得，=，即3q210q+3=0，解得q=3，或q=an是递减数列，故q=3舍去，q=，由a2=，得a1=1故数列an的通项公式为a
25、n=（nN*）（II）由（I）知（2n1）an=，Tn=1+，Tn=+得： Tn=1+=1+2（+）=1+2=2，Tn=3【点评】本题主要考查等比数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，考查学生的运算求解能力，属中档题19如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD（）求证：ABPD；（）若BPC=90，PB=PC=2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时直线PB与平面PDC所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系来源:Zxxk.Com【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）由已知条件推导出AB平面PAD，由此能证明
26、ABPD（）取线段AD的中点O，连结PO，则PO平面ABCD，取BC中点M，连结OM，则OMAD，设AB=x，则VPABCD=，当且仅当x2=1，即x=1时，四棱锥PABCD的体积最大，此时以O为原点，OA为x轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PDC所成角的正弦值【解答】（）证明：平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，ABAD，AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD，ABPD（）解：由题意得AB平面PAD，DC平面PAD，在RtPAB与RtPDC中，PB=PC=2，AB=DC，PA=PD，PAD为等腰三角形，取线段AD的中点O，连结PO，则P
27、O平面ABCD，取BC中点M，连结OM，则OMAD，设AB=x，则OM=AB=x，在BPC中，BPC=90，PB=PC=2，BC=2，PM=，在RtPOM中，PO=，VPABCD=，当且仅当x2=1，即x=1时，四棱锥PABCD的体积最大，此时以O为原点，OA为x轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（），C（，1，0），D（，0，0），P（0，0，1）， =（0，1，0），设平面PDC的一个法向量=（x，y，z），由，令x=1，解得=（1，0，），又=（），设直线PB与平面PDC所成角为，sin=|cos|=|=直线PB与平面PDC所成角的正弦值为【点评】本题考查异面向量
28、垂直的证明，考查四面体体积最大时线段长的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用20已知椭圆+=1（ab0）经过点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1（c，0）与F2（c，0）（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M（4，0）作斜率为k（k0）的直线l，交椭圆C于B、D两点（B在M、D之间），N为BD中点，并设直线ON的斜率为k1（i）证明：kk1为值；（ii）是否存在实数k，使得F1NAD？如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（I）由椭圆经过点（0，），
29、离心率为，可得，解得即可（II）（i）设B（x1，y1），D（x2，y2），线段BD的中点N（x0，y0）由题意可得直线l的方程为：y=k（x+4），与椭圆方程联立化为（3+4k2）x2+k2x+64k212=0，由0，可得，且k0利用根与系数的关系、中点坐标公式可得=，即可证明（ii）假设存在实数k，使得F1NAD，则=1，利用斜率计算公式可得x2=8k222，与x22矛盾【解答】解：（I）椭圆经过点（0，），离心率为，解得a=2，c=1，b=椭圆C的方程为（II）（i）证明：设B（x1，y1），D（x2，y2），线段BD的中点N（x0，y0）由题意可得直线l的方程为：y=k（x+4），联立
30、，化为（3+4k2）x2+k2x+64k212=0，由0，可得，且k0x1+x2=，=，y0=k（x0+4）=，=，即k1k=为定值（ii）假设存在实数k，使得F1NAD，则=1，=，kAD=，=1，化为x2=8k222，与x22矛盾，直线l不存在【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题21设aR，函数f（x）=ax2（2a+1）x+lnx（）当a=1时，求f（x）的极值；（）设g（x）=exx1，若对于任意的x1（0，+），x2R，不等式f（x1）
31、g（x2）恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】导数的综合应用【分析】（）当a=1时，函数f（x）=x23x+lnx，令f（x）=0得：列出表格即可得出函数的单调性极值；（II）对于任意的x1（0，+），x2R，不等式f（x1）g（x2）恒成立，则有f（x）maxg（x）min利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可【解答】解：（）当a=1时，函数f（x）=x23x+lnx，令f（x）=0得：当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x1（1，+）f（x）+00+f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增因此，当时，f（x
32、）有极大值，且；当x=1时，f（x）有极小值，且f（x）极小值=2（）由g（x）=exx1，则g（x）=ex1，令g（x）0，解得x0；令g（x）0，解得x0g（x）在（，0）是减函数，在（0，+）是增函数，即g（x）最小值=g（0）=0对于任意的x1（0，+），x2R，不等式f（x1）g（x2）恒成立，则有f（x1）g（0）即可即不等式f（x）0对于任意的x（0，+）恒成立（1）当a=0时，令f（x）0，解得0x1；令f（x）0，解得x1f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+）是减函数，f（x）最大值=f（1）=10，a=0符合题意（2）当a0时，令f（x）0，解得0x1；令f（x）0，解得x1f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+）是减函数，f（x）最大值=f（1）=a10，得1a0，1a0符合题意（3）当a0时，f（x）=0得，时，0x11，令f（x）0，解得或x1；令f（x）0，解得f（x）在（1，+）是增函数，而当x+时，f（x）+，这与对于任意的x（0，+）时f（x）0矛盾同理时也不成立综上所述：a的取值范围为1，0【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题
