1、课时分层作业(六)(建议用时：40分钟)一、选择题1若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，则能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)D若l，则an0.而A中an2，B中an156，C中an1，只有D选项中an330.故选D.2已知平面和平面的法向量分别为m(3,1，5)，n(6，2,10)，则()A BC与相交但不垂直D以上都不对B因为m(3,1，5)，n(6，2,10)，所以有n2m，即m与n共线(平行)，可知平面和平面相互平行答案选B.3平面的法向量u(x,1，2)，平
2、面的法向量v，已知，则xy()A B C3 DA由题意知，uv，即解得4，y，x4，xy4.4已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1) BCDB对于B，则n(3,1,2)0，n，则点P在平面内5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是()A(1，2,4)B(4,1，2)C(2，2,1)D(1,2，2)B设正方体棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)，(0,2,1)，(1,0,2)设向
3、量n(x，y，z)是平面AEF的一个法向量则，取y1，得x4，z2n(4,1，2)是平面AEF的一个法向量因此，只有B选项的向量是平面AEF的法向量，故选B.二、填空题6若直线l的方向向量为a(1，2,3)，平面的法向量为n(2，x,0)，若l，则x的值等于_1由l可知an0，即22x0，所以x1.7已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是_或设平面ABC的单位法向量是n(x，y，z)，则解得或所以平面ABC的单位法向量是或8若A，B，C是平面内的三点，设平面的法向量a(x，y，z)，则xyz_.23(4)因为，又因为a0，a0，所以解得所以xyzyy23(4)三、解答题
4、9.如图，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：(1)MN平面CC1D1D；(2)平面MNP平面CC1D1D.证明(1)以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)由正方体的性质，知AD平面CC1D1D，所以(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量由于(0,1，1)，则0210(1)00，所以.又MN平面CC1D1D，所以MN平面CC1D1D.(2)由于(0,2,0)，所以，
5、所以MPDC.由于MP平面CC1D1D，所以MP平面CC1D1D.又由(1)知，MN平面CC1D1D，MNMPM，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP平面CC1D1D.10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?解建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)设Q(0,2，c)，(1，1,0)，(1，1,1)，(2,0，c)，(2，2,2)设平面PAO的法向量为n1(x，y，z)
6、，则令x1，则y1，z2，平面PAO的一个法向量为n1(1,1,2)若平面D1BQ平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量n10，即22c0，c1，这时n12240，符合题意故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.11(多选题)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法中正确的是()AA1MD1PBA1MB1QCA1M平面DCC1D1DA1M平面D1PQB1ACD连接PM(图略)，因为M、P分别为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1.故PM平行且等于A1D1.所以
7、PMA1D1为平行四边形，故A正确显然A1M与B1Q为异面直线故B错误由A知A1MD1P.由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内且A1M既不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内故CD正确12.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行 C垂直 D不能确定B分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示A1MANa，M，N，.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)，0，.是平面BB1C1C的法向量，且M
8、N平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.13(一题两空)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中：(1)直线AB的方向向量有_个；(2)平面AA1B1B的法向量有_个(1)8(2)8(1)直线AB的方向向量有：，共8个(2)平面AA1B1B的法向量有：，共8个14.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP平面B1AE，则AP的长为_建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，设|AB|a，点P坐标为(0,0，b)则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E(a,0
9、,1)，(0，1，b)，DP平面B1AE，存在实数，设，即(0，1，b)(a,0,1).b，即AP.15.如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由解分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0), 设E(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0， (0,2,0)是平面PAB的法向量，(1，y1，z)，由CE平面PAB, 可得，(1，y1，z)(0,2,0)2(y1)0，y1，代入式得z.E是PD的中点，即存在点E为PD中点时，CE平面PAB.
