1、1.4.2用空量研究距离、夹角问题学 习 目 标核 心 素 养1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角以及距离问题(重点、难点)2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系(易错点)通过利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角和距离的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.(1)已知a，b为非零向量，它们的夹角为，那么cos cosa，b.(2)空间中有三种角：异面直线所成的角，直线与平面所成的角和两个平面的夹角(3)空间中的三种基本距离：点点距、点线距和点面距利用直线的方向向量和平面的法向量可以判断线线、线面和面面的平行、垂直问题，能否利用它们求出三种空间角和空间距离
2、呢？1空间角的向量求法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角为设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cos|cos|直线l与平面所成的角为设l的方向向量为u，平面的法向量为n，则sin |cos|平面与平面的夹角为设平面，的法向量分别为n1，n2，则cos |cos|思考：直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？提示设n为平面的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面所成的角为，则2空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A、B为空间中的任意两点，则d|AB|点线距设直线l的单位方向向量为u，Al，Pl，设a，则点P到直线l的距离d点面距已知平面的法
3、向量为n，A，P，则点P到平面的距离为d1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()(2)直线l与平面的法向量的夹角的余角就是直线l与平面所成的角()(3)平面和的夹角为，平面，的法向量分别为n1，n2，则n1，n2()提示(1)(2)(3)2已知向量m，n分别是直线l与平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30 B60 C150 D120B设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，又090，60，应选B.3两平行平面，分别经过点O(0,0,0)和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n(1,0,1)，则两平面
4、间的距离是_两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，(2,1,1)，且两平面的一个法向量n(1,0,1)，两平面间的距离d.4已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面的夹角的大小为_45cos ，由于，45.距离问题【例1】如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2.求点A到平面MBC的距离思路探究利用点到平面的距离公式求解解取CD的中点O，连接OB，OM，则OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，所以MO平面BCD.以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
5、如图所示因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形，所以OBOM，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，0)，A(0，2)，所以(1，0)，(0，)，(0,0,2)设平面MBC的法向量为n(x，y，z)，由得即取x，可得平面MBC的一个法向量为n(，1,1)又(0,0,2)，所以所求距离d.求点到平面的距离的四步骤跟进训练1在长方体OABCO1A1B1C1中，OA2，AB3，AA12，求O1到直线AC的距离解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1DAC于点D，设D(x，y，0)，(x2，y，0)，(x，y
6、，2)，(2,3,0)，解得D，|.即O1到直线AC的距离为.法二：建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，(2,0,2)，(2,3,0)，(2,0,2)(2,3,0)4，在方向上的投影为，O1到直线AC的距离d.求两条异面直线所成的角【例2】如图，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小思路探究建立空间直角坐标系用坐标表示向量和运用向量法求A1B与AO1的夹角解建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,
7、0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，(，1，)，(，1，)|cos，|.异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角跟进训练2.如图，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2，VDC，求异面直线AC与VD所成角的余弦值解因为ACBC2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D
8、(1,1,0)在RtVCD中，CD，VDC，故V(0,0，)所以(2,0,0)，(1,1，)所以cos，.所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.直线与平面所成的角【例3】如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值思路探究连接A1E，先证明A1E面ABC，再以E为原点建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，利用向量的坐标运算证明EFBC，再利用向量法求直线与平面所成角的余弦值证明(1)连接A1E，因为A1AA1C，E是AC的中点，
9、所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以，A1E平面ABC.如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.不妨设AC4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3，2)，F，C(0,2,0)因此，(，1,0)由0得EFBC.(2)设直线EF与平面A1BC所成角为，由(1)可得(，1,0)，(0,2，2)，设平面A1BC的法向量为n(x，y，z)，由，得，取n(1，1)，故sin |cos，n|.因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.求直线与平面的夹角的思路与步骤思路一：找直
10、线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量；(3)求平面的法向量n；(4)计算：设线面角为，则sin .跟进训练3.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，点P，Q分别为A1B1，BC的中点(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值解如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OBOC，OO1OC，OO1OB
11、，以，为基底，建立空间直角坐标系Oxyz.因为ABAA12，所以A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1，2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)(1)因为P为A1B1的中点，所以P，从而，(0,2,2)，故|cos，|.因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点，所以Q，因此，(0,2,2)，(0,0,2)设n(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，则即不妨取n(，1,1)设直线CC1与平面AQC1所成的角为，则sin |cos，n|，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.平面与平面的夹角探究问题1二面角与平面的夹角范围一样吗？提
12、示不一样二面角的范围为0，而两个平面的夹角是不大于直角的角，范围是.2两平面的夹角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？提示两平面的法向量分别为u，v，若u，v为锐角时，两平面的夹角等于u，v，若u，v为钝角时，两平面的夹角等于u，v【例4】如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值思路探究建立空间直角坐标系，根据CBA60，建立棱长之间的关系，写出相关点的坐标和向量的坐标，再求两平面的夹角解(1
13、)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1AC，DD1BD，又CC1DD1OO1，所以OO1AC，OO1BD，因为ACBDO，所以O1O底面ABCD.(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，ACBD.又O1O底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系设棱长为2，因为CBA60，所以OB，OC1，所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，平面BDD1B1的一个法向量为n(0,1,0)，设平面OC1B1的法向量为m(x，y，z)，则由m，m，所以取z
14、，则x2，y2，所以m(2,2，)，所以cosm，n.所以平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值为.1变设问本例条件不变，求面BA1C与面DA1C的夹角的余弦值解建立如图所示的空间直角坐标系设棱长为2，则A1(0，1,2)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)所以(，1,0)，(0,2，2)，(，1,0)设平面A1BC的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即取x1，则y1z13，故n1(，3,3)设平面A1CD的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即取x2，则y2z23，故n2(，3，3)所以cosn1，n2.所以面BA1C与面DA1C的夹角的余弦值为.2变条件、变设问本例四棱
15、柱中，CBA60改为CBA90，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F的夹角的余弦值解以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A(0,0,0)，B1(1,0,1)，E，D1(0,1,1)，F，(1,0,1)，(0,1,1)设平面AB1E的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令y12，则x11，z11，所以n1(1,2,1)设平面AD1F的法向量为n2(x2，y2，z2)则即令x22，则y21，z21.所以n2(2，1,1)所以平面AB1E与平面AD1F的夹角的余弦值为.利用向量法求两平面夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角
16、的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90的角)1向量法求空间角的一般步骤(1)向量表示法一：选不共面的三个向量为基底，进行基底表示；法二：建立适当的坐标系进行坐标表示求出直线a、b的方向向量a、b，平面、的法向量m、n.(2)向量运算求直线a、b所成的角，计算cosa，b；求直线a与平面所成的角，计算cosa，m；求两个平面的夹角的大小，计算cosm，n(3)解释结论由于直线a、b所成角，故cos |cosa，b|.直线a与平面所成角，由图形知a，m与的余角相等或互补，故sin |cosa，b|.两个平面的夹角为不大于直角的角
17、，范围，故cos |cosm，n|.2向量法求空间中的距离(1)点A，B间的距离d|(2)点A到直线a的距离d，其中Ba，a是直线a的方向向量(3)点A到平面的距离d，其中B，n是平面的法向量1下列说法中不正确的是()A平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D如果a、b与平面共面且na，nb，那么n就是平面的一个法向量D选项A，B，C的命题显然是正确的只有当a、b不共线且a，b时，D才正确故答案为D.2已知a，b是两异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，则直线a，b所成的角为()A30 B60
18、 C90 D45B由于，()|1.所以cos，60.3正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A BCDB设正方体的棱长为1，依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)(1,0,1)，(1，1,0)设平面ACD1的法向量为n(x，y，z)，令x1，n(1,1,1)，又(0,0,1)，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.4如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为_如图所示，取AB的中点M，连接CM，C1M，过点C作CDC1M，垂足为D.
19、C1AC1B，M为AB中点，C1MAB.CACB，M为AB中点，CMAB.又C1MCMM，AB平面C1CM又AB平面ABC1，平面ABC1平面C1CM，平面ABC1平面C1CMC1M，CDC1M，CD平面C1AB，CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，即点B1到平面ABC1的距离，在RtC1CM中，C1C1，CM，C1M，CD，即点B1到平面ABC1的距离为.5.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD2，BC3.E为PD的中点，点F在PC上，且.(1)求证：CD平面PAD；(2)求二面角FAEP的余弦值解(1)因为PA平面ABCD，所以PACD.又因为ADCD，PAADA，所以CD平面PAD.(2)过A作AD的垂线交BC于点M，因为PA平面ABCD，所以PAAM，PAAD，如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，因为E为PD的中点，所以E(0,1,1)所以(0,1,1)，(2,2，2)，(0,0,2)所以，.设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，则，即.令z1，则y1，x1.于是n(1，1,1)又因为平面PAD的法向量为p(1,0,0)，所以cosn，p.因为二面角FAEP为锐角，所以其余弦值为.
