1、第5讲导数与不等式的证明、存在性及恒成立问题一、选择题1.(2022安徽卷)函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a0，b0，d0B.a0，b0，c0C.a0，b0，d0D.a0，b0，c0，d0，可排除D；其导函数f(x)3ax22bxc且f(0)c0，可排除B；又f(x)0有两不等实根，且x1x20，所以a0，故选A.答案A2.已知函数f(x)x32x23m，x0，)，若f(x)50恒成立，则实数m的取值范围是()A. B.C.(，2 D.(，2)解析f(x)x24x，由f(x)0，得x4或x0.f(x)在(0，4)上单调递减，在(4，)上单调递增，当x0
2、，)时，f(x)minf(4).要使f(x)50恒成立，只需f(4)50恒成立即可，代入解之得m.答案A3.若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是()A.(，) B.(2，)C.(0，) D.(1，)解析2x(xa)1，ax.令f(x)x，f(x)12xln 20.f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，a的取值范围为(1，)，故选D.答案D4.当x2，1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A.5，3 B.C.6，2 D.4，3解析当x(0，1时，得a34，令t，则t1，)，a3t34t2t，令g(t)3t34t2t，t1，)，则g(t)9t2
3、8t1(t1)(9t1)，显然在1，)上，g(t)0，g(t)单调递减，所以g(t)maxg(1)6，因此a6；同理，当x2，0)时，得a2.由以上两种情况得6a2，显然当x0时也成立.故实数a的取值范围为6，2.答案C5.(2022长沙模拟)已知f(x)是定义在(0，) 上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的0ab，则必有()A.af(b)bf(a) B.bf(a)af(b)C.af(a)f(b) D.bf(b)f(a)解析因为xf(x)f(x)，f(x)0，所以0，则函数在(0，)上单调递减.由于0ab，则，即af(b)bf(a).答案A二、填空题6.(2022合肥模拟)设
4、函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意x1，1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_.解析若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x0时，即x(0，1时，f(x)ax33x10可化为a.令g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.因此g(x)maxg4，从而a4.当x0时，即x1，0)时，同理a.g(x)在区间1，0)上单调递增，所以g(x)ming(1)4，从而a4，综上可知a4.答案47.已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_.解析作出二次函数f(x)的图象，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则
5、有即解得m0.答案8.(2022青岛模拟)已知函数f(x)x，g(x)x22ax4，若对于任意x10，1，存在x21，2，使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_.解析由于f(x)10，因此函数f(x)在0，1上单调递增，所以x0，1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1，2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1，2能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1，2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.答案三、解答题9.已知函数f(x)aln xax3(aR).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a
6、1时，证明：当x(1，)时，f(x)20；(1)解根据题意知，f(x)(x0)，当a0时，则当x(0，1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0，1)；当a0时，f(x)3，不是单调函数，无单调区间.(2)证明当a1时，f(x)ln xx3，所以f(1)2，由(1)知f(x)ln xx3在(1，)上单调递增，所以当x(1，)时，f(x)f(1).即f(x)2，所以f(x)20.10.(2022唐山期末)已知函数f(x)aexx2，g(x)sin bx，直线l与曲线yf
7、(x)切于点(0，f(0)，且与曲线yg(x)切于点(1，g(1).(1)求a，b的值和直线l的方程；(2)证明：f(x)g(x).(1)解f(x)aex2x，g(x)cos xb，f(0)a，f(0)a，g(1)1b，g(1)b.曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线为yaxa，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线为：yb(x1)1b，即ybx1，依题意有ab1，直线l的方程为yx1，(2)证明由(1)知f(x)exx2，g(x)sin xx，设F(x)f(x)(x1)exx2x1，则F(x)ex2x1，当x(，0)时，F(x)F(0)0，当x(0，)时，F(x)F(0)0.F(x)在
8、(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故F(x)F(0)0，设G(x)x1g(x)1sin x，则G(x)0，当且仅当x4k1(kZ)时等号成立，由上可知，f(x)x1g(x)，且两个等号不同时成立，因此f(x)g(x).11.(2022新课标全国卷)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1.(1)解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x时，g(x)0；当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x).所以当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而h(x)在(0，)上的最大值为h(1).综上，当x0时，g(x)h(x)，即f(x)1.6
