1、25基本初等函数()(一)指数函数1根式(1)n次方根：如果xna，那么x叫做a的 ，其中n1，且nN*.当n为奇数时，正数的n次方根是一个 数，负数的n次方根是一个 数，这时a的n次方根用符号 表示当n为偶数时，正数的n次方根有 个，这两个数互为 这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 表示正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 负数没有偶次方根0的n(nN*)次方根是 ，记作 (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做 ，a叫做 (3)根式的性质：n为奇数时， ；n为偶数时， .2幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a0 .这里a 0.(2)负整数指数幂：a-n (a0，nN*
2、)(3)正分数指数幂：a (a0，m，nN*，且n1)(4)负分数指数幂：a (a0，m，nN*，且n1)(5)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 (6)有理指数幂的运算性质3指数函数的图象及性质定义一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数图象a10a1定义域_值域_性质过定点_在R上是_在R上是_(二)对数函数1对数(1)对数：如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的 ，记作x .其中a叫做对数的 ，N叫做 (2)两类重要的对数常用对数：以 为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作 ；自然对数：以 为底的对数称为自然对数，并把logeN记作 注：(i)无理数e2.7
3、18 28；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1 ，logaa .(3)对数与指数之间的关系当a0，a1时，axNxlogaN.(4)对数运算的性质如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN) ；loga ；logaMn ；一般地，logamMn ；(5)换底公式及对数恒等式对数恒等式： ；换底公式：logab (a0且a1；c0且c1；b0)特别地，logab .2对数函数的图象及性质定义一般地，函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数图象a10a1定义域_值域_性质过定点_在(0，)上是_在(0，)上是_3.对数函数与指数函数的关系对数函数ylogax(a0，且a1)
4、与指数函数yax(a0且a1)互为反函数；它们的图象关于直线_对称(三)幂函数1幂函数的定义一般地，函数_叫做幂函数，其中x是自变量，是常数2几个常用的幂函数的图象与性质定义幂函数yx(R)图象00性质(1)图象过点 图象过点 (2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，)上是_在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，)上是_ (3)形如yx或yx (m，n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断：当m，n都为奇数时，幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数，n为偶数时，幂函数在定义域上为非奇非偶函数；当m为偶数，n为奇数时，幂函数在定义域上为偶函数.自查自纠(一)1(1)n次方根正
5、负两相反数-00(2)根指数被开方数(3)a|a|2(1)1(2)(3)(4)(5)0没有意义(6)arsarsarbr3R(0，)(0，1)增函数减函数(二)1(1)对数logaN底数真数(2)10lgNelnN(iii)01(3)(4)logaMlogaNlogaM-logaNnlogaMlogaM(5)N2(0，)R(1，0)增函数减函数3yx(三)1yx2(1)(0，0)和(1，1)(1，1)(2)增函数减函数 ()已知x，yR，且xy0，则()A.-0 Bsinx-siny0C.-0解：y单调递减，所以-y.故选C. ()设a，b都是不等于1的正数，则“3a3b3”是“loga3lo
6、gb3”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解：由3a3b3知，ab1，则loga3logb3；反过来，设0a1，b1，依然有loga3logb3，但此时3a3b.故选B. 设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A BC上为减函数，由f0，得f0.所以f(logx)0logx，解得x2或0x.故填(2，)类型一指数幂的运算化简下列各式(其中各字母均为正数)：(1)1.580.25()6-；(2)；(3) .解：(1)原式222233-2108110.(2)原式.(3)原式a(a2b)aaaa2.【点拨】指数幂的运算应注意：(1)运算的先后顺序；
7、(2)化负数指数幂为正数指数幂；(3)化根式为分数指数幂；(4)化小数为分数计算：(1)8100；(2)化简：4ab.解：(1)原式(23)(102) (2-2)-32210-1262886.(2)原式-6a.类型二指数函数的图象及其应用(1)函数f(x)ax-b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0(2)()若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_解：(1)由图象知f(x)是减函数，所以0a1，又由图象在y轴的截距小于1可知a-b1，即-b0，所以b0.故选D.(2)曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所
8、示，由图象可知：如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b故填【点拨】已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解(1)已知实数a，b满足等式2 017a2 018b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1个 B2个 C3个 D4个(2)()已知函数f(x)|2x-1|，a
9、bc且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中一定成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0C2-a2c D2a2c2解：(1)设2 017a2 018bt，如图所示，由函数图象，可得：若t1，则有ab0；若t1，则有ab0；若0t1，则有ab0.故可能成立，而不可能成立故选B.(2)作出函数f(x)|2x-1|的图象，如图，因为abc，且f(a)f(c)f(b)，结合图象知f(a)1，a0，c0，所以02a1.所以f(a)|2a-1|1-2a1，所以f(c)1，所以0c1.所以12c2，所以f(c)|2c-1|2c-1，又因为f(a)f(c)，所以1-2a2c-1，所以2a2c2.故选
10、D.类型三指数函数的综合问题()设函数f(x)(1)若a1，则f(x)的最小值为_；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_解：(1)a1时，f(x) 当x1时，f(x)(-1，1)，f(x)无最小值；当x1时，f(x)在为减函数，在为增函数，当x时，f(x)取得最小值为-1.(2)若函数g(x)2x-a在x0，并且当x1时，g(1)2-a0，则0a2；此时函数h(x)4(x-a)(x-2a)的图象与x轴只有一个交点，所以2a1且a1，则a1.综合得a1.若函数g(x)2x-a的图象与x轴无交点，则函数h(x)4(x-a)(x-2a)的图象与x轴有两个交点当a0时，g(x)与x轴无
11、交点，h(x)4(x-a)(x-2a)在恒成立，求实数m的取值范围解：(1)当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)2x-.由条件可知2x-2，即22x-22x-10，解得2x1.因为2x0，所以2x1，即xlog2(1)(2)当t时，2tm0，因为2t0，两边同乘以2t，即得m(22t-1)-(24t-1)因为22t-10，所以m-(22t1)因为t，所以-(122t)，故m的取值范围是上的最大值为2，则m2()A. B. C. D.解：作出函数f(x)|log2x|的图象如图由题意可得0m1n，所以0m2m，结合图象可知函数f(x)在上的最大值为f(m2)，则有-log2m22，m22-2
12、.故选A.【点拨】先画出对数函数ylog2x的图象，再利用图象变换得到函数f(x)|log2x|的图象，通过分析函数图象对应的函数性质，比较函数值大小若不等式(x-1)2logax在当x(1，2)时恒成立，则实数a的取值范围为_解：设f1(x)(x-1)2，f2(x)logax，要使当x(1，2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，只需yf1(x)在(1，2)上的图象在yf2(x)图象的下方即可当0a1时，如图所示，只需f1(2)f2(2)，即(2-1)2loga2，loga21，所以10时，恒有f(x)-flgx.(1)求f(x)的解析式；(2)若方程f(x)lg(mx)的解集是，求实数
13、m的取值范围解：(1)因为当x0时，f(x)-flgx恒成立，所以lg-lglgx，即(a-b)x2-(a-b)x0.因为x0，所以上式若恒成立，则只能有ab，又f(1)0，即ab2，从而ab1，所以f(x)lg.(2)由lglg(mx)知即由于方程的解集为，故有如下两种情况：方程x2(m-1)xm0无解，即0，解得3-2m32；方程x2(m-1)xm0有解，两根均在区间内，令g(x)x2(m-1)xm，则有即无解综合知，实数m的取值范围是m|3-2m(m2m-1)，则实数m的取值范围是()A. B.C(-1，2) D.解：(1)由于f(x)为幂函数，所以n22n-21，解得n1或n-3，当n
14、-3时，f(x)在(0，)上是增函数，故舍去故选A.(2)因为函数yx的定义域为解：依题意知函数f(x)的周期为2，在坐标平面内画出函数yf(x)与函数yloga|x|的图象，如图，结合图象可知，要使函数g(x)f(x)-loga|x|至少有5个零点，则有 或 解得0a或a5，即实数a的取值范围是时，不等式(m2-m)4x-2x0恒成立，则实数m的取值范围是_解：原不等式变形为m2-m，因为函数y在(-，-1上是减函数，所以2，所以当x(-，-1时，m2-m恒成立等价于m2-m2，解得-1m2.故填(-1，2)8()给机器人输入一个指令(m，2m48)(m0)，则机器人在坐标平面上先面向x轴正
15、方向行走距离m，接着原地逆时针旋转90再面向y轴正方向行走距离2m48，这样就完成一次操作机器人的安全活动区域是： 开始时机器人在函数f(x)2x图象上的点P处且面向x轴正方向，经过一次操作后机器人落在安全区域内的一点Q处，且点Q恰好也在函数f(x)图象上，则向量的坐标是_解：设P(x0，2x0)，则Q为(x0m，2x0m)在安全区域，所以x0m6，所以x06-m，所以2x026-m，2x0m2x02m48，所以2x0 (2m-1)2m48，则26-m(2m-1)2m48.整理可得：2m16.又因为2m216，当且仅当2m时取等号，此时22m64，m3，(x0m，2x02m48)-(x0，2x
16、0)(3，56)故填(3，56)9设函数f(x)kax-a-x(a0且a1)是定义域为R的奇函数(1)若f(1)0，试求不等式f(x22x)f(x-4)0的解集；(2)若f(1)，且g(x)a2xa-2x-4f(x)，求g(x)在时，求函数h(x)(f(x)1)g(x)的值域；(2)如果对任意的x，不等式f(x2)f()kg(x)恒成立，求实数k的取值范围解：(1)h(x)(4-2log2x)log2x-2(log2x-1)22，因为x，所以log2x，故函数h(x)的值域为(2)由f(x2)f()kg(x)，得(3-4log2x)(3-log2x)klog2x，令tlog2x，因为x，所以t
17、log2x，所以(3-4t)(3-t)kt对一切t恒成立，当t0时，kR；当t(0，2时，k恒成立，即kbc Babc Cbac Dac0.3，所以1ab.又ylog0.3x在(0，)上为减函数，所以log0.30.2log0.30.31，即c1，所以ba0，a1)在上的最大值与最小值之和为loga26，则a的值为()A B C2 D4解：显然函数yax与ylogax在上的单调性相同，因此函数f(x)axlogax在上的最大值与最小值之和为f(1)f(2)(aloga1)(a2loga2)aa2loga2loga26，故aa26，解得a2或a-3(舍去)故选C.4()函数y(0a1)的大致图象
18、是()解：因为y 且0a1，所以根据指数函数的图象和性质，当x(0，)时，函数为减函数，图象下降；当x(-，0)时，函数是增函数，图象上升，只有D合要求故选D.5设实数a，b是关于x的方程|lgx|c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是()A(0，1) B(1，10) C(10，100) D(1，100)解：作出y|lgx|的图象如图，由图象可知，0a1b10.又因为|lga|c，|lgb|c，所以lga-c，lgbc，即lgalgb0，所以ab1，于是abcc.而clgb1，所以0abc1.故选A.6设函数f(x)exx-2，g(x)lnxx2-3.若实数a，b满足f(a)0，
19、g(b)0，则()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0解：因为函数f(x)exx-2在R上单调递增，且f(0)1-20，故f(a)0时a(0，1)又g(x)lnxx2-3在(0，)上单调递增，且g(1)-20，所以g(a)0，故当g(b)0时b(1，2)又f(1)e-10，且f(x)exx-2在R上单调递增，故f(b)f(1)0.综上可知，g(a)00，且a1，若函数f(x)在R上是单调递增函数，则须满足 解得为空集若函数f(x)在R上是单调递减函数，则须满足 解得a.因为f(x)在定义域R上不是单调函数，所以实数a的取值范围是(1，)故填(1，
20、)8()已知函数f(x) 且关于x的方程f(x)x-a0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_解：如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与y-xa的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a1时，直线y-xa与ylog2x只有一个交点故填(1，)9已知f(x)3x，且f(a2)18，g(x)3ax-4x的定义域为(1)求函数g(x)的解析式；(2)若方程g(x)m有解，求实数m的取值范围解：(1)因为f(a2)18，f(x)3x，所以3a2183a2，所以g(x)(3a)x-4x2x-4x，x(2)因为方程g(x)m有解，即m2x-4x在内有解令t2x，则y2x-4x-t2t-.所以
21、-2m，故实数m的取值范围是.10()已知函数f(x)x-k2k2(kZ)满足f(2)0，使函数g(x)1-qf(x)(2q-1)x在区间上的值域为？若存在，求出q；若不存在，请说明理由解：(1)因为f(2)0，解得-1k0满足题设，由(1)知g(x)-qx2(2q-1)x1，x因为g(2)-1，所以两个最值点只能在端点(-1，g(-1)和顶点处取得而-g(-1)-(2-3q)0，所以g(x)max， g(x)ming(-1)2-3q-4.解得q2.所以存在q2满足题意 f(x)logax(a0且a1)，如果对于任意的x都有|f(x)|1成立，求a的取值范围解：由已知f(x)logax，当0a0，当a1时，-|f(2)|-loga-loga2-loga0，故|f(2)|总成立作y|f(x)|的图象如图(上述结论也可由图象给出)要使x时恒有|f(x)|1，只需1，即-1loga1，即logaa-1logalogaa，当a1时，得a-1a，即a3；当0a1时，得a-1a，得0a.综上所述，a的取值范围是3，)
