1、第2课时利用导数研究函数的极值、最值考纲解读1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)(重点)3会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点预测2021年高考以考查用导数解决函数的极值、最值问题为主试题难度较大，主要以解答题形式呈现.1.函数的极值与导数(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的
2、极小值(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb 附近的左侧f(x)0，右侧f(x)2时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当0x2时，f(x)0，此时f(x)为减函数，据此知x2为f(x)的极小值点(2)当函数yx3x取得极小值时，x()A. BCln 3 Dln 3答案B解析由题可得y3xx3xln 33x(1xln 3)当x时，y时，y0，函数单调递增，则函数y在x处取得极小值(3)当x1,2时，函数f(x)exx的最小值为()A1 B1 C0 De答案A解析因为f(x)exx，所以f(x)ex1，由f
3、(x)0，得x0.当x1,0)时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)minf(0)1.(4)若x1是函数f(x)(exa)ln x的极值点，则实数a_.答案e解析因为f(x)exln x(exa)，且x1是函数f(x)(exa)ln x的极值点，所以f(1)ea0，解得ae.题型 一用导数求解函数极值问题角度1求函数的极值1(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1 B2e3C5e3 D1答案A解析函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2是函数f(x)的极值点得f(
4、2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1.所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由ex10恒成立，得x2或x1时，f(x)0，且x0；2x1时，f(x)1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选A.角度2极值点个数问题2(2019南昌模拟)若函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则()A函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B函数f(x)有0个极大值点，1个极小值点C函数f(x)有1个极大值点，0个极小值点D函数f(x)有0个极大值点，0个极小值点答案B解析由题图可知，当xx1或x1xx2时，f(x)x2时，
5、f(x)0；当xx1时，f(x)0；所以f(x)在(，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，所以f(x)有0个极大值点，1个极小值点，即x2.3(2019全国卷节选)已知函数f(x)sinxln (1x)，f(x)为f(x)的导数证明：f(x)在区间存在唯一极大值点证明设g(x)f(x)，则g(x)cosx，g(x)sinx.当x时，g(x)单调递减，而g(0)0，g0，可得g(x)在有唯一零点，设为.则当x(1，)时，g(x)0；当x时，g(x)0.所以g(x)在(1，)上单调递增，在上单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f(x)在存在唯一极大值点角度3根据极值求参数4(2019青
6、岛模拟)若函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex，在x2处取得极大值，则实数a的取值范围为_答案解析f(x)(x2)(ax1)ex.当a0，解得x2，由f(x)0，解得x2，所以函数f(x)在上单调递增，在和(2，)上单调递减，所以函数f(x)在x2处取得极大值当a0时，f(x)(2x)ex.由f(x)0，解得x2；由f(x)2.所以函数f(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，所以f(x)在x2处取得极大值当a0时，若要f(x)在x2处取得极大值，则需f(x)在(，2)，上单调递增，在上单调递减，则有2，解得0a0)(1)当a1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x
7、)的极小值；(2)若f(x)在(，)上无极值点，求a的取值范围解f(x)3ax24x1.(1)函数f(x)的图象过点(0,1)时，有f(0)c1.当a1时，f(x)x32x2x1，f(x)3x24x1.由f(x)0，解得x1；由f(x)0，解得x1.所以函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减，所以函数f(x)的极小值是f(1)13212111.(2)若f(x)在(，)上无极值点，则f(x)在(，)上是单调函数，即f(x)3ax24x10或f(x)3ax24x10恒成立当a0时，f(x)4x1，显然不满足条件；当a0时，f(x)0或f(x)0恒成立的充要条件是(4)243a10，即16
8、12a0，解得a.综上，a的取值范围为.1熟记运用导数解决函数极值问题的一般流程2已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 1已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析极大值点处导数值为0，且两侧导数符号左正右负，观察导函数f(x)在(a，b)上的图象可知，f(x)在(a，b)上的极大值点有2个2若函数f(
9、x)x3xm的极大值为1，则函数f(x)的极小值为()A B1 C. D1答案A解析f(x)x21，由f(x)0，得x1或x1，所以f(x)在区间(，1)上单调递增，在区间(1,1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，所以函数f(x)在x1处取得极大值，则f(1)1，得m，函数f(x)在x1处取得极小值，且f(1)131.故选A.3已知函数f(x).(1)求函数f(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)证明：f(x)仅有唯一的极小值点解(1)因为f(x)，所以kf(1)2.又因为f(1)e2，所以切线方程为y(e2)2(x1)，即2xye40.(2)证明：令h(x)ex(x1)2，则h(x
10、)exx，所以当x(，0)时，h(x)0.当x(，0)时，易知h(x)0，所以f(x)0，f(x)在(，0)上没有极值点当x(0，)时，因为h(1)20，所以f(1)0，f(x)在(1,2)上有极小值点又因为h(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)仅有唯一的极小值点题型 二用导数求函数的最值1设动直线xm与函数f(x)x3，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为()A.(1ln 3) B.ln 3C1ln 3 Dln 31答案A解析由题意，得M(m，m3)，N(m，ln m)，m0.|MN|m3ln m|，m0.设h(m)m3ln m，m0，h(m)3m2.由h(m)0
11、，得m.当m时，h(m)0，h(m)单调递增，m时，h(m)取得最小值，h(m)minln (1ln 3)(1ln 3)0，|MN|min(1ln 3)2(2019全国卷)已知函数f(x)2x3ax2b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间0,1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由解(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或x.若a0，则当x(，0)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减若a0，则f(x)在(，)上单调递增若a0；当x时，f(x)1)在区间1,1上
12、的最大值为1，最小值为1，则a_，b_.答案1解析因为f(x)3x23ax3x(xa)，令f(x)0，解得x0或xa.因为a1，所以当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,1)1f(x)0f(x)1ab极大值b1ab由题意得b1.则f(1)，f(1)2，f(1)f(1)，所以1，所以a.2(2020北京石景山区摸底)已知f(x)exax2，曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为ybx1.(1)求a，b的值；(2)求f(x)在0,1上的最大值；(3)当xR时，判断yf(x)与ybx1交点的个数(只需写出结论，不要求证明)解(1)f(x)exax2的导数为f(x
13、)ex2ax，由已知可得f(1)e2ab，f(1)eab1，解得a1，be2.(2)令g(x)f(x)ex2x.则g(x)ex2，故当0xln 2时，g(x)0，g(x)在0，ln 2)单调递减；当ln 20，g(x)在(ln 2,1单调递增；所以g(x)ming(ln 2)22ln 20，故f(x)在0,1单调递增，所以f(x)maxf(1)e1.(3)当xR时，yf(x)与ybx1有两个交点题型 三函数极值和最值的综合问题1已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值为_答案4解析f(x)3x22ax，因为函数f(x)在x2处取得极值，所以f(2)124a0
14、，a3，所以f(x)3x26x.当m1,1时，f(m)m33m24，f(m)3m26m，令f(m)0得m0或m2(舍去)，当m(1,0)时，f(m)0，f(m)单调递增，所以f(m)minf(0)4.2(2019珠海调研)已知函数f(x)(a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)
15、5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值 1已知函数f(x)cosxaln x在x处取得极值，则函数f(x)在区间上的最小值为()Af(1) Bf Cf D不存在答案C解析因为f(x)cosxaln x，所以f(x)sinx，因为f(x)在x处取得极值，所以
16、f0，解得a，所以f(x)cosxln x，f(x)sinx，因为f0，f(x)在上为减函数，所以在x上，f(x)1时，证明：g(x)在(0，)上存在最小值解(1)因为f(x)x2sinx1，所以f(x)12cosx，则f(0)1，f(0)1，所以曲线yf(x)在x0处的切线方程为yx1.(2)令f(x)0，则cosx，当x(0，)时，得x，当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表xf(x)0f(x)减极小值增所以函数f(x)在(0，)上的单调递减区间为，单调递增区间为.(3)证明：因为g(x)x2mcosx，所以g(x)xmsinx.令h(x)g(x)xmsinx，则h(x)1mcosx，
17、因为m1，所以(0,1)，令h(x)1mcosx0，则cosx，易知cosx在(0，)内有唯一解x0，当x(0，x0)时，h(x)0，所以h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增所以h(x0)0，所以h(x)xmsinx在(x0，)内有唯一零点x1，当x(0，x1)时，h(x)0，即g(x)0，即g(x)0，所以g(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，)上单调递增所以函数g(x)在xx1处取得最小值，即当m1时，函数g(x)在(0，)上存在最小值组基础关1(2020赤峰摸底)设函数f(x)在定义域R上可导，其导函数为f(x)，若函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结
18、论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案D解析由函数的图象可知，f(2)0，f(2)0，并且当x0，当2x1时，f(x)0，函数f(x)有极大值f(2)又当1x2，f(x)2时，f(x)0，故函数f(x)有极小值f(2)2函数f(x)x34x4的极大值为()A. B6 C. D7答案A解析f(x)x24，令f(x)0，得x2，当x(，2)时，f(x)0；当x(2,2)时，f(x)0，所以f(x)的极大值为f(2)(2)34(2)
19、4.3函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为()A1e B1 Ce D0答案B解析f(x)1，由f(x)0得x1.当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1，e)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(0,2)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)maxf(0)m3，从而f(2)37，f(2)5，所以f(x)minf(2)37.6设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则()Aa1Ca Da0时，ex1，所以aex0，x10，所以f(x)0，由f(x)3x23a3(x)(x)，可得a1，由f(x)x33axb在x1处取得极小值2，可得13b2，故b4.所以f(
20、x)x33x4的极大值为f(1)(1)33(1)46.9函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_答案解析函数f(x)x33a2xa(a0)，f(x)3x23a23(xa)(xa)(a0)，令f(x)0，可得xa或xa，当xa时，f(x)0，当axa时，f(x).实数a的取值范围是.10(2018全国卷)已知函数f(x)2sinxsin2x，则f(x)的最小值是_答案解析f(x)2cosx2cos2x4cos2x2cosx24(cosx1)，所以当cosx时函数单调递增，从而得到函数的减区间为(kZ)，函数的增区间为(kZ)，所以当x2k，kZ时，函数f
21、(x)取得最小值，此时sinx，sin2x，所以f(x)min2.组能力关1已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)ln xax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A. B. C. D1答案D解析由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x2时，f(x)0.f(x)maxfln a11，解得a1.2已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) B.C(0,1) D(0，)答案B解析因为f(x)x(ln xax)，所以f(x)ln x2ax1.由题可知f(x)在(0，)上有两个不同的零
22、点，令f(x)0，则2a.令g(x)，则g(x)，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又因为当x从右边趋近于0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，所以只需02a1，即0a0得ln 2x1或x1，令f(x)0得1xln 2.所以函数f(x)在(1，ln 2)上单调递减在(，1)和(ln 2,1)上单调递增，所以函数f(x)在x1时取得极大值f(1)1；在xln 2时取得极小值，f(ln 2)(ln 2)2且f(1)e31时，由f(x)2x31，解得x2，综上所述，实数m的取值范围是.4已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值
23、点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，函数f(x)的极大值点为x.(2)当1x0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2.5设f(x)xln xax2(3a1)x.(1)g(x)f(x)在1,2上单调，求a的取值范围；(2)已知f(x)在x1处
24、取得极小值，求a的取值范围解(1)由f(x)ln x3ax3a，即g(x)ln x3ax3a，x(0，)，g(x)3a，g(x)在1,2上单调递增，所以3a0对x1,2恒成立，即a对x1,2恒成立，得a；g(x)在1,2上单调递减，所以3a0对x1,2恒成立，即a对x1,2恒成立，得a，由可得a的取值范围为.(2)由(1)知，若a0，f(x)在(0，)上单调递增，所以当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，符合题意；若0a1，又f(x)在上单调递增，所以当x(0,1)时，f(x)0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在上单调递增，f(x)在x1处取得极小值，符合题意；若a，则1，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不符合题意；若a，则00，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)在x1处取得极大值，不符合题意综上所述，可得a.
