1、 第 1 页 共 4 页 第七章 不等式 第三讲 基本不等式 1.2020 上海,13,5 分下列不等式恒成立的是()A.a2+b22ab B.a2+b2-2abC.a+b-2 D.a+b2 2.2021 河南八市名校联考“x+4”是“x ”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.2021 贵阳市四校第二次联考若 log2x+log4y=1,则 x2+y 的最小值为()A.2 B.9 C.4 D.2 4.2021 安徽省阜阳市二模若 a,b 为正实数,且 =1,则 a+b 的最小值为()A.B.C.2 D.4 5.2021 山东新高考模拟已知
2、1m ,则 -的最小值是()A.3+9 B.+6 C.6+9 D.12 6.易错题已知关于 x 的不等式 x2-4ax+3a20(a0,b0)B.a2+b22ab(a0,b0)C.(a0,b0)D.(a0,b0)8.2021 东莞市东华高级中学第二次联考双空题设 x,y 为正数,若 x+=1,则 的最小值是 ,此时x=.9.2021 安徽示范高中名校联考已知 x,yR,且满足 4x+y+2xy+1=0,则 x2+y2+x+4y 的最小值为 .第 2 页 共 4 页 10.2021 江西南昌二中模拟已知 a1,b1,且 -=1.若不等式 a+4b-x2+4x+16-m 对任意实数 x 恒成立,则
3、实数 m 的取值范围是()A.3,+)B.(-,3 C.(-,6 D.6,+)11.2021 江苏模拟已知正数 x,y,z 满足(x+2y)(y+z)=4yz,且 z3x,则 的取值范围是 .12.2021 云南师大附中模拟已知正项等比数列an满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an,使得 aman=16 ,则 的最小值为 .13.2021 杭州市学军中学模拟已知正实数 a,b,c 满足 a2-2ab+9b2-c=0,则当 取最大值时,的最大值为 .14.2020 湖南湘潭模拟某单位有员工 1 000 名,平均每人每年创造利润 10 万元,为了增加企业竞争力,该单位决定优化产业结构,调
4、整出 x(xN*)名员工从事第三产业,调整后从事第三产业的员工平均每人每年创造的利润为10(a-0.8x%)(a0)万元,剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.4x%.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1 000 名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1 000 名员工创造的年总利润的条件下,若要求调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求 a 的取值范围.答 案 第三讲 基本不等式 第 3 页 共 4 页 1.B 对 于A,C,当a=0,b=-1时,a2+b22ab,a+b2 =2 ,故
5、 D 错误;对于 B,因为 a2+b2=|a|2+|b|22 a b|=2|ab-2ab,所以 B 正确.故选B.2.B 当 x+4 时,得 x0,充分性不成立;当 x 时,由基本不等式可得 x+2 =4,当且仅当 x=2 时取等号,必要性成立.故“x+4”是“x ”的必要不充分条件.故选 B.3.C 因为 log2x+log4y=1,所以 x0,y0 且 log2(x)=1,所以 x=2,所以 x2+y2 =4,当且仅当 x2=y=2,即x=,y=2 时等号成立,故选 C.4.B 由已知可得a+b=(3a+3b)=(2a+b)+(a+2b)=(2a+b)+(a+2b)()=(2+)(2+2
6、)=,当且仅当 ,即 a=b=时取等号,所以 a+b 的最小值为 .故选 B.5.C 1m0,4-3m0,-=(-)(3m-3)+(4-3m)=9+(-)-(-)-9+6,当且仅当(-)-(-)-,又 1m ,故 m=-时,取等号.故选 C.6.D 不 等 式 x2-4ax+3a20(a0)的 解 集 为(x1,x2),在 方 程 x2-4ax+3a2=0 中,由 根 与 系 数 的 关 系 知x1x2=3a2,x1+x2=4a,则 x1+x2+=4a+.a0,b0),故选 D.8.4 因为 x+=1,x0,y0,所以 =()(x+)=2+2+2 =4,当且仅当 ,即 x=,y=1 时等号成立
7、,所以 的最小值为 4,此时 x=.9.-因为 4x+y+2xy+1=0,所以 2x(y+2)+y+1=0,即 2x(y+2)+(y+2)-1=0,即(2x+1)(y+2)=1,即(x+)(y+2)=.所以x2+y2+x+4y=(x+)2+(y+2)2-2(x+)(y+2)-=-,当且仅当 x+=y+2 时取“=”,即 -,-或 -,-时取“=”,所以 x2+y2+x+4y 的最小值为-.第 4 页 共 4 页 10.D 由于a-10,b-10,a+4b=a-1+4(b-1)+5=(a-1)+4(b-1)(-)+5=10+(-)-10+2(-)-=10+4=14,当且仅当-(-)-,即 a=4
8、,b=时等号成立.又 a+4b-x2+4x+16-m 对任意实数 x恒成立,即-x2+4x+16-m(a+4b)min=14,即-x2+4x+16-m14 对任意实数 x 恒成立.即-x2+4x+2-m0 对任意实数 x 恒成立,又二次函数 y=-x2+4x+2-m 开口向下.故只需 0 即可,即=42-4(-1)(2-m)0,解得 m6.故选 D.11.,由(x+2y)(y+z)=4yz,得 xy+2y2+xz=2yz,z=-3x.又 x,y,z 为正数,所以 2y-x0,xy+2y26xy-3x2,所以 3x2+2y25xy.因为 3x2+2y22 xy,当且仅当 x=y 时等号成立,所以
9、 ,所以 的取值范围为 ,.12.设正项等比数列an的公比为 q,且 q0,由 a7=a6+2a5,得 a1q6=a1q5+2a1q4,即 q2-q-2=0,解得 q=2.由 aman=16 ,得 qm+n-2=16,所以 2m+n-2=24,得 m+n=6.()=(1+9),当且仅当 ,即 ,时取等号,因为 m,n 为正整数,所以等号不成立,所以 .验证可得当 m=2,n=4 时,取得最小值,最小值为 .13.1 因为 a2-2ab+9b2-c=0,a2+9b26ab,当且仅当 a=3b 时等号成立,所以 6ab-2ab-c0,即 4abc,所以 ,所以当 取最大值时,c=12b2.所以 =-(-1)2+11,所以 的最大值为 1.14.(1)由题意得 10(1 000-x)(1+0.4x%)101 000,即 x2-750 x0,又 x0,所以 00,所以 0a7,故 a 的取值范围是a|0a7.
