1、课时作业48直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1设,为两个不同的平面,直线l,则“l”是“”成立的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析:依题意,由l,l可以推出;反过来,由,l不能推出l.因此“l”是“”成立的充分不必要条件,故选A2设为平面,a,b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是(B)A若a,b,则abB若a,ab,则bC若a,ab,则bD若a,ab,则b解析:若a,b,则a与b相交、平行或异面,故A错误;易知B正确;若a,ab,则b或b,故C错误;若a,ab,则b或b或b与相交,故D错误3(2020武汉调研)已知两个平面相互垂直,下列命题一个平
2、面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线;一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线;一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面;过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是(C)A3B2C1D0解析:构造正方体ABCDA1B1C1D1,如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1平面ABCD,A1D平面ADD1A1,BD平面ABCD,但A1D与BD不垂直,故错;在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1平面ABCD,l是平面ADD1A1内的任意一条直线,l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直,故正确;在正方体ABCDA
3、1B1C1D1中,平面ADD1A1平面ABCD,A1D平面ADD1A1,但A1D与平面ABCD不垂直,故错;在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面ADD1A1平面ABCD,且平面ADD1A1平面ABCDAD,过交线AD上的点作交线的垂线l,则l可能与另一平面垂直,也可能与另一平面不垂直,故错故选C4(2020成都检测)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是(C)A若c平面,则aB若c平面,则a,bC存在平面,使得c,a,bD存在平面,使得c,a,b解析:对于A,直线a可以在平面内,也可以与平面相交;对于B,直线a可以在平面内,或者b在平面内;对于D,如果a,b,则
4、有ab,与条件中两直线异面矛盾5(2020贵州适应性考试)设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下面四个命题:若,则;若,m,n,则mn;若m,n,则mn;若,m,n,则mn.其中正确命题的序号是(D)ABCD解析:对于,同垂直于一个平面的两个平面可能相交,命题错误;对于,在两个互相垂直的平面内的两条直线可能互相平行,可能相交,也可能异面,命题错误;对于,直线m与n可能异面,命题错误;对于,由面面平行的性质定理知命题正确故正确命题的序号是,选D6已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为
5、(B)AB CD解析:如图,取正三角形ABC的中心O,连接OP,则PAO是PA与平面ABC所成的角因为底面边长为,所以AD,AOAD1.三棱柱的体积为()2AA1,解得AA1,即OPAA1.所以tanPAO,因为直线与平面所成角的范围是,所以PAO.7如图,在四面体DABC中,若ABCB,ADCD,E是AC的中点,则下列结论正确的是(C)A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE解析:因为ABCB,且E是AC的中点,所以BEAC,同理有DEAC,于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面AB
6、C平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE.8(2020湖北黄冈模拟)如图,AC2R为圆O的直径,PCA45,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A、C重合的点,ASPC于S,ANPB于N,则下列不正确的是(B)A平面ANS平面PBCB平面ANS平面PABC平面PAB平面PBCD平面ABC平面PAC解析:PA平面ABC,BC平面ABC,PABC,又ABBC,PAABA,BC平面PAB,又AN平面ABP,BCAN,又ANPB,BCPBB,AN平面PBC,又PC平面PBC,ANPC,又PCAS,ASANA,PC平面ANS,又PC平面PBC,平面ANS平面PBC,A正确,C,
7、D显然正确,故选B二、填空题9.如图,已知PA平面ABC,BCAC,则图中直角三角形的个数为4.解析:PA平面ABC,AB,AC,BC平面ABC,PAAB,PAAC,PABC,则PAB,PAC为直角三角形,由BCAC,且ACPAA,得BC平面PAC,从而BCPC,因此ABC,PBC也是直角三角形10.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,BAC90,BC1AC,则C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上解析:ACAB,ACBC1,ABBC1B,AC平面ABC1.又AC平面ABC,平面ABC1平面ABCC1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上11(2020南昌模拟)侧面为等腰直角三角形的正
8、三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为.解析:记该正三棱锥为PABC,P为顶点,ABC为底面,由题意知,正三棱锥的侧棱两两垂直,PAPBPC,ABC为正三角形如图,在平面ABC上,过点A作BC的垂线AD交BC于点D,过点P作POAD交AD于点O,连接PD,因为ABC是正三角形,所以D是BC的中点,又PBPC,所以PDBC因为ADPDD,所以BC平面PAD,因为PO平面PAD,所以BCPO,又ADBCD,所以PO平面ABC,所以PAO是PA与底面ABC所成的角,设侧棱长是1,在等腰直角三角形PBC中,BC,PD,AD,PA与底面ABC所成角的正弦值为.12.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C
9、1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上点P到直线CC1的距离的最小值为.解析:点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,设点P在平面ABCD上的射影为P,显然点P到直线CC1的距离的最小值为PC的长度的最小值当PCDE时,PC的长度最小,此时PC.三、解答题13.如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点求证:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.证明:(1)因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD因为ACCD,PAACA,所以CD平面PAC又AE平面PAC,所以CDAE.(2)由PAAB
10、BC,ABC60,可得ACPA因为E是PC的中点,所以AEPC由(1)知,AECD,且PCCDC,所以AE平面PCD又PD平面PCD,所以AEPD因为PA平面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB又ABAD,PAADA,所以AB平面PAD,又PD平面PAD,所以ABPD又AEABA,所以PD平面ABE.14.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证:ABEF;(2)若AFEF,求证:平面PAD平面ABCD证明:(1)因为四边形ABCD是矩形,所以ABCD又AB平面PDC,CD平面PDC,所以AB平面PDC,又因为A
11、B平面ABE,平面ABE平面PDCEF,所以ABEF.(2)因为四边形ABCD是矩形,所以ABAD因为AFEF,(1)中已证ABEF,所以ABAF.又ABAD,由点E在棱PC上(异于点C),所以点F异于点D,所以AFADA,AF,AD平面PAD,所以AB平面PAD,又AB平面ABCD,所以平面PAD平面ABCD15(2020豫西南五校联考)已知矩形ABCD,AB2,BC2,将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,(B)A存在某个位置,使得直线BD与直线AC垂直B存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置,使得直线BC与直线AD垂直D对任意位置,三对直线“AC与B
12、D”“CD与AB”“AD与BC”均不垂直解析:矩形在翻折前和翻折后的图形如图(1)(2)所示在图(1)中,过点A作AEBD,垂足为E,过点C作CFBD,垂足为F,由边AB,BC不相等可知点E、F不重合;在图(2)中,连接CE,对于选项A,若ACBD,又知BDAE,AEACA,所以BD平面ACE,所以BDCE,与点E,F不重合相矛盾,故选项A错误;对于选项B,若ABCD,又知ABAD,ADCDD,所以AB平面ADC,所以ABAC,由ABAB,所以不存在这样的直角三角形,故选项C错误;由以上可知选项D错误因此选B16(2020山西联考)如图,在四棱锥PABCD中,ABAD2BC2,BCAD,ABA
13、D,PBD为正三角形,且PA2.(1)证明:平面PAB平面PBC;(2)若点P到平面ABCD的距离为2,E是线段PD上一点,且PB平面ACE,求三棱锥ACDE的体积解:(1)证明:因为ABAD,ABAD2,所以BD2.又PBD为正三角形,所以PBPDBD2.因为AB2,PA2,所以ABPB又ABAD,BCAD,所以ABBC,又PBBCB,所以AB平面PBC,又AB平面PAB,所以平面PAB平面PBC(2)如图,设BD,AC交于点O,因为BCAD,且AD2BC,所以OD2OB,连接OE,又PB平面ACE,所以PBOE,则DE2PE,又点P到平面ABCD的距离为2,所以点E到平面ABCD的距离h2,所以VACDEVEACDSACDh22,故三棱锥ACDE的体积为.