1、课时作业48直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1设，为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：依题意，由l，l可以推出；反过来，由，l不能推出l.因此“l”是“”成立的充分不必要条件，故选A2设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是(B)A若a，b，则abB若a，ab，则bC若a，ab，则bD若a，ab，则b解析：若a，b，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a，ab，则b或b，故C错误；若a，ab，则b或b或b与相交，故D错误3(2020武汉调研)已知两个平面相互垂直，下列命题一个平
2、面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是(C)A3B2C1D0解析：构造正方体ABCDA1B1C1D1，如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，A1D平面ADD1A1，BD平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故错；在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，l是平面ADD1A1内的任意一条直线，l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直，故正确；在正方体ABCDA
3、1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，A1D平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故错；在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ADD1A1平面ABCD，且平面ADD1A1平面ABCDAD，过交线AD上的点作交线的垂线l，则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故错故选C4(2020成都检测)已知a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，则下列说法正确的是(C)A若c平面，则aB若c平面，则a，bC存在平面，使得c，a，bD存在平面，使得c，a，b解析：对于A，直线a可以在平面内，也可以与平面相交；对于B，直线a可以在平面内，或者b在平面内；对于D，如果a，b，则
4、有ab，与条件中两直线异面矛盾5(2020贵州适应性考试)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下面四个命题：若，则；若，m，n，则mn；若m，n，则mn；若，m，n，则mn.其中正确命题的序号是(D)ABCD解析：对于，同垂直于一个平面的两个平面可能相交，命题错误；对于，在两个互相垂直的平面内的两条直线可能互相平行，可能相交，也可能异面，命题错误；对于，直线m与n可能异面，命题错误；对于，由面面平行的性质定理知命题正确故正确命题的序号是，选D6已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为
5、(B)AB CD解析：如图，取正三角形ABC的中心O，连接OP，则PAO是PA与平面ABC所成的角因为底面边长为，所以AD，AOAD1.三棱柱的体积为()2AA1，解得AA1，即OPAA1.所以tanPAO，因为直线与平面所成角的范围是，所以PAO.7如图，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(C)A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析：因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面AB
6、C平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.8(2020湖北黄冈模拟)如图，AC2R为圆O的直径，PCA45，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，ASPC于S，ANPB于N，则下列不正确的是(B)A平面ANS平面PBCB平面ANS平面PABC平面PAB平面PBCD平面ABC平面PAC解析：PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又ABBC，PAABA，BC平面PAB，又AN平面ABP，BCAN，又ANPB，BCPBB，AN平面PBC，又PC平面PBC，ANPC，又PCAS，ASANA，PC平面ANS，又PC平面PBC，平面ANS平面PBC，A正确，C，
7、D显然正确，故选B二、填空题9.如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为4.解析：PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形，由BCAC，且ACPAA，得BC平面PAC，从而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形10.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上解析：ACAB，ACBC1，ABBC1B，AC平面ABC1.又AC平面ABC，平面ABC1平面ABCC1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上11(2020南昌模拟)侧面为等腰直角三角形的正
8、三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为.解析：记该正三棱锥为PABC，P为顶点，ABC为底面，由题意知，正三棱锥的侧棱两两垂直，PAPBPC，ABC为正三角形如图，在平面ABC上，过点A作BC的垂线AD交BC于点D，过点P作POAD交AD于点O，连接PD，因为ABC是正三角形，所以D是BC的中点，又PBPC，所以PDBC因为ADPDD，所以BC平面PAD，因为PO平面PAD，所以BCPO，又ADBCD，所以PO平面ABC，所以PAO是PA与底面ABC所成的角，设侧棱长是1，在等腰直角三角形PBC中，BC，PD，AD，PA与底面ABC所成角的正弦值为.12.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C
9、1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上点P到直线CC1的距离的最小值为.解析：点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P，显然点P到直线CC1的距离的最小值为PC的长度的最小值当PCDE时，PC的长度最小，此时PC.三、解答题13.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点求证：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明：(1)因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD因为ACCD，PAACA，所以CD平面PAC又AE平面PAC，所以CDAE.(2)由PAAB
10、BC，ABC60，可得ACPA因为E是PC的中点，所以AEPC由(1)知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD又PD平面PCD，所以AEPD因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB又ABAD，PAADA，所以AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD又AEABA，所以PD平面ABE.14.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：ABEF；(2)若AFEF，求证：平面PAD平面ABCD证明：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC，又因为A
11、B平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD因为AFEF，(1)中已证ABEF，所以ABAF.又ABAD，由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD15(2020豫西南五校联考)已知矩形ABCD，AB2，BC2，将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，(B)A存在某个位置，使得直线BD与直线AC垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线BC与直线AD垂直D对任意位置，三对直线“AC与B
12、D”“CD与AB”“AD与BC”均不垂直解析：矩形在翻折前和翻折后的图形如图(1)(2)所示在图(1)中，过点A作AEBD，垂足为E，过点C作CFBD，垂足为F，由边AB，BC不相等可知点E、F不重合；在图(2)中，连接CE，对于选项A，若ACBD，又知BDAE，AEACA，所以BD平面ACE，所以BDCE，与点E，F不重合相矛盾，故选项A错误；对于选项B，若ABCD，又知ABAD，ADCDD，所以AB平面ADC，所以ABAC，由ABAB，所以不存在这样的直角三角形，故选项C错误；由以上可知选项D错误因此选B16(2020山西联考)如图，在四棱锥PABCD中，ABAD2BC2，BCAD，ABA
13、D，PBD为正三角形，且PA2.(1)证明：平面PAB平面PBC；(2)若点P到平面ABCD的距离为2，E是线段PD上一点，且PB平面ACE，求三棱锥ACDE的体积解：(1)证明：因为ABAD，ABAD2，所以BD2.又PBD为正三角形，所以PBPDBD2.因为AB2，PA2，所以ABPB又ABAD，BCAD，所以ABBC，又PBBCB，所以AB平面PBC，又AB平面PAB，所以平面PAB平面PBC(2)如图，设BD，AC交于点O，因为BCAD，且AD2BC，所以OD2OB，连接OE，又PB平面ACE，所以PBOE，则DE2PE，又点P到平面ABCD的距离为2，所以点E到平面ABCD的距离h2，所以VACDEVEACDSACDh22，故三棱锥ACDE的体积为.