1、第一节不等式的性质及一元二次不等式本节主要包括 2 个知识点：1.不等式的性质；2.一元二次不等式.第七章 不 等 式突破点(一)不等式的性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”1比较两个实数大小的方法(1)作差法ab0aba，bR，ab0aba，bR，ab1abaR，b0，ab1abaR，b0，ab0.b传递性ab，bc_可加性ab_abc0 _可乘性abc0 _注意 c 的符号bcacbcacbcacbcd _同向同正可乘性ab0cd0 _可乘方性ab0_(nN，n1)可开方性ab0_(nN，n2)a，b 同为正数acbdacbd0anbnn an b3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质
2、ab，ab01a1b.a0b1ab0,0cbd.0axb 或 axb01b1xb0，m0，则：babmam(bm0)abambm；ab0).考点贯通抓高考命题的“形”与“神”比较两个数(式)的大小例 1(1)已知 a1，a2(0,1)，记 Ma1a2，Na1a21，则 M 与 N 的大小关系是()AMNCMN D不确定解析 MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即 MN0.M N.答案 B解析 易知 a，b 都是正数，ba2ln 33ln 2log891，所以ba.答案(2)若 aln 22，bln 33，则 a
3、_b(填“”或“”)方法技巧 比较两个数(式)大小的两种方法不等式的性质例 2(1)如果 ab0，那么下列不等式成立的是()A.1a1bBabb2Caba2 D1a1b解析 法一(性质判断)：对于 A 项，由 ab0，ab0，故1a1bbaab 0，1a1b，故 A 项错误；对于 B 项，由 ab0，abb2，故 B 项错误；对于 C 项，由 ab0，a2ab，即aba2，故 C 项错误；对于 D 项，由ab0，得 ab0，故1a1b abab 0，1a1b1，ab2b21，ab2a24，1a121b1.故 A、B、C 项错误，D 项正确答案 D 解析 取 a2，b1，c1，d2，可知 A 错
4、误；当 cbcab，B 错误；ac20，ab，cd，则 acbdB若 acbc，则 abC若ac2bc2，则 ab，cd，则 acbd解析 x13，x23x1x26，x1x29；反之不成立，例如 x112，x220，x1x2412 6，x1x2109，但 x13且 x23”是“x1x26 且 x1x29”的充分不必要条件答案 A(3)(2016西安八校联考)“x13 且 x23”是“x1x26 且x1x29”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件方法技巧不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键
5、，要注意不等式性质成立的前提条件(2)与充分、必要条件相结合问题用不等式的性质分别判断 pq 和 qp 是否正确，要注意特殊值法的应用(3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法能力练通抓应用体验的“得”与“失”1考点一设 a，b0，)，A a b，B ab，则A，B 的大小关系是()AAB BABCAB解析：由题意得，B2A22 ab0，且 A0，B0，可得 AB.答案：B 2.考点二若 m0，n0 且 mn0，则下列不等式中成立的是()Anmnm BnmmnCmnmn Dmnnm解析：法一：(取特殊值法)令 m3，n2 分别代入各选项检验即
6、可法二：mn0mnnm，又由于 m0n，故 mnnm 成立答案：D 3.考点二若 a0ba，cd0，则下列结论：adbc；adbc0；acbd；a(dc)b(dc)中，成立的个数是()A1 B2 C3 D4解析：a0b，cd0，ad0，bc0，adbc，故不成立a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，adbcacbdcd0，故成立cd，cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故成立ab，dc0，a(dc)b(dc)，故成立成立的个数为 3.答案：C 4设 a，b 是实数，则“ab1”是“a1ab1b”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不
7、必要条件解析：因为 a1ab1b abab1ab，若 ab1，显然a1ab1b abab1ab0，则充分性成立，当 a12，b23时，显然不等式 a1ab1b成立，但 ab1 不成立，所以必要性不成立答案：A考点二突破点(二)一元二次不等式基础联通抓主干知识的“源”与“流”1三个“二次”之间的关系 判别式 b24ac000二次函数 yax2bxc(a0)的图象一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根 x1，x2(x1x2)有两个相等实根x1x2 b2a没有实数根判别式b24ac000一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集_R一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集_x|xx
8、2x x b2ax|x1xx22.不等式 ax2bxc0(0 对任意实数 x 恒成立ab0，c0或a0，0.(2)不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立ab0，c0或a0，0.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”一元二次不等式的解法例 1 解下列不等式：(1)3x22x80；解 原不等式可化为 3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x43，所以原不等式的解集为x2x43.解 原不等式等价于x2x20，x2x24x2x20，x2x60 x2x10，x3x20 x2或x1，2x3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或2x3.(2)0 x2x24；解 原不等式变为(ax1
9、)(x1)0，因为 a0，所以 ax1a(x1)0.所以当 a1，即1a1 时，解为 1x1a.综上，当 0a1 时，不等式的解集为x1x1a；当 a1 时，不等式的解集为；当 a1 时，不等式的解集为x1ax1.(3)ax2(a1)x10(a0)方法技巧1解一元二次不等式的方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式(2)判：计算对应方程的判别式(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集方法技巧2解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于
10、 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式 与 0 的关系(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式由一元二次不等式恒成立求参数范围对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值考法(一)在实数集R上恒成立例2 已知不等式mx22xm10，是否存在实数m使得对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，
11、请说明理由解 不等式 mx22xm10 恒成立，即函数 f(x)mx22xm1 的图象全部在 x 轴下方当 m0 时，12x0，则 x12，不满足题意；当 m0 时，函数 f(x)mx22xm1 为二次函数，需满足开口向下且方程 mx22xm10 无解，即m0，44m1m0，不等式组的解集为空集，即 m 无解综上可知不存在这样的实数 m 使不等式恒成立考法(二)在某区间上恒成立例 3 设函数 f(x)mx2mx1(m0)，若对于 x1,3，f(x)m5 恒成立，求 m 的取值范围解 要使 f(x)m5 在1,3上恒成立，则 mx2mxm60，即 mx12234m60 在 x1,3上恒成立法一：
12、令 g(x)mx12234m6，x1,3当 m0 时，g(x)在1,3上是增函数，所以 g(x)maxg(3)7m60.所以m67，则0m67.当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，则m0.综上所述，m的取值范围是m0m67或m0.法二：因为x2x1x122340，又因为m(x2x1)60，所以m6x2x1.因为函数y6x2x16x12234在1,3上的最小值为67，所以只需m67即可因为m0，所以m的取值范围是mm0或0m67.考法(三)在参数的某区间上恒成立时求变量范围例 4 对任意 m1,1，函数 f(x)x2(m4)x42m 的值恒大于零，求
13、 x 的取值范围解 由 f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令 g(m)(x2)mx24x4，则原问题转化为关于 m 的一次函数问题由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，g1x21x24x40，g1x2x24x40，解得 x3.故当 x 的取值范围是(，1)(3，)时，对任意的 m1,1，函数 f(x)的值恒大于零易错提醒解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.不等式组xx20，|x|1的解集为()Ax
14、|2x1 Bx|1x0Cx|0 x1解析：解 x(x2)0，得 x0；解|x|1，得1x1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为x|0 x1答案：C 考点一2.考点一已知不等式 x22x30 的解集为 A，不等式 x2x60 的解集为 B，不等式 x2axb0 的解集为 AB，则ab 等于()A3 B1 C1 D3解析：由题意得，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根与系数的关系可知，a1，b2，则 ab3.答案：A3.若不等式2kx2kx380对一切实数x都成立，则 k 的取值范围为()A(3,0)B3,0)C3,0 D(3,0解析：当 k0 时，显然成立；当 k0
15、时，即一元二次不等式 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立，则k0，k242k38 0，解得3k0.综上，满足不等式 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立的 k的取值范围是(3,0答案：D 考点二考法一4.考点二考法二若不等式 x2(a1)xa0 的解集是4,3的子集，则 a 的取值范围是()A4,1 B4,3C1,3 D1,3解析：原不等式为(xa)(x1)0，当 a1 时，不等式的解集为a,1，此时只要 a4 即可，即4a1 时，不等式的解集为1，a，此时只要 a3 即可，即 10，|a|1 恒成立，则 x 的取值范围为_解析：将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x3)
16、ax26x90.令 f(a)(x3)ax26x9.因为 f(a)0 在|a|1时恒成立，所以若 x3，则 f(a)0，不符合题意，应舍去若 x3，则由一次函数的单调性，可得f10，f10，即x27x120，x25x60，解得 x4.答案：(，2)(4，)全国卷 5 年真题集中演练明规律1(2014新课标全国卷)已知集合 Ax|x22x30，Bx|2x2，则 AB()A2，1 B1,2)C1,1 D1,2)解析：Ax|x1 或 x3，故 AB2，1，故选 A.答案：A 2(2014新课标全国卷)设集合 M0,1,2，Nx|x23x20，则 MN()A1 B2C0,1 D1,2解析：Nx|x23x20 x|1x2，又 M0,1,2，所以 MN1,2答案：D 3(2013新课标全国卷)已知集合 Ax|x22x0，Bx|5x 5，则()AAB BABRCBA DAB解析：集合 Ax|x2 或 x0，所以 ABx|x2 或x0 x|5x 5R，故选 B.答案：B
