1、上高县高二下学期第二次月考数学试卷4.1一、选择题(共8题)1. 已知集合A=0,a+b,ab，B=0,1-b,1，(a,bR)，若A=B，则a+2b=()A. -2B. 2C. -1D. 12. 函数f(x)=xloga|x|x|(0abcB. logablogbcC. alogbcD. cbba4. 设a是函数y=cosx+3sinxxR的最大值，则二项式ax-1x6的展开式中含x2项的系数是()A. 192B. 182C. -192D. -1825. 若(4x-7)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a6x6，则a1+a3+a5=()A. 76-1162B. 116-762C. 116
2、-362D. 36-11626. 对于数列an，定义H0=a1+2a2+2n-1ann为an的“优值”现已知某数列的“优值”H0=2n+1，记数列an-20的前n项和为Sn，则Sn的最小值为()A. -64B. -68C. -70D. -727. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F，过点F的直线x-y+3=0与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为-12，则椭圆C的方程为()A. x23+y22=1B. x24+y2=1C. x24+y22=1D. x26+y23=18. 设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右
3、焦点分别为F1、F2，点P在C上，且满足PF1=3a.若满足条件的点P只在C的左支上，则C的离心率的取值范围是()A. (1,2B. (2,+)C. (2,4D. (4,+)二、多选题(共4题)9. 函数fx=3cosx+0,2的最小正周期为4，将fx的图象向左平移3个单位长度，得到函数gx的图象，且gx是奇函数，则()A. =3B. gx在区间3,32上的最大值为-3C. =6D. gx在区间3,32上的最大值为-3210. 已知i为虚数单位，复数z满足z(2-i)=i2020，则下列说法正确的是()A. 复数z的模为13B. 复数z的共轭复数为-25-15iC. 复数z的虚部为15D. 复
4、数z在复平面内对应的点在第一象限11. 我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开设了八大类校本课程，具体为学课拓展(X)、体艺特长(T)、实践创新(S)、生涯找划(C)、国际视野(I)、公民素养(G)、大学先修(D)、PBL项目课程(P)八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则()A. 某学生从中选3类，共有56种选法B. 课程“X”、“T”排在不相邻两天，共有A66A72种排法C. 课程中“S”、“C”、“T”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“T”的中间，共有720种排
5、法D. 课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有种排法12. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，BAC=90，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在直线B1P上，则下列结论错误的是.()A. 当Q为线段B1P的中点时，DQ平面A1BDB. 当Q为线段B1P的三等分点时，DQ平面A1BDC. 在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ平面A1BDD. 不存在点Q，使DQ与平面A1BD垂直三、填空题(共4题)13. 随机变量X的概率分布规律为P(X=k)=ck(k+1)，k=1，2，3，4，其中
6、c是常数，则P(12Xb0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与椭圆C交于M，N两点，若2SMNF2=5SMF1F2且F2F1N=F2NF1，则椭圆C的离心率为_.四、解答题(共6题)17. 已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0.(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求直线l1的方程;(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2:x-y+2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程.18. 已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ca+b+ba+c=1.(1)求角A的大小；(2)若AD平分BAC，交BC于点D，且AD=2，a=3，求ABC的面积.19. 新高考改革是
7、中央部署全面深化改革的重大举措之一，为了了解学生对于选择物理学科的倾向，某中学在一次大型考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩(均在50100分之间)，将抽取的成绩分组为50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,得到如图所示的频率分布直方图()求这300名同学物理平均成绩x-与标准差s的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(结果精确到1)()已知全年级同学的物理成绩服从正态分布N(,2)，其中，分别取()中的x，s.现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间(62,95)的概率(结果精确到0.1)()根据()的
8、条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n名同学的物理成绩，若他们的成绩都在(62,95)的概率不低于1%，求n的最大值(n为整数)附：lg20.301，11610.77.若N(,2)，则P(-+)0.68，P(-2+2)0.96.20. 如图所示的几何体由等高的12个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G为弧CD的中点，且C、E、D、G四点共面.(1)证明：BF平面BCG.(2)若直线DF与平面AFB所成角为45，求平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值.21. 设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的nN+，都有8Sn=(an+2)2.(1)写出数列an的前3项；(2)求数列a
9、n的通项公式(写出推证过程)；(3)设bn=4anan+1,Tn是数列bn的前n项和，求使得Tnb0)的左、右焦点分别为F1，F2，2b|F1F2|，右顶点A(2,0)，点B为椭圆上一动点，且BF1F2的面积的最大值为3，O为坐标原点(1)求椭圆M的方程；(2)设直线AB的斜率为k(k0)，直线AB交y轴于点C，D为AB的中点，是否存在定点E，对于任意的k(k0)都有ODCE=0?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了集合的相等，集合元素的互异性，属于中档题.由题意可知a+b=1，ab=1-b或a+b=1-b，ab=1，分别求解a，b
10、的值，然后验证，从而得出结果.【解答】解：由题意，b0，当a+b=1时，ab=1-b，解得b=1，a=0，此时A=B=0,1,0，舍去，当a+b=1-b时，ab=1，解得a=b=13，此时A=B=0,23,1，符合题意，则a+2b=1.故选D.2.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性及函数图象的作法，属于中档题.判断函数的奇偶性及函数在x0时的单调性，进行排除即可选出答案【解答】解：f(x)=xloga|x|x|=logax,x0-loga(-x),x0，且0a0时，f(x)=logax(0a1)是单调递减函数，排除A.故选：C.3.【答案】D【解析】【分析】本题考查指数函数、对数函
11、数单调性的运用，比较大小.由题意，首先明确a，b，c的范围，然后根据指数函数，对数函数的性质分析解答.【解答】解：实数a，b，c满足2a=log2b=log3c=k，k(1,2)，0a1，bc，2b4，3c9，ab1bc，故A错误；logab0logbb=1a，故C错误；cb9b1ba，故D正确.故选D.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查二项式定理的应用，涉及三角函数的性质与恒等变形，属于中档题根据题意，由三角恒等变换可得y=2sin(x+6)，即可得a的值，再由二项式定理可得二项式(ax-1x)6的展开式的通项，令3-r=2，解可得r=1，将r=1代入通项即可得答案【解答】解：根据题意，
12、函数y=cosx+3sinx=2sin(x+6)，其最大值为2，则a=2，则二项式(ax-1x)6=(2x-1x)6，其展开式的通项为Tr+1=C6r(2x)6-r(-1x)r=C6r(-1)r26-rx3-r，令3-r=2，解可得r=1，则有T2=C61(-1)125x2=-192x2，即其展开式中含x2项的系数是-192；故选C.5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二项式定理及其通项，属中档题令x=1，得a0+a1+a2+a3+a6=36，令x=-1，得a0-a1+a2-a3+a6=116，即可求.【解答】解：令x=1，则a0+a1+a2+a3+a6=36，令x=-1，则a0-a1+a
13、2-a3+a6=116，-可得，2a1+2a3+2a5=36-116，则a1+a3+a5=36-1162.故选：D.6.【答案】D【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，数列的新定义问题，考查计算能力，属于中档题由an的“优值”的定义可知a1+2a2+2n-1an=n2n+1，当n2时，a1+2a2+2n-2an-1=(n-1)2n，则求得an=2(n+1)，则an-20=2n-18，由数列的单调性可知当n=8或9时，an-20的前n项和Sn取最小值.【解答】解：由题意可知：H0=a1+2a2+2n-1ann=2n+1，则a1+2a2+2n-1an=n2n+1，当n=1时，a1=4，当n2
14、时，a1+2a2+2n-2an-1=(n-1)2n，两式相减得：2n-1an=n2n+1-(n-1)2n，an=2n+1，当n=1时成立，an-20=2n-18，当an-200时，n9，故当n=8或9时，an-20的前n项和Sn取最小值，最小值为S8=S9=9(-16+0)2=-72.故选D.7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了椭圆的简单性质，中点弦问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用点差法，结合中点坐标公式和斜率公式可得a2=2b2，再根据a2-b2=c2=3，即可求解【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x12a2+y12
15、b2=1，x22a2+y22b2=1，两式相减可得1a2(x1-x2)(x1+x2)+1b2(y1-y2)(y1+y2)=0，P为线段AB的中点，2xp=x1+x2，2yp=y1+y2，y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=-b2a2，又y1-y2x1-x2=kAB=1，y1+y2x1+x2=ypxp=kOP=-12，a2=2b2，由椭圆的左焦点F(-c,0)在直线x-y+3=0上，c=3，即a2-b2=c2=3，由可得b2=3，a2=6，椭圆C的方程为x26+y23=1，故选D.8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆锥曲线中双曲线的相关性质，考查双曲线的
16、离心率的取值范围，考查双曲线的长轴、短轴以及焦距之间的关系，考查推理能力，是中档题.本题需要分类讨论，首先需要讨论“P在双曲线的右支上”这种情况，然后讨论“P在双曲线的左支上”这种情况，然后根据题意，即可得出结果.【解答】解：若P在双曲线的右支上，根据双曲线的相关性质可知，此时PF1的最小值为c+a，因为满足题意的点P在双曲线的左支，所以3ac+a，即2a2，若P在双曲线的左支上，根据双曲线的相关性质可知，此时PF1的最小值为c-a，想要满足题意的点P在双曲线的左支上，则需要满足3ac-a，即4ac，所以e4，由得2e4，故选C。9.【答案】AD【解析】【分析】本题考查函数y=Asin(x+)
17、的图象与性质，是中档题根据题意求得，然后根据图象平移法则及函数的奇偶性可写出函数g(x)的解析式，再根据三角函数的性质即可求得最值【解答】解：因为函数f(x)的最小正周期为4，所以=12.又g(x)=3cos(12x+6+)是奇函数，所以6+=2+k(kZ)，化简得=3+k(kZ)，因为|2，所以=3，所以f(x)=3cos(12x+3)，g(x)=-3sinx2.当x3,32时，x26,34，所以-3g(x)-32，故A，D正确，B，C错误.10.【答案】CD【解析】【分析】本题考查复数的运算，考查共轭复数、虚部、复数的代数表示及其几何意义，属于基础题.由复数的运算得出z=25+15i，再由
18、共轭复数、虚部、复数的代数表示及其几何意义判断即可.【解答】解：z(2-i)=i2020，则z=(i2)10102-i=2+i(2-i)(2+i)=2+i5=25+15i，|z|=(25)2+(15)2=55，故A错误；复数z的共轭复数为25-15i，故B错误；复数z的虚部为15，故C正确；复数z在复平面内对应的点为25,15，在第一象限，故D正确.故选CD.11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合应用以及两个计数原理的综合应用，考查分析问题、解决问题的能力，属于难题.利用排列、组合的的方法对选项逐一求解判断即可.【解答】解：对于A，八类中选3类共有C83=56种，故A正确
19、;对于B，课程“X”、“T”排在不相邻两天，使用插空法，共有A66A72种排法，故B正确;对于C，课程“S”、“C”、“T”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“T”的中间，共有A22A66=1440种排法，故C错误;对于D，课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，先分类：第一类当把G排在第一天时：有A77排法；第二类当G不排在第一天时：C61C61A66.所以共有种排法，故D正确.故选：ABD.12.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查由空间向量法证明线面垂直，空间向量的探究问题，难度较大，属于较难题.以A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建
20、立空间直角坐标系，由空间向量法进行判断即可.【解答】解：以A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D0,1,12，P(0,2,0)，所以A1B=(1,0,1)，A1D=(0,1,12)，B1P=(-1,2,0)，DB1=1,-1,-12.设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z)，则nA1B=x+z=0nA1D=y+12z=0，取z=-2，则x=2，y=1，所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).假设DQ平面A1BD，且B1Q=B1P=(-1,2
21、,0)=(-,2,0)，则DQ=DB1+B1Q=1-,-1+2,-12.因为DQ也是平面A1BD的法向量，所以n=(2,1,-2)与DQ=(1-,-1+2,-12)共线，所以1-2=-1+21=-12-2=14成立，但此方程关于无解.因此不存在点Q，使DQ与平面A1BD垂直，故选：ABC.13.【答案】56【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的分布列性质及概率分布，属于基础题.根据所给的概率分布规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出c的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果.【解答】解：P(X=k)=ck(k+1)，k=1，2，3，4，c2+
22、c6+c12+c20=1，c=54，P(12X52)=P(X=1)+P(X=2)=58+524=56.故答案为56.14.【答案】n2n【解析】【分析】此题主要考查了利用函数的特征求数列的通项公式，等差数列的判断，等差数列的通项公式.可根据an=f(2n)，f(xy)=xf(y)+yf(x)，令x=2n，y=2得到递推关系式an+1=2an+22n，然后两边同除以2n+1可构造出数列an2n是以a12=1为首项，公差为1的等差数列，即可求解【解答】解：由于an=f(2n)则an+1=f(2n+1)且a1=2=f(2)对于任意的x，yR，都有f(xy)=xf(y)+yf(x)令x=2n，y=2则
23、f(2n+1)=2nf(2)+2f(2n)an+1=2an+22n两边同除2n+1，an+12n+1-an2n=1数列an2n是以a12=1为首项，公差为1的等差数列，an2n=1+(n-1)1=n，an=n2n.故答案为：n2n.15.【答案】-2【解析】【分析】本题考查光线的反射定律的运用，注意运用点关于直线对称，考查方程思想和运算能力，属于中档题求得圆心C的坐标，过C作直线y=x+2的对称点C，设C(m,n)，由两直线垂直的条件和中点坐标公式，解方程可得C的坐标，再由两点的斜率公式计算PC的斜率可得所求【解答】解：圆C：(x-1)2+(y+2)2=3的圆心C(1,-2)，如图过C作直线y
24、=x+2的对称点C，设C(m,n)，由n-(-2)m-1=-1，n-22=m+12+2，解得m=-4，n=3，即C(-4,3)，连接PC，可得光线的入射光线，则入射光线的斜率为3-(-3)-4-(-1)=-2，故答案为：-2.16.【答案】35【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义与标准方程及其性质、三角形面积计算公式、勾股定理、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题如图所示，作F2EMN，垂足为E.由F2F1N=F2NF1，可得|F1F2|=|F2N|=2c，E点为F1N的中点|F1N|=2a-2c，|F1E|=a-c.由2SMNF2=5SMF1F2，可得|MF1|MN|=25
25、.利用勾股定理即可得出【解答】解：如图所示，作F2EMN，垂足为E.F2F1N=F2NF1，|F1F2|=|F2N|=2c，E点为F1N的中点|F1N|=2a-2c，|F1E|=a-c.2SMNF2=5SMF1F2，|MF1|MN|=25.|ME|=43(a-c)+(a-c)=73(a-c)，|MF2|=2a-|MF1|=2a-23(2a-2c)=4c+2a3.(2c)2-(a-c)2+73(a-c)2=(4c+2a3)2，化简可得：5c2-8ac+3a2=0，5e2-8e+3=0，e(0,1)，解得e=35.故答案为35.17.【答案】解：(1)圆C:x2+y2-6x-8y+21=0化为标准
26、方程为(x-3)2+(y-4)2=4，所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.若直线l1的斜率不存在，即直线为x=1，符合题意.若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y-1=k(x-1).即kx-y-k+1=0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，所以|3k-4-k+1|k2+1=2，即|2k-3|k2+1=2，解得k=512，所以直线方程为5x-12y+7=0.综上，所求直线l1的方程为x=1或5x-12y+7=0.(2)依题意，设D(a,a+2).又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，由两圆外切，可知CD=5，所以(a-3)2+(a+2-4)2=5，解得a=-1或a=
27、6.所以D(-1,1)或D(6,8)，所以所求圆D的方程为(x+1)2+(y-1)2=9或(x-6)2+(y-8)2=9.【解析】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，属于中档题(1)先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程.(2)设出圆D圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a的值，从而求得圆D的方程.18.【答案】解：(1)由ca+b+ba+c=1，则c(a+c)+b(a+b)=(a+c)(a+b)，整理得：b2+c2-a2=bc.在ABC中，由余弦定理得：cosA=b2+c2-a22
28、bc=12，而0A0，解得bc=6，ABC的面积SABC=12bcsinBAC=12632=332.【解析】本题考查利用余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于中档题.(1)变形给定的等式，再利用余弦定理求解；(2)根据给定条件，结合(1)，利用SBAD+SCAD=SABC求得b+c=32bc，进而求出bc计算作答.19.【答案】解：()x=(550.01+650.03+750.04+850.01+950.01)10=73；s2=(55-73)20.1+(65-73)20.3+(75-73)20.4+(85-73)20.1+(95-73)20.1=116，则s=11611.()由()知，u=73
29、，=11，因为全年级同学的物理成绩服从正态分布，所以P(62x84)=0.68，P(51x95)=0.96，所以P(62x95)=P(62x84)2+P(51x95)2=0.68+0.962=0.820.8，所以该成绩在区间(62,95)的概率约为0.8.()由()可知成绩位于(62,95)的概率为0.8，所以(0.8)n0.01，所以nlog0.80.01=lg0.01lg0.8=lg10-2lg8-lg10=-23lg2-1=-20.3013-120.6，所以n的最大值为20.【解析】本题考查正态分布的实际应用、频率分布直方图、平均数、方差、利用指数函数的单调性解不等式、对数运算的实际应用
30、，属于中档题()结合频率分布直方图，利用公式分别计算x、s，即可得出这300名同学物理平均成绩x-与标准差s的估计值()根据P(62x95)=P(62x84)2+P(51x0，n=1时 8a1=(a1+2)2，a1=2.n=2时，8(a1+a2)=(a2+2)2，a2=6，n=3时，8(a1+a2+a3)=(a3+2)2，a3=10.(2)8Sn=(an+2)2，8Sn-1=(an-1+2)2(n1)，两式相减得：8an=(an+2)2-(an-1+2)2 ，即an2-an-12-4an-4an-1=0，也即(an+an-1)(an-an-1-4)=0，an0an-an-1=4，即an是首项为
31、2，公差为4的等差数列，an=2+(n-1)4=4n-2.(3)bn=4anan+1=4(4n-2)(4n+2)=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)Tn=b1+b2+bn=12(1-13)+(13-15)+(12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=12-14n+212Tn|F1F2|，可得bc.当BF1F2的面积最大时，点B是短轴端点，所以122cb=bc=3.又a2=b2+c2.解得a=2,b=3,c=1.所以椭圆M的方程为x24+y23=1.(2)直线AB：y=k(x-2)(k0).令x=0，则y=-2k，所以C(0,-2k)联立y=kx-2,x24+y2
32、3=1,整理得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0.设B(xB,yB)，则xB+2=16k23+4k2，所以xB=8k2-63+4k2，则yB=-12k3+4k2，即B8k2-63+4k2,-12k3+4k2.设D(xD,yD)，因为D为AB的中点，所以xD=8k23+4k2，yD=12(-12k3+4k2)=-6k3+4k2，所以OD=8k23+4k2,-6k3+4k2.设存在点E(x0,y0)，则CE=x0,y0+2k.因为ODCE=0，所以8k2x03+4k2-6ky0+12k23+4k2=0，即4k22x0-3-6ky03+4k2=0对任意的k0都成立，所以2x0-3=0,y0=0,所以x0=32，y0=0，所以存在E(32,0)使得ODCE=0.【解析】本题考查椭圆的概念和标准方程，直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线中的定点问题，属于中档题(1)根据题意可知bc=3，进而求出a，b的值，于是可得出椭圆M的标准方程;(2)设直线AB：y=k(x-2)(k0)，联立直线与椭圆方程，借助韦达定理求出B(xB,yB)，D(xD,yD)的坐标，设存在点E(x0,y0)，则CE=x0,y0+2k，由ODCE=0列方程求解即可.
