1、考点测试24正弦定理和余弦定理高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中、低等难度考纲研读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题一、基础小题1在ABC中，若AB8，A120，其面积为4，则BC()A2 B4 C2 D4答案C解析因为SABCABACsinA4，故AC2；由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcosA84，故BC2.故选C.2已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosCc(13cosB)，则sinCsinA()A23 B43 C31 D32答案C解析由正弦定理得3sinBcosCsinC3si
2、nCcosB，即3sin(BC)sinC，因为ABC，所以BCA，所以3sinAsinC，所以sinCsinA31，故选C.3若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2AasinB，且c2b，则等于()A. B C D答案D解析由bsin2AasinB，得2sinBsinAcosAsinAsinB，得cosA.又c2b，由余弦定理得a2b2c22bccosAb24b24b23b2，得.故选D.4ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acsinB10sinC，ab7，且cos，则c()A4 B5 C2 D7答案B解析acsinB10sinC.由正弦定理可得ab
3、c10c，即ab10.cos，cosC221，则c5.故选B.5在ABC中，a2b2tanAtanB，则ABC一定是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形答案D解析a2b2tanAtanB，由正弦定理可得，sinAsinB0，sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，2A2B或2A2B，AB或AB，即ABC为等腰或直角三角形故选D.6在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA，a2，SABC，则b的值为()A. B C2 D2答案A解析因为ABC为锐角三角形，sinA，所以cosA.由SABCbcsinA，得bc3.由cosA得
4、b2c26.联立，解得b，故选A.7已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3b，c，且cosC，则a_.答案3解析a3b，c，且cosC，由余弦定理可得，cosC，解得b1，a3.8在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A60，且ABC外接圆半径为，则a_，若bc3，则ABC的面积为_答案3解析A60，且ABC外接圆半径R为，由正弦定理2R，可得a2RsinA2sin603，bc3，由余弦定理a2b2c22bccosA，可得9b2c2bc(bc)23bc273bc，解得bc6，SABCbcsinA6.二、高考小题9(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别
5、为a，b，c，已知asinAbsinB4csinC，cosA，则()A6 B5 C4 D3答案A解析asinAbsinB4csinC，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cosA，6.故选A.10(2018全国卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB()A4 B C D2答案A解析因为cosC2cos21221，所以AB2BC2AC22BCACcosC12521532，所以AB4.故选A.11(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A. B C D答案C解析由题可知SABCabsinC，所以a2b2c22absinC
6、.由余弦定理得a2b2c22abcosC，所以sinCcosC.因为C(0，)，所以C，故选C.12(2019浙江高考)在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上若BDC45，则BD_，cosABD_.答案解析如图，易知sinC，cosC.在BDC中，由正弦定理可得，BD.由ABCABDCBD90，可得cosABDcos(90CBD)sinCBDsin(CBDC)sin(CBDC)sinCcosBDCcosCsinBDC.13(2018浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sinB_，c_.答案3解析由得sinBsinA，由a2b2c2
7、2bccosA，得c22c30，解得c3(舍去负值)三、模拟小题14(2019黄山一模)已知ABC的三边满足条件3，则A()A30 B45 C60 D120答案D解析3整理可得b2c2a2bc，由余弦定理可得cosA，A(0，180)，A120.故选D.15(2019赣州中学模拟)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a1，b.则SABC()A. B C D2答案C解析A，B，C依次成等差数列，B60，由余弦定理得b2a2c22accosB，得c2，SABCacsinB.故选C.16(2019广东化州市高三模拟)在ABC中，三个内角A，B，C所对的
8、边为a，b，c，若SABC2，ab6，2cosC，则c()A2 B4 C2 D3答案C解析1，即有2cosC1，可得C60，若SABC2，则absinC2，即有ab8，又ab6，由c2a2b22abcosC(ab)22abab(ab)23ab623812，解得c2.故选C.17(2019曲靖一中质量监测)在锐角ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，R是ABC的外接圆半径，且bacosCccosA2R，则B()A. B C D答案B解析由正弦定理，得2R，则a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，由bacosCccosA2R，得2RsinB2RsinAcosC2RsinCcosA
9、2R，即sinBsinAcosCsinCcosA，则sinBsin(AC)，即sinBsin(B)sinBsinB2sinB，则sinB，因为ABC是锐角三角形，所以B，故选B.18(2019长春二模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a，acosBbsinAc，则ABC的面积的最大值为_答案解析acosBbsinAc，由正弦定理得sinCsinAcosBsinBsinA，又ABC，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，由得sinAcosA，即tanA1，又A(0，)，A.a，由余弦定理可得2b2c22bccosAb2c2bc2bcbc(2)bc，可得bc2，当
10、且仅当bc时等号成立，ABC的面积SbcsinAbc(2)，当且仅当bc时，等号成立，即面积的最大值为.一、高考大题1(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinBsinC)2sin2AsinBsinC.(1)求A；(2)若ab2c，求sinC.解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cosA.因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sinAsin(120C)2sinC，即cosCsinC2sinC，可得cos(C60).因为0C0，所以cosB2sinB0，从而
11、cosB.因此sincosB.二、模拟大题4(2019湖北四地七校联考)如图，A，B，C，D四点共圆，A为钝角且sinA，BABC10，BD6.(1)求边AD的长；(2)设BDC，CBD，求sin(2)的值解(1)sinA，且A为钝角，cosA.在ABD中，由余弦定理得，AD2AB22ADABcosABD2，AD216AD800，解得AD4或AD20(舍去)，故AD4.(2)如图，连接AC，则BDCBACACBADB，CBDCAD，则2BCDCDABADCBA，即2422ABD，故2ABD，则2与ABD互补，于是sin(2)sinABD，在ABD中，由正弦定理，得sinABD.sin(2).5
12、(2019宁夏二模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角A；(2)若b，c4，点D在ABC内，且BD，BDCA，求BDC的面积解(1)，acosBccosAbcosA，由正弦定理，可得sinAcosBsinCcosAsinBcosA，可得sin(AB)sinCsinCcosA，sinC0，cosA，A(0，)，A.(2)A，b，c4，由余弦定理可得，BC ，BDCA，BDC，又BD，由余弦定理可得BC2BD2CD22BDCDcosBDC，即102CD22CD，可得CD22CD80，解得CD2或4(舍去)，SBDCBDCDsinBDC21.6(2019太原一模)如图，已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinA(ca)sinCbsinB，点D是AC的中点，DEAC，交AB于点E，且BC2，DE.(1)求角B的大小；(2)求ABC的面积解(1)asinA(ca)sinCbsinB，由，得a2c2acb2，由余弦定理，得cosB，0B，B.(2)连接CE，如图，D是AC的中点，DEAC，AECE，CEAE，AACE，在BCE中，由正弦定理，得，cosA，0A，A，ACB，BCEACBACE，BEC，CEAE，BE1，ABAEBE1，SABCABCE.
