1、学案25平面向量及其线性运算导学目标： 1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义自主梳理1向量的有关概念(1)向量的定义：既有_又有_的量叫做向量（2）表示方法：用 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，或用，表示(3)模：向量的_叫向量的模，记作_或_(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是_(5)单位向量：长度为_单位长度的向
2、量叫做单位向量与a平行的单位向量e_.(6)平行向量：方向_或_的_向量；平行向量又叫_，任一组平行向量都可以移到同一直线上规定：0与任一向量_(7)相等向量：长度_且方向_的向量2向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的 ，记作 ，即 =+= ，这种求向量和的方法叫做向量加法的 .（2）以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 . (3)加法运算律ab_ (交换律)；(ab)c_(结合律)3向量的减法及其几何意义(1)相反向量与a_、_的向量，
3、叫做a的相反向量，记作_(2)向量的减法定义aba_，即减去一个向量相当于加上这个向量的_如图，a，b，则 ，_.4向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，记作_，它的长度与方向规定如下：|a|_；当0时，a与a的方向_；当0时，a与a的方向_；当0时，a_.(2)运算律设，是两个实数，则(a)_.(结合律)()a_.(第一分配律)(ab)_.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量b与a (a0)共线的充要条件是存在唯一一个实数，使ba.5重要结论()G为ABC的_；0P为ABC的_自我检测1.（2010四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，16，|，|则
4、|等于 ()A8B4C2D12下列四个命题：对于实数m和向量a，b，恒有m(ab)mamb；对于实数m和向量a，b (mR)，若mamb，则ab；若mana (m，nR，a0)，则mn；若ab，bc，则ac，其中正确命题的个数为 ()A1B2C3D43.在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则等于 ()AabBabCabDab4.（2010湖北）已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m，成立，则m等于 ()A2B3C4D55.（2009安徽）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中、R，则_.探究点一平面向量的有关概念辨析例1有向线段就是向量，向量就是有向线段；向
5、量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；如果ab，bc，那么ac.以上命题中正确的个数为 ()A1B2C3D0变式迁移1下列命题中正确的有_(填写所有正确命题的序号)|a|b|ab；若ab，bc，则ac；|a|0a0；若A、B、C、D是不共线的四点，则四边形ABCD是平行四边形探究点二向量的线性运算例2（2011开封模拟）已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：()变式迁移2（2011深圳模拟）如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，ABDC，M、N分别是DC、AB的中点，已知a，b，c，试用a、b、c表示，.探究点三共
6、线向量问题例3 如图所示，平行四边形ABCD中，b，a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线.变式迁移3设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A、C、D三点共线；（2）如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值1.若点P为线段AB的中点，O为平面内的任意一点，则()如图所示2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线3三点共线的性质定理：（1）若平面上三点A、B、C共线，则.（2）若平面上三点A、B、C共线，O为不同于
7、A、B、C的任意一点，则，且1. (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ()A.D. 2.设a，b为不共线向量， a2b，4ab，5a3b，则下列关系式中正确的是 ()A.B.2C.D.23(2011杭州模拟)设a，b是任意的两个向量，R，给出下面四个结论：若a与b共线，则ba；若ba，则a与b共线；若ab，则a与b共线；当b0时，a与b共线的充要条件是有且只有一个实数1，使得a1b.其中正确的结论有 ()ABCD4.在ABC中，c，b，若点D满足2，则等于 ()A.bcB.cbC.bcD.bc5.（2010广东中山高三六校联
8、考）在ABC中，已知D是AB边上一点，2，则等于 （ ）A.B. C D题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6.（2009湖南）如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若xy，则x_，y_.7.已知a，b，则_.8. （2011青岛模拟）O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足()，时，则()的值为_三、解答题(共38分)9(12分)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上？10.(12分)在ABC中，BE与CD交于点P，且a，b，用a，b表示.11(14分)(2011黄山模拟)已知点G是A
9、BO的重心，M是AB边的中点（1）求；（2）若PQ过ABO的重心G，且，a，b，ma，nb，求证：3.答案 自主梳理1.（1）大小 方向 （2）有向线段 （3）长度 |a|(4)任意的(5)1个(6)相同相反非零共线向量平行(7)相等相同2.(1)和abab三角形法则(2)平行四边形法则(3)baa(bc)3.(1)长度相等方向相反a(2)(b)相反向量abab4.(1)a|a|相同相反0(2)()aaaab5.(1)重心(2)重心自我检测1.2C根据实数与向量积的运算可判断其正确；当m0时，mamb0，但a与b不一定相等，故错误；正确；由于向量相等具有传递性，故正确3.A 由3得433(ab
10、)，又ab，所以(ab)ab.4B由题目条件可知，M为ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则，因为AD为中线，2m，即2m，联立可得m3.5.解析 设a，b，那么ab，ab，又ab，()，即，.课堂活动区例1D不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；不正确，如果b0时，则a与c不一定平行所以应选D.变式迁移1解析模相同，方向不一定相同，故不正确；两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，正确；只有零向量的模才为0，
11、故正确；，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等故正确故应选.例2证明方法一如图所示，在四边形CDEF中，0.在四边形ABFE中，0.得()()()()0.E、F分别是AD、BC的中点，0，0.2，即()方法二取以A为起点的向量，应用三角形法则求证E为AD的中点，.F是BC的中点，（)又，（)（)（)（)即（)变式迁移2 解 例3解题导引(1)在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示，向量共线应存在实数使两向量能互相表示(2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线证明 在ABD中.因为a, b，所以ba.由共线向量定理知：，
12、又与有公共点C，M、N、C三点共线变式迁移3 （1）证明e1e2，3e12e2，8e12e2，e1e23e12e24e1e2（8e12e2) 与共线又与有公共点C，A、C、D三点共线（2）（e1e2)（2e13e2) 3e12e2，A、C、D三点共线，与共线从而存在实数使得即3e12e2(2e1ke2)由平面向量的基本定理得解之，得k的值为.课后练习区1B由减法的三角形法则知.3D题目考查两向量共线的充要条件，此定理应把握好两点：(1)与相乘的向量为非零向量，(2)存在且唯一故正确 5. 61解析作DFAB交AB的延长线于F，设ABAC1BCDE，DEB60，BD.由DBF45，得DFBF，所
13、以，所以（）.7.aba(ba)ab.80解析 由()，得（)，即点P为ABC中BC边的中点，0.()00.9解 设a，tb，(ab)，ab，(4分)tba.(6分)要使A、B、C三点共线，只需，即abtba，(8分)(11分)当t时，三向量终点在同一直线上(12分)10解取AE的三等分点M，使|AM|AE|，连结DM.设|AM|t，则|ME|2t.又|AE|AC|，|AC|12t，|EC|9t，(4分)DMBE，.|DP|DC|.(8分)()ab.(12分)11(1)解点G是ABO的重心，0.(2分)(2)证明M是AB边的中点，(ab)G是ABO的重心，(ab)P、G、Q三点共线，且有且只有一个实数,使.(5分)，(m)aba(n)b(8分)又因为a、b不共线，所以，(10分)消去，整理得3mnmn，故3.(14分)
