1、第五章 平面向量第1节 平面向量的概念、基本定理及坐标运算题型62 向量的概念及共线向量1. （2013辽宁文3）已知点，则与向量同方向的单位向量为（ ）.A. B. C. D. 1.解析 则与其同方向的单位向量.故选A.题型63 平面向量的线性运算1.（2013江苏10）设分别是的边上的点，若（为实数），则的值为 .1.分析 利用平面向量的加、减法的运算法则将用，表示出来，对照已知条件，求出，的值即可.解析 由题意，于是.故.2. （2013四川文12）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，则 . 2.分析 根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解.解析 由向量加法的平行四边法则
2、，得.又是的中点，所以，所以，所以.又，所以.3.（2014福建文10）设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内任意一点，则等于（ ）.A. B. C. D. 4.（2014新课标文6）设分别为的三边的中点，则（ ）.A. B. C. D. 5.（2014浙江文9）设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数，的最小值为（ ）. A若确定，则唯一确定 B若确定，则唯一确定 C若确定，则唯一确定 D若确定，则唯一确定6.（2017全国2文4）设非零向量，满足，则（ ）.A B. C. D. 6.解析 由平方得，即，则.故选A.7.（2017天津文14）在中，.若，且，则的值为 .7.解析 解
3、法一：如图所示，以向量，为平面向量的基底，则依题意可得.又因为，则.又因为，则，即得.解法二：以点为坐标原点，以所在直线为轴建立直角坐标系(如图所示).依题意易得，则可得，于是有，解得.题型64 向量共线的应用1.（2015北京文6）设，是非零向量，“”是“”的（ ）.A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件1.解析 由，若，则，即，因此.反之，若，并不一定推出，而是，原因在于：若，则或.所以“”是“”的充分而不必要条件.故选A.题型65 平面向量基本定理及应用1（2013广东文10）设是已知的平面向量且关于向量的分解，有如下四个命题：给定向量，
4、总存在向量，使； 给定向量和，总存在实数和，使；给定向量和正数，总存在单位向量，使.给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使.上述命题中的向量、和，在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数 A 1 B 2 C 3 D4 1.分析 利用向量的平行四边形法则或三角形法则、平面向量基本定理进行判断.解析 对于，若向量确定，因为是确定的，故总存在向量，满足，即，故正确；对于，因为和不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数，满足，故正确；对于，如果，则以为三边长可以构成一个三角形，如果和正数确定，则一定存在单位向量和实数满足，故正确；对于，如果给定的正数和不能满足“为三边长可以构成一个三角形”
5、这时单位向量和就不存在，故错误.故选C.2.（2016四川文9） 已知正的边长为，平面内的动点，满足，则的最大值是（ ）.A. B. C. D. 2. B解析 正三角形的对称中心为，易得，.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示.则.设，由已知，得.又，所以，所以.因此.它表示圆上的点与点距离平方的，所以.故选.题型66 向量的坐标运算1.（2014广东文3）已知向量，则（ ）.A. B. C. D. 2.（2014北京文3）已知向量，则（ ）.A. B. C. D.2. 解析 由知，所以.故选A.3.（2014湖南文10）在平面直角坐标系中，为原点，动点满足,则的取值范围是（ ）.A
6、. B.C. D.4.（2014陕西文18）（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，且.（1）若，求；（2）用表示，并求的最大值.5.（2015全国1文2） 已知点，向量，则向量（ ）.A. B. C. D. 5.解析 由题意可得，.故选A.6.（2015年湖南文9） 已知点，在圆上运动，且.若点的坐标为，则的最大值为（ ）.A. 6 B. 7 C. 8 D. 96.解析 解法一: 由题意，为直径，所以，当点为时，取得最大值.故选B.解法二 :由题意得，为圆的直径，故可设，所以，而，当且仅当“”时“”，取所以的最大值为.故选B.7.（2015年江苏6）已知向
7、量，若，则的值为 7.解析 由题意，从而，解得，故评注 也可以将用与线性表示，如题型67 向量平行（共线）的坐标表示1. (2013陕西文2）已知向量，若，则实数等于（ ）.A. B. C. 或 D. 1.解析 由.故选C.2.（2015四川文2）设向量与向量共线，则实数（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 62.解析 由向量平行的性质，得，解得.故选B.3.（2016全国甲文13）已知向量，向量，且，则_.3. 解析 因为，所以，解得.4.（2017山东文11）已知向量，若，则 .4.解析 由，得，解得.第2节 平面向量的数量积题型68 平面向量的数量积1. （2013湖北文7）已知
8、点，则向量在 方向上的投影为（ ）.A B C D 1.分析 首先求出的坐标，然后根据投影的定义进行计算.解析 由已知得，因此在方向上的投影为.故选A.2(2013福建文10）在四边形则该四边形的面积为（ ）.A B C D2.分析 先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直，再求面积.解析 因为，所以，所以.故选C.3. (2013湖南文8）已知是单位向量，.若向量满足 则的最大值为（ ）.A. B. C. D.3.分析 将所给向量式两边平方后利用向量数量积的运算律求解.解析 因为是单位向量，所以.又，所以，所以.所以.所以.所以.所以.所以.所以.所以.所以的最大值为.故选C.4. (201
9、3天津文12）在平行四边形中， ，为的中点.若， 则的长 为 .4.分析 用表示与，然后进行向量的数量积计算.解析 由已知得所以所以5.（2013浙江文17） 设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于_.5.分析 为了便于计算可先求的范围，再求的最值.解析 根据题意，得.因为，所以，所以.故的最大值为.6. (2013安徽文13）若非零向量满足，则与夹角的余弦值为 .6.解析 由两边平方，得所以.又所以.7. （2013山东文15）在平面直角坐标系中，已知，若 ，则实数的值为 7.分析 利用向量垂直的充要条件，列方程求解.解析 因为，所以，所以.又，所以.所以.8. (2013重庆文
10、14） 在为边，为对角线的矩形中， 则实数 .8.分析 画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解.解析 如图所示，由于，所以.在矩形中，由得，所以，即，解得.9.（2014大纲文6）已知为单位向量，其夹角为，则（ ）.A B0 C1 D210.（2014新课标文4）设向量满足，则（ ）.A. B. C. D. 11. （2014山东文7）已知向量. 若向量的夹角为，则实数（ ）. A. B. C. D. 12. （2014安徽文10）设为非零向量，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（ ）.A. B. C. D. 13. 分析 本题考查向量的数量
11、积的最值.解析 由如下三种可能： ； ； .易知，当时，此时，因此最小值为.当时， 得，此时，不满足题意，故舍去.综上所述，若最小值为，则与的夹角.故选B.14.（2014四川文10）已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）.A. B. C. D.15.（2014重庆文12）已知向量_.16.（2014江西文12）已知单位向量的夹角为，且，若向量，则 .17.（2014陕西文13）设，向量，若，则_.18.（2014四川文14）向量，且与的夹角等于与的夹角，则_.19（2014湖北文12）若向量， 则 .20.（2014江苏12）如图
12、所示，在平行四边形中，已知，则的值是 21. （2014天津文13）已知菱形的边长为，点，分别在边，上，.若，则的值为_.22.（2015全国2文4）向量,，则（ ）. A. B. C. D. 22.解析 由向量的坐标表示方法知，.故有.故选C.23.（2015福建文7）设向量，若，则实数的值等于（ ）.A B C D Z.xx.23.解析 由已知可得，因为，则，即，解得.故选A.24.（2015广东文9） 在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，则（ ）.A B C D 24.解析 因为四边形是平行四边形，由平行四边形法则可得，所以.故选A.评注 本题考查1.平面向量的加法运算；2.平面
13、向量数量积的坐标运算25.（2015重庆文7）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）.A. B. C. D. 25.解析 因为，所以，即，所以，所以与的夹角为故选C26.（2015陕西文8）对任意的平面向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）. A. B. C. D. 26.解析 因为，所以A选项正确；当与方向相反时，B选项不成立，所以B选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以C选项正确；，所以D选项正确.故选B.27.（2015年湖南文9） 已知点，在圆上运动，且.若点的坐标为，则的最大值为（ ）.A. 6 B. 7 C. 8 D. 927.解析 解法一: 由题意，为直径，所以，当点为时，取
14、得最大值.故选B.解法二 :由题意得，为圆的直径，故可设，所以，而，当且仅当“”时取“”，所以的最大值为.故选B.28.（2015安徽文15）是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的序号）.为单位向量；为单位向量；.28.解析 由题意作图，如图所示.因为等边三角形的边长为2，所以，得.故正确；因为，所以，得.故错误，正确；由，为等边三角形，可得与的夹角为.故错误；由.所以，故正确.综上可知，正确的编号是.评注 1. 考查平面向量的基本概念；2. 考查平面向量的性质.29.（2015湖北文11）.已知向量，则 .29 .解析 因为，所以即，.30.（20
15、15山东文13）过点作圆的两条切线，切点分别为则 .30.解析 根据题意，作出图形，如图所示.由平面几何知识，得.由切线长定理，得.在中，所以.可得.所以.31.（2015天津文13）在等腰梯形中，已知， ，点和点分别在线段和上，且， 则的值为 31.解析 在等腰梯形中，由，得， ，所以.32.（2015浙江文13） 已知，是平面单位向量，且若平面向量满足，则 32.解析 设，由，得，即.又，得，即，故.过点作直线，如图所示，因为，据平面向量数量积的几何意义知，在，上的投影均为，所以.故.33.（2016北京文9）已知向量，则与夹角的大小为_.33. 解析 由已知可得，.所以.34.（2016
16、全国丙文3）已知向量，则（ ）. A. B. C. D.34. A 解析 因为，所以.由，所以.故选A.35.（2016全国乙文13）设向量，且，则 .35. 解析 由题意，解得.36. （2016山东文13）已知向量，.若，则实数的值为_.36. 解析 由题意可得，解得.37.（2016天津文7）已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）.A. B. C. D.37.B 解析 由题意作图，如图所示.则.故选B.38.（2016上海文12）如图所示，已知，是曲线上一个动点，则的取值范围是 .38.解析 由题意设，故，由线性规划的有关知识知.故填.评注
17、 也可以设，则，.利用三角有关知识求解.39.（2016浙江文15）已知平面向量，.若为平面单位向量，则的最大值是_.39.解析 由已知得，所以.不妨取，设，则，取等号时与同号.所以（其中，取为锐角）.显然.易知当时，取最大值1，此时为锐角，同为正，因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为.40.（2016江苏13）如图所示，在中，是的中点，是上两个三等分点，则的值是 .40. 解析 解法一（基底法）：令，则，则，故，因此，.故.解法二（建系法）：可以考虑以为原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，则，.则，.由题意，因此，故.评注 特别地，可以假定，建立特
18、殊的直角坐标系.这类问题以前也遇到过，比如下面一题.在平面四边形中，点，分别是边，的中点，且，.若，则 .解析 解法一（配凑）：由题意得，从而，平方整理得.（或）.故.故填.解法二：（建系）建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，从而，.由题意，从而，即通过，求解，得，即，而即为，得，即.故填.可见，强制建系归根结底转化为恰当的代数（强烈的目标意识）处理，而合理的建系会对运算起到简化作用.41.（2017全国1文13）已知向量，.若向量与垂直.则 .解析 由题得，因为与，所以，解得.42.（2017全国3文13）已知向量，且，则 .解析 因为，所以，即，解得.评注 考查向量的坐标运算，属于基础题
19、型，公式套用即可，没有难度.43.（2017浙江10）如图所示，已知平面四边形，与交于点，记 ，则（ ）.A BC D 43.解析 如图所示，动态研究问题:，此时有，且，故.44.（2017浙江15）已知向量，满足，则的最小值是 ，最大值是 .44.解析 解法一：如图所示，和是以为邻边的平行四边形的两条对角线，则，是以为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形，平行四边形所以易知当，B，C三点共线时，最小，此时；当时，最大，此时 解法二:(是向量，的夹角).所以当时，取得最小值4；当时，取得最大值.45.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量，的模分别为，与的夹角为，且，与的夹角为若， 则 45.解析 解法一：由题意 （*）而由，得，将（*）式化简为 式加式，得故填解法二（坐标法）：如图所示，以所在的直线为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得，由，得，即，解得，故故填解法三（解三角形）：由，可得，如图所示，根据向量的分解，易得，即，即，解得，所以题型69 向量与三角形四心暂无
