1、3.2简单的三角恒等变换(二)【题型示范】类型一 和角、差角、倍角、半角公式综合应用【典例1】(1)等于()Asin Bcos Csin Dcos(2)(2013上海高考)若cos xcos y+sin xsin y=sin 2x+sin 2y=则sin(x+y)=_.(3)已知与均为锐角，求【解题探究】1.题(1)中，首先要用什么公式化简？应该统一为哪个角的三角函数？2.题(2)中，已知条件和所求结论涉及哪几个角？这些角有什么关系？3.题(3)中，角，+，有什么关系？要求可先求什么？【探究提示】1.首先要用诱导公式化简.应该统一为角的三角函数.2.涉及x+y，xy，2x，2y四个角.2x=x
2、+y+xy，2y=（x+y）（xy）.3.=(+)-，要求可先求cos.【自主解答】(1)选D.原式(2)cos(xy)=sin 2x+sin 2y=2sin(x+y)cos(xy)=故sin(x+y)=答案：(3)因为0所以cos=又因为00所以0+若0+因为sin(+)sin，所以+不可能故+所以cos(+)=所以cos=cos(+)=cos(+)cos+sin(+)sin=因为0所以故【方法技巧】三角恒等变换的三个步骤【变式训练】已知【解析】因为所以【补偿训练】cos2(15)sin2(15)sin(180)cos(180)=_【解析】原式答案：1类型二 与三角函数性质有关的问题【典例2
3、】(1)函数y=sin xcos x的最小正周期是()A.1 B.2 C.D.2(2)(2014汕头高一检测)将函数y=cos 2x的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是()A.y=sin 2x B.y=cos 2xC.y=2sin 2x D.y=2cos 2x(3)(2014吉林高一检测)已知函数f(x)=asinxcosx求函数的单调递减区间；设x f(x)的最小值是-2，最大值是求实数a，b的值【解题探究】1.题(1)中，形如y=Asin(x+)的函数的最小正周期是什么？2.题(2)中，函数f(x)向左平移个单位后得到的函数是什么？3.题(3)中，
4、为了求已知函数的单调递减区间和最大、小值，首先要将函数化为何种形式？【探究提示】1.形如y=Asin(x+)的函数的最小正周期是2.函数f(x)向左平移个单位后得到3.首先要将已知函数化为y=Asin(x+)+m的形式.【自主解答】(1)选A.因为函数故函数的最小正周期为(2)选C.y=cos 2x的图象向左平移个单位长度得到函数再向上平移1个单位长度得到(3)由解得故函数的单调递减区间为因为x所以所以又因为a0，所以f(x)min=解得 a=2，【延伸探究】题(3)中，若a0，其他条件不变，试求函数的单调递减区间.【解析】由(3)的求解过程得kZ，解得故函数的单调递减区间为【方法技巧】运用公
5、式解决三角函数综合问题的思路【变式训练】1.(2014北京高考)设函数f(x)=Asin(x+)(A,是常数，A0,0).若f(x)在区间上具有单调性，且则f(x)的最小正周期为_.【解题指南】利用求出对称轴与对称中心，再求最小正周期.【解析】由可知，图象关于对称，由知，图象关于对称.又因为f(x)在区间上具有单调性，所以最小正周期为答案：2.(2013新课标全国卷)设当x=时，函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值，则cos=_.【解题指南】利用辅助角公式f(x)=asin x+bcos x (其中tan=)构造求解cos 的值.【解析】f(x)=sin x-2cos x=sin(
6、x+)，其中tan=-2，当x+=2k+(kZ)时，函数f(x)取得最大值，即=2k+-(kZ).所以cos=cos(-)=sin，又因为tan=-2，在第四象限，所以sin=即cos=答案：【补偿训练】已知函数 f(x)=sin2x+2sin xcos x+3cos2x(1)求函数f(x)图象的对称中心的坐标.(2)求函数f(x)的最大值，并求函数f(x)取得最大值时x的值.(3)求函数f(x)的单调递增区间【解析】(1)f（x）=由所以函数f（x）的图象对称中心的坐标是(2)当时，函数f（x）取得最大值所以函数f（x）取得最大值时x的集合是(3)由得所以函数f（x）的单调递增区间是类型三
7、三角函数的实际应用【典例3】(1)(2014泰州高一检测)已知直线与函数f(x)=cos x，g(x)=sin 2x和h(x)=sin x的图象及x轴依次交于点P，M，N，Q，则PN2+MQ2的最小值为_(2)(2014南平高一检测)直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为将线段AB的长度l表示为的函数；一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由.(铁棒的粗细忽略不计)【解题探究】1.题(1)中，线段PN和MQ的长度分别如何用关于x的函数表示？2.题(2)中，AB的长度l可分成哪两段
8、分别用表示？判断铁棒能否水平通过该直角走廊需要比较哪两个量的大小？【探究提示】1.结合图形可知PN=cos x-sin x，MQ=sin 2x.2.长度l可分成PA，PB两段分别用表示.判断铁棒能否水平通过该直角走廊需要比较铁棒长度与AB长度的最小值.【自主解答】(1)如图所示，则PN2+MQ2=(cos x-sin x)2+sin 22x=sin 22x-sin 2x+1=因此当sin 2x=时，PN2+MQ2的最小值为答案：(2)由题意可知：其中0设t=sin+cos=因为0所以所以所以因为上是增函数，所以的最大值为所以的最小值为因为所以长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊.【方法技巧】应
9、用三角函数解决实际问题的步骤三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下：(1)审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式.(2)利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为y=Asin(x+)+b的形式.(3)在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.【变式训练】点P在直径AB=1的半圆上移动，过P作圆的切线PT，且PT=1，PAB=，问为何值时，四边形ABTP的面积最大？【解题指南】首先根据题意画出图形，然后根据圆的几何性质和四边形面积的求法，将四边形的面积表示为三角函数的形式，最后利用三角函数的性质解决.【解析】如图，因为AB为直径，所以APB=90，PA
10、=cos，PB=sin.又PT切圆于P点，所以TPB=PAB=，所以S四边形ABTP=SPAB+STPB=PAPB+PTPBsin=sin cos+sin 2因为0所以所以当即当时，四边形ABTP的面积最大，最大值为【补偿训练】(2013中山高一检测)如图所示的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形接成的一个大正方形(如图)如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos 2的值等于_【解析】设直角三角形的两直角边长分别为a，b，则有所以ab12.又a2b225，即直角三角形的斜边c5.解方程组得或所以cos 所以
11、cos 22cos21答案：【规范解答】利用三角恒等变换解决三角函数性质问题【典例】(12分)(2013北京高考)已知函数f(x)=(2cos2 x-1)sin 2x+cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值.(2)若且求的值.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升失分点1：解题时，若对二倍角公式、两角和的正弦公式记忆不准，或应用不够灵活，则无法推出的函数表达式，则此例不得分.失分点2：解题时，若无法利用正弦函数的性质得到函数何时取得最大值，则无法列出处的等量关系式，此例至少扣3分.失分点3：解题时，若忽视处的所求角的取值范围，则无法求出角，此例最多得11
12、分.【悟题】提措施，导方向1.记准公式有目标地进行变形三角恒等变换通常要与三角函数的图象和性质结合命题.解答此类问题的首要任务是正确利用公式将已知函数表达式变形为熟悉的函数类型.如本例中，函数最终化为2.掌握有关函数的图象和性质并熟练应用要熟练掌握形如y=Asin(x+)+b，y=Acos（x+）+b,y=Atan(x+)+b的函数的周期性、最值、奇偶性、单调性及图象的对称性.如本例中，求函数的最小正周期和最大值.3解三角方程时注意角的范围解三角方程时要特别注意角的范围对运算结果的影响，如本例中，由于所以k=1，【类题试解】(2014衡水高一检测)已知函数(1)求f（x）在0,2上的单调递增区间.(2)设函数g（x）=（1+sin x）f（x），求g（x）的值域.【解析】(1)因为函数y=sin x的单调递增区间是所以f（x）在0,2上的单调递增区间为(2)由(1)可得，g(x)=2(1+sin x)sin x=2sin 2x+2sin x，设t=sin x，当xR时，t1,1，则由二次函数的单调性可知，又因为h(1)=0，h(1)=4，所以h(t)max=4，则函数g(x)的值域为
