1、江西省南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高一数学5月复学考试试题 理（含解析）一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1. 若，则下列不等式不能成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对A，根据不等式基本性质判断；对B，根据二次函数单调性判断；对C，根据指数函数单调性判断；对D，结合特殊值法，逐项验证，即可求得答案.【详解】对A，可得：，故：，即，故A成立对B，在上单调递减函数当，可得，故B成立对C，根据指数函数，在定义内是减函数，故C成立对D，当，是满足，此时，故D不成立.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正确，解题关键是掌握不
2、等式基本性质和根据函数单调性判断不等式大小的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2. 在数列1，2，中，是这个数列的A. 第16项B. 第24项C. 第26项D. 第28项【答案】C【解析】 数列可化为 ， 所以， 所以，解得，所以是这个数列的第项，故选C3. 在中，角的对边分别为，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对利用正弦定理可得：，整理可得：，问题得解.【详解】因为在中，角的对边分别为，所以由正弦定理得：，所以，因为，所以，又，所以，故选：B.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，还考查了两角和的正弦公式，属于中档题.4. 在数列中，则的值为（
3、 ）A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】【分析】列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得的值.【详解】依题意，故数列是周期为的周期数列，故，故选A.【点睛】本小题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题.5. 不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据分式不等式的解法，求得不等式的解集，即可求得答案.【详解】变形可得：，即可得：或故：不等式的解集是：故选：D.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，解题关键是掌握将分数不等式转化为一元二次不等式解法，属于基础题.6. 下图是某省从1月21日至2月24
4、日新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该省从1月21日至2月24日新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列，的前n项和为，则下列说法中正确的是（ ）A. 数列是递增数列B. 数列是递增数列C. 数列的最大项是D. 数列的最大项是【答案】C【解析】【分析】根据数列的性质及每日新增确诊病例变化曲线图中的数据对各个选项进行判断，可得答案.【详解】因1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即，所以不是递增数列，所以选项A错误;因为2月23日新增确诊病例数为0，所以，所以数列不是递增数列，所以选项B错误;因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列的最
5、大项是，所以选项C正确;数列的最大项是最后项，所以选项D错误，故选：C.【点睛】本题主要考查折线图与数列的性质、数列前项的和等知识，注意灵活分析图中数据进行判断.7. 若满足约束条件，则的最小值为（ ）A. 2B. C. 8D. 1【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的可行域，当目标函数经过点时，取得最小值，求解即可.【详解】作出不等式组对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为，联立，可求得点，当目标函数经过点时，取得最小值.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想的应用，属于基础题.8. 已知在中，内角、所对的边分别为、，若此三角形有且只有一个，则的取值范围是（
6、）A. B. C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】作出图形，根据题意得出或，进而可得出的取值范围.【详解】在中，若此三角形有且只有一个，则或，因此，或.故选：C.【点睛】本题考查利用三角形解的个数求边长的取值范围，考查计算能力，属于基础题.9. 已知数列和均为等差数列，其前项和分别为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】，根据等差数列的前项和公式转化为，即可求解.【详解】由，得，而.故选：B.【点睛】本题考查等差数列前项和以及等差数列性质的应用，考查计算求解能力，属于中档题.10. 若、满足约束条件，目标函数取得最大值时的最优解仅为，则的取值范围为（ ）A. B.
7、 C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出满足条件的可行域，根据目标函数仅为取得最大值，结合图象即可确定的取值范围.【详解】画出满足的可行域，如下图阴影部分，而的坐标为的解，目标函数取得最大值时的最优解仅为，根据图象可得.故选：A.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合确定目标函数取最值时，参数的范围，属于中档题.11. 设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，给出下列结论：；的值是中最大的；使成立的最大自然数等于198其中正确的结论是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出正确利用等比数列的性质及不等式
8、的性质判断出正确利用等比数列的性质判断出错误利用等比数列的性质判断出正确，从而得出结论【详解】解：，又，且，即正确；，即，故错误；由于，而，故有，故错误；中，故正确正确的为，故选：【点睛】本题考查的知识点是等比数列的性质：若则有其中根据已知条件得到，是解答本题的关键，属于中档题12. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（ ）A. B. 2C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】结合面积公式，可得出，由余弦定理得出，再用正弦定理化边为角，得出，把所求式子用角表示，并求出角范围，最后用基本不等式求最值.【详解】因为，即，所以，因为，所以，由余弦定理，可得，再由正弦定理得，因为，所
9、以，所以或，得或（舍去）.因为是锐角三角形，所以，得，即，所以，当且仅当，取等号.故选:A【点睛】本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题.二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13. 在等比数列中，若，则的值为 _.【答案】2【解析】【分析】利用等比数列的性质：当时，特别地时，整理得解【详解】因为，又=32，所以，故【点睛】本题利用等比数列的性质：当时，特别地时，套用性质得解14. 在中，角所对的边为，若，且边，则边_.【答案】或【解析】【分析】根据余弦定理代值求解即可得出答案.【详解】依题在中有， ，根据余弦定理有,所以，即，所以或.故答案为
10、：或【点睛】本题主要考查余弦定理相关的简单计算，属基础题.15. 已知正数，满足，则的最小值是_【答案】10【解析】【分析】将已知等式化为，所求式子化为，利用基本不等式即可求解.【详解】，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：10【点睛】本题考查基本不等式求最值，注意要满足的条件，拼凑和或积为定值是解题的关键，属于中档题.16. 设为数列的前项和，则_【答案】【解析】【分析】根据已知条件，当时，求出，当时，并对奇、偶数分类讨论求出，进而求出，即可求出结论.【详解】当时，；当时，即，若为偶数，则（为奇数，也满足），；若为奇数，则，故（是偶数），所以.故答案为：【点睛】本题考查数列前项和与通项公式关
11、系以及等比数列的前项和，考查分类讨论思想和直观想象、数学计算能力，属于中档题.三、解答题（6大题，分）17. 在等差数列中，（）求数列的通项公式；（）设的前项和为，若，求【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）根据题设条件列出的方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；（）利用等差数列的求和公式，求得，再偶，即可求解.【详解】（）设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以数列的通项公式为.（）由（）知，可得数列的前n项和为，令，即，解得.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了方
12、程思想，以及运算能力.18. 已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求解集；（2）若，解不等式的解集.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意得，然后求解即可（2）由题意得，）时，不等式，然后，分类讨论即可【详解】（1）.不等式的解集为，的解集为.（2）时，不等式，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时时，不等式的解集为.【点睛】本题考查不等式的求解应用，属于基础题19. 已知数列满足，且，（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和记为，证明：【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知可得当时，化简可得，即可
13、求得答案；（2）由（1）知，可得：，故，根据裂项求和法，即可求得答案.【详解】（1）由已知可得当时，两边取倒数得，即， 数列是首项为，公差为3的等差数列，其通项公式为， 数列通项公式为（2）由（1）知，可得：故 ， 【点睛】本题主要考查了求数列的通项公式和数列求和问题，解题关键是掌握等差数列通项公式和裂项求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20. 某工厂家具车间造、型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张、型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张、型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张、型桌子分别获利润2
14、千元和3千元.(1)列出满足生产条件的数学关系式，并在坐标系中画出可行域； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)见解析；(2) 每天应生产型桌子2张，型桌子3张才能获得最大利润1万3千元.【解析】【分析】先设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，利润总额为z千元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=2x+3y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可【详解】(1)设每天生产型桌子张，型桌子张，则，作出可行域如图阴影所示：(2)设目标函数为：把直线向右上方平移至的位置时，直线经过可行域上点，且与原点距离最大，此时取最大值.
15、解方程得的坐标为.取最大值为13千元.即为1万3千元，答：每天应生产型桌子2张，型桌子3张才能获得最大利润1万3千元.【点睛】本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解属中档题21. 如图，在平面四边形ABCD中，(1)若，求ABC的面积；(2)若，求AC【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出的值，再由面积公式得到求得ABC的面积；（2）设在中利用正弦定理得，在中利用正弦定理得，从而得到关于的方程，求出后，代入的表达式，即可得答案.【详解】（1），由余弦定理可得，或（舍去），.（2）设则，在中，即在中
16、，即，由，解得：，又，.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，在第（2）问求解时，关键是设出角，然后利用正弦定理寻找等量关系，从而得到关于的方程，是对函数与方程思想的深入考查.22. 已知正项数列的前项和为，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，它的前项和为，（）求；（）若存在正整数，使不等式成立，求实数的取值范围【答案】（1），；（2）（）；（ii）或【解析】【分析】（1）根据已知，当时，求出，当是，利用，得到数列的递推关系，进而证明数列是等差数列，即可求出结论；（2）（）由数列通项公式的特征，用错位相减法求出；（）对分为奇数、偶数讨论，分离参数转化为存在正整数，使得或，求出最值，即可得出结论.【详解】（1），当时，或（舍去）当时，由，得，两式相减得：，即，又数列为正项数列，故，也即，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，（2）（），则，可得：，故（）即不等式成立，若为偶数，则，所以，设，则在单调递减，故当时，所以；若为奇数，则，所以设，则在单调递增，故当时，所以，综上所述，的取值范围或【点睛】本题考查数列的前项和求通项公式、错位相减法求数列的和，利用函数思想求数列的最大值和最小值，考查逻辑分析、数学计算能力，属于中档题.- 20 -
