1、第四节 椭圆与相关曲线位置关系问题 备考方向明确 方向比努力更重要 复习目标学法指导1.椭圆与圆相关问题.2.椭圆与双曲线相关问题.3.与椭圆有关的定值定点及证明问题.本节课知识点是解析几何学习的重点,考查时一般分2至3个层次:一是以考查基本概念、基本性质为主的客观题,属容易题;二是以综合考查轨迹问题、各种曲线之间位置关系为主的中档题,多以大题形式出现,三是综合应用与平面向量、三角函数、不等式、导数、数列等知识相关的中高档题.知识链条完善 把散落的知识连起来 温故知新 1.已知椭圆 C:22xa+22yb=1(ab0)的离心率为32,双曲线 x2-y2=1 的渐近线与椭圆 C有四个交点,以这四
2、个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为()D (A)28x+22y=1(B)212x+26y=1(C)216x+24y=1(D)220 x+25y=1 解析:法一 因为椭圆的离心率为32,所以 e=ca=32,c2=34a2=a2-b2,所以 b2=14a2,即 a2=4b2.双曲线的渐近线为 y=x,代入椭圆得22xa+22yb=1,即224xb+22xb=2254xb=1,所以x2=45b2,x=25b,所以 y=25b,则在第一象限的交点坐标为(25b,25b),所以四边形的面积为 4 25b 25b=165b2=16,所以 b2=5,所以椭圆方程为220 x+25y=
3、1.法二 因为椭圆的离心率为32,所以 e=ca=32,即 c2=34a2=a2-b2,所以 a2=4b2.双曲线的渐近线为 y=x,由椭圆的对称性及双曲线渐近线方程知该四边形为正方形,设第一象限交点为(x,x),则 4x2=16,所以 x=2.把(2,2)代入224xb+22yb=1,得 b2=5,故椭圆方程为220 x+25y=1.D 2.动点 P 为椭圆22xa+22yb=1(ab0)上异于椭圆顶点 A(a,0),B(-a,0)的一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,动圆M与线段F1P,F1F2的延长线及线段PF2相切,则圆心 M 的轨迹为除去坐标轴上的点的()(A)抛物线 (B)椭圆(C)
4、双曲线的右支 (D)一条直线 解析:如图,设切点分别为E,D,G,由切线长相等可得|F1E|=|F1G|,|F2D|=|F2G|,|PD|=|PE|.由椭圆的定义可得|F1P|+|PF2|=|F1P|+|PD|+|DF2|=|F1E|+|DF2|=2a,即|F1E|+|GF2|=2a,也即|F1G|+|GF2|=2a,故点G与点A重合,所以点M的横坐标是x=a,即点M的轨迹是一条直线(除去A点),故选D.3.已知椭圆225x+29y=1,过椭圆右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,交 y 轴于 P 点.设 PA=1 AF,PB=2 BF,则 1+2 等于()B(A)-925(B)-5
5、09(C)509(D)925 解析:由题意 a=5,b=3,c=4,所以 F 点坐标为(4,0).设直线 l 方程为 y=k(x-4),A 点坐标为(x1,y1),B 点坐标为(x2,y2),得 P 点坐标(0,-4k),因为 PA=1 AF,所以(x1,y1+4k)=1(4-x1,-y1),因为 PB=2 BF,所以(x2,y2+4k)=2(4-x2,-y2).得到1=114xx,2=224xx,直线方程代入椭圆方程225x+29y=1 中,得到(9+25k2)x2-200k2x+400k2-225=0,所以 x1+x2=22200925kk,x1x2=22400225925kk,所以1+2
6、=114xx+224xx=121212124()2164()xxx xxxx x=-509.4.设 F1,F2是椭圆225x+216y=1 的两个焦点,P 是椭圆上的动点(不能重合于长轴的两端点),I 是PF1F2的内心,直线 PI 交 x 轴于点 D,则 PIID=.解析:因为 I 是PF1F2的内心,直线 PI 交 x 轴于点 D,则 PD 即为角平分线,则利用点 I 到角的两边距离相等求解.设点 P(x0,y0)(y00),PF1F2的内切圆半径为 r,1 2PFFS=12|F1F2|y0|=12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r 于是 122c|y0|=12(2a+2c)r,又
7、 a=5,c=3,|y0|0,则 r=38|y0|,从而 I 点纵坐标为 38y0,因此得到 PIID=53.答案:53 高频考点突破 在训练中掌握方法 考点一 椭圆与圆的相关问题【例1】如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1:22xa+22yb=1(ab0)的一个顶点,C1的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1交圆 C2于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1于另一点 D.解:(1)由题意得1,2,ba 所以椭圆 C1的方程为24x+y2=1.(1)求椭圆C1的方程;解:(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意
8、知直线 l1的斜率存在,不妨设其为 k,则直线 l1的方程为 y=kx-1.又圆 C2:x2+y2=4,故点 O 到直线 l1的距离 d=211k,所以|AB|=224d=222431kk.又 l2l1,故直线 l2的方程为 x+ky+k=0.由220,44,xkykxy消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故 x0=-284kk.(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程.所以|PD|=22814kk.设ABD 的面积为 S,则 S=12|AB|PD|=228 434kk,所以S=2232134343kk22321324343kk=16 1313,当且仅当 k=102时取等号.所以所
9、求直线 l1的方程为 y=102x-1.反思归纳 (1)椭圆与圆相关的问题,在解题时应从三个方面去考虑,一是与圆相关的位置关系及数量关系,运用与圆相关的知识进行转化;二是与椭圆相关的位置关系及数量关系,运用与椭圆相关的知识进行转化;三是分清圆的问题与椭圆的问题的相互联系,即抓准问题的联结点.(2)几何方法与代数方法应结合应用.以方便、快捷简化运算作为选用标准.迁移训练 已知 F1,F2为椭圆 C1:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点,F2在以 Q(2,1)为圆心,1为半径的圆 C2上,且|QF1|+|QF2|=2a.解:(1)圆 C2的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,F2(c,
10、0)在圆 C2上得 c=2,即 a2-b2=2,且 F2(2,0),F1(-2,0)又|QF1|+|QF2|=3+1=2a,所以 a=2,b2=a2-c2=2,所以椭圆 C1的方程为24x+22y=1.(1)求椭圆C1的方程;解:(2)当 l1平行 x 轴的时候,l2与圆 C2无公共点,从而MAB 不存在;可以设 l1:x=t(y-1),则 l2:tx+y-1=0.由221,42(1)xyxt y 消去 x 得(t2+2)y2-2t2y+t2-4=0,则|AB|=21 t|y1-y2|=2222(1)(28)2ttt.(2)过点P(0,1)的直线l1交椭圆C1于A,B两点,过P与l1垂直的直线
11、l2交圆C2于C,D两点,M为线段CD中点,求MAB面积的取值范围.又圆心 Q(2,1)到 l2的距离 d1=221tt1 得 t2b0),由题意知,点(-2,0)一定在椭圆上,则点(2,22)也在椭圆上,分别将其代入,得22241,211,2aab解得221,1,ab所以 C1的标准方程为24x+y2=1.设 C2:x2=2py(p0),依题意知,点(4,8)在抛物线上,代入抛物线 C2的方程,得 p=1,所以C2的标准方程为 x2=2y.(1)求C1,C2的标准方程;解:(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(t,12t2),由 y=12x2知 y=x,故直线 AB 的方程为 y
12、-12t2=t(x-t),即 y=tx-12t2,代入方程24x+y2=1,整理得(1+4t2)x2-4t3x+t4-4=0,则=16t6-4(1+4t2)(t4-4)=4(-t4+16t2+4)0,x1+x2=32414tt,x1x2=42414tt,所以|AB|=21 t 6422222164(4)(14)(14)(14)ttttt=24222 116414tttt,(2)已知定点 C(0,18),P 为抛物线 C2上一动点,过点 P 作抛物线 C2的切线交椭圆 C1于A,B 两点,求ABC 面积的最大值.设点 C(0,18)到直线 AB 的距离为 d,则 d=2211821tt=2214
13、8 1tt,所以 SABC=12|AB|d=1224222 116414tttt22148 1tt=4211648tt=221(8)688t1688=174,当且仅当 t=22 时,取等号,此时满足0.综上,ABC 面积的最大值为174.反思归纳 椭圆与双曲线的相关问题的处理思路,与椭圆与圆的问题处理思路一致,涉及的曲线无非是一种给出已知条件的一种方式,解题时应分别在椭圆和双曲线中考虑把各自的位置关系、等量关系转化为点的坐标或代数式子,然后再根据两方面的联系进行解题.迁移训练 已知 F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且F1PF2=3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的
14、最大值为()A (A)4 33(B)2 33(C)3(D)2 解析:假定焦点在 x 轴上,点 P 在第一象限,F1,F2分别为左、右焦点.设椭圆的方程为22xa+22yb=1(ab0),双曲线的方程为22xm-22yn=1(m0,n0),它们的离心率分别为 e1,e2,则|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,在PF1F2中,4c2=(a+m)2+(a-m)2-2(a+m)(a-m)cos 3a2+3m2=4c2(ac)2+3(mc)2=4,设椭圆双曲线离心率的倒数分别为 s,t,令 s+t=p,则 s2+3t2=4,得 4t2-2pt+p2-4=0,由=4p2-16(p2-4)0 得-4 3
15、3p 4 33,则 p 的最大值为 4 33.故选 A.思路点拨:(1)设过 C(-1,0)的直线方程为 y=k(x+1),利用待定系数法求 k;考点三 椭圆中探索性问题(1)若线段 AB 中点的横坐标是-12,求直线 AB 的方程;【例3】已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.解:(1)法一 依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1),将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5,消去 y 整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 4222122364(31)(35
16、)6,31kkkkxk 0，x由线段 AB 中点的横坐标是-12,得122xx=-22331kk =-12,解得 k=33,适合,所以直线 AB 的方程为 x-3 y+1=0 或 x+3 y+1=0.法二 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点为(-12,y0),直线 AB 斜率为 k,由 A,B 两点在椭圆上,所以2211222235,35,xyxy(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0,所以-1+32y0k=0,(*)又直线过(-1,0),所以 k=0112y=2y0,代入(*)得 k2=13.所以 k=33.所以直线 AB 的方程为 x-3 y+1=
17、0 或 x+3 y+1=0.(2)在 x 轴上是否存在点 M,使 MA MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.思路点拨:(2)从假设存在点 M(m,0)出发,去求 MA MB.若能找到一个 m值使 MA MB 为常数,即假设正确,否则不正确.解:(2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0),使 MA MB 为常数.()当直线 AB 与 x 轴不垂直时,由(1)知 x1+x2=-22631kk,x1x2=223531kk,所以 MA MB=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+
18、x2)+k2+m2,将代入,整理得 MA MB=22(61)531mkk+m2=22114(2)(31)23331mkmk+m2=m2+2m-13-26143(31)mk.注意到 MA MB 是与 k 无关的常数,从而有 6m+14=0,m=-73,此时 MA MB=49.()当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A,B 的坐标分别为(-1,23),(-1,-23),当 m=-73时,也有 MA MB=49.综上,在 x 轴上存在点 M(-73,0),使 MA MB 为常数.反思归纳 所谓存在性问题,就是判断满足某个(某些)条件的点、直线、曲线(或参数)等元素是否存在的问题.这类问题通常以开
19、放性的设问方式给出,若存在符合条件的几何元素或参数值,就求出这些几何元素或参数值,若不存在,则要求说明理由.求解存在性问题时,通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在,然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算,若不出现矛盾,并且得到了相应的几何元素或参数值,就说明满足条件的几何元素或参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾,则说明满足条件的几何元素或参数值不存在,同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.解决存在性问题应注意以下几点:当条件和结论不唯一时要分类讨论;当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放
20、,采取另外的途径.迁移训练 已知点P是圆F1:(x-1)2+y2=8上任意一点,点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线分别与PF1,PF2交于M,N两点.(1)求点M的轨迹C的方程;解:(1)由题意得|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|F1P|=22,|F1F2|=2,所以点 M 的轨迹 C 为以 F1,F2为焦点的椭圆,因为 2a=22,2c=2,所以点 M 的轨迹 C 的方程为22x+y2=1.(2)过点 G(0,13)的动直线 l 与点 M 的轨迹 C 交于 A,B 两点,在 y 轴上是否存在定点Q,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,
21、请说明理由.解:(2)直线 l 的方程可设为 y=kx+13,设 A(x1,y1),B(x2,y2).联立221,31,2ykxxy可得 9(1+2k2)x2+12kx-16=0.由求根公式化简整理得 x1+x2=-243(12)kk,x1x2=-2169(12)k,假设在 y轴上存在定点 Q(0,m),使以 AB 为直径的圆恒过这个点,所以 AQ BQ,即 AQ BQ=0.因为 AQ=(-x1,m-y1),BQ=(-x2,m-y2),AQ BQ=x1x2+(m-y1)(m-y2)=x1x2+(m-kx1-13)(m-kx2-13)=(1+k2)x1x2+k(13-m)(x1+x2)+m2-2
22、3m+19=-2216(1)9(12)kk-22112()39(12)kmk+m2-23m+19=2222(1818)(9615)9(12)mkmmk=0.所以2218180,96150,mmm求得 m=-1.因此,在 y 轴上存在定点 Q(0,-1),使以 AB 为直径的圆恒过这个点.解题规范夯实 在平凡的事情上精益求精 存在性问题【例题】已知椭圆 M:22xa+22yb=1(ab0)的长轴长为 42,且与椭圆22x+24y=1 有相同的离心率.(1)求椭圆M的方程;解:(1)椭圆的长轴长为 42,故 a=22,又与椭圆22x+24y=1 有相同的离心率e=22,故 c=2,b=2.所以椭圆
23、 M 的方程为28x+24y=1.(2)是否存在圆心在原点的圆 C,使得该圆的任意一条切线 l 与 M 有两个交点 A,B,且OA OB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在,说明理由.解:(2)存在.若 l 的斜率存在,设 l:y=kx+m,因 l 与圆 C 相切,故 r=21mk,即 m2=r2(1+k2).又将直线 l 方程代入椭圆 M 的方程得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得 x1+x2=2412kmk,x1x2=222812mk,由 OA OB=0 得到 x1x2+y1y2=(1+k2)222812
24、mk+km2412kmk+m2=0,化简得 3m2=8+8k2,联立得 r2=83.当 l 斜率不存在时,不妨设 l 为 x=r,得 A(r,242r),B(r,-242r)由 OA OB=r2-4+22r=0,得 r2=83,综上所述,存在圆 C:x2+y2=83,当 l 的斜率存在时,|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=3234224451144kkkk=323(1+224144kkk)=323(1+221144kk)(323,12 (k0).当 k=0 时,|AB|2=323,所以|AB|4 63,23,又当 k 不存在时,|AB|=4 63,故|AB|的取值范围为 4
25、 63,23.解题规范 规范要求:解决存在性问题的解题步骤:第一步:先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组);第二步:解此方程(组)或不等式(组),若有解,则存在,若无解,则不存在;第三步:得出结论.温馨提示:先假设存在,将该圆的切线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及 OA OB,可确定 m 的范围及所求的圆的方程,验证当切线的斜率不存在时,结论也成立.【规范训练】已知椭圆 C:22xa+22yb=1(ab0)的离心率为22,点 P(0,1)和点 A(m,n)(m0)都在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,
26、n表示);解:(1)由题意得2221,2,2,bcaabc解得 a2=2.故椭圆 C 的方程为22x+y2=1.设 M(xM,0).因为 m0,所以-1nb0)的一个焦点,P 是 C 上的点,圆x2+y2=29a 与线段 PF 交于 A,B 两点,若 A,B 是线段 PF 的两个三等分点,则椭圆 C 的离心率为()(A)33 (B)53 (C)104(D)175 D 解析:如图所示,设线段AB的中点为D,连接OD,OA,设椭圆C的左、右焦点分别为F,F1,连接PF1.设|OD|=t,因为点A,B是线段PF的两个三等分点,所以点D为线段PF的中点,所以ODPF1,且|PF1|=2t,PF1PF.
27、因为|PF|=3|AB|=6|AD|=622()3at,根据椭圆的定义,得|PF|+|PF1|=2a,所以622()3at+2t=2a,解得 t=5a 或 t=0(舍去).所以|PF|=85a,|PF1|=25a.在 RtPFF1中,|PF|2+|PF1|2=|FF1|2,即(85a)2+(25a)2=(2c)2,得22ca=1725,所以椭圆 C 的离心率 e=ca=175.故选 D.解:(1)由椭圆的方程知 a=1,点 B(0,b),C(1,0).设 F 的坐标为(-c,0)(c0),因为 FC 是圆P 的直径,所以FBBC,因为 kBC=-b,kBF=bc,所以-b bc=-1,所以 b
28、2=c=1-c2,c2+c-1=0,解得c=512,所以椭圆的离心率 e=ca=512.2.已知椭圆 x2+22yb=1(0b0,所以 b=c.由 b2=1-c2得 b2=12,所以椭圆的方程为 x2+212y=1.3.如图,AB为半圆x2+y2=1(y0)的直径,点D,P是半圆弧上的两点,ODAB,POB=30.曲线C经过点P,且曲线C上任意点M满足:|MA|+|MB|为定值.(1)求曲线C的方程;解:(1)根据椭圆的定义,曲线 C 是以 A(-1,0),B(1,0)为焦点的椭圆,其中 2c=2,P(32,12).2a=|PA|+|PB|=2231(1)()22+2231(1)()22=23
29、+23,所以 a2=32,b2=12,曲线 C 的方程为232x+212y=1.(2)设过点D的直线l与曲线C交于不同的两点E,F,求OEF面积最大时的直线l的方程.解:(2)设过点 D 的直线 l 的斜率为 k,则 l:y=kx+1.由221,263,ykxxy得(2+6k2)x2+12kx+3=0,=(12k)2-4(2+6k2)3=24(3k2-1)0,x1+x2=-21226kk,x1x2=2326k,所以|EF|=21k|x1-x2|=21k2224(31)26kk,又因为点 O 到直线 l 的距离 d=211k,所以OEF 的面积 S=12|EF|d=226(31)26kk.令23
30、1k =,0,则 S=12262=1262 1262 2=34.当且仅当=2,即=2,3k2-1=2,k=1 时,OEF 面积取最大值34.此时直线 l 的方程为 y=x+1 或 y=-x+1.4.(2018嵊州二模)如图,已知直线 l:y=kx+m 与椭圆 E:23x+y2=1 交于 A,B 两点,与单位圆O:x2+y2=1 相切于点 M,直线 OM 与椭圆 E 相交于 C,D 两点.(1)求|AB|(用k表示);解:(1)因为直线 l 与圆 O 相切,所以21mk=1,即 m2=k2+1.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由22,13ykxmxy 消去 y 整理得(1+3k2)x2+
31、6kmx+3m2-3=0.所以 x1+x2=-2613kmk,x1x2=223313mk,且=36k2m2-4(1+3k2)(3m2-3)=24k2.故线段|AB|=21k|x1-x2|=2222 6(1)13kkk.解:(2)因为 ABCD,所以直线 CD 方程为 y=-1kx.代入23x+y2=1 得 x2=2233kk,y2=233k.所以|CD|=222xy=222 313kk.所以122SS=2121()2ABCDAB=2 CDAB=2222222 3132 6(1)13kkkkk=2222(13)(3)kkk.(2)记四边形 ACBD 的面积为 S1,AOB 的面积为 S2,求12
32、2SS 的最小值.设 t=1+3k2,则 122SS=2 22(1)19ttt =2 29118()7()1tt=322117818()1632t32 194 2=249=83.5.已知椭圆22xa+22yb=1(ab0)的右焦点为 F2(1,0),点 H(2,2 103)在椭圆上.(1)求椭圆的方程;解:(1)由题意得222221,4401,9abcab解得229,8,ab 所以椭圆方程为29x+28y=1.(2)若点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点,问:PF2Q的周长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.解:(2)PF2Q
33、 的周长为定值.理由如下:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则219x+218y=1(|x1|3),|PF2|2=(x1-1)2+21y=(x1-1)2+8(1-219x)=19(x1-9)2,所以|PF2|=13(9-x1)=3-13x1.连接OM,OP(图略),由相切条件知|PM|2=|OP|2-|OM|2=21x+21y-8=21x+8(1-219x)-8=1921x.所以|PM|=13x1,所以|PF2|+|PM|=3-13x1+13x1=3,同理可求得|QF2|+|QM|=3-13x2+13x2=3,所以|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6 为定值.即PF2Q 的周长为
34、定值.类型二 椭圆与圆锥曲线的相关问题 6.设椭圆22xm+22yn=1(m0,n0)的右焦点与抛物线 y2=8x 的焦点相同,离心率为 12,则此椭圆的方程为()(A)212x+216y=1(B)216x+212y=1(C)248x+264y=1(D)264x+248y=1 B 解析:因为 y2=8x 的焦点为(2,0),所以 m2-n2=4.又椭圆离心率为 12,所以 e2=222mnm=14,即 m2=16,n2=12.故选 B.7.已知双曲线22xa-22yb=1 的离心率为 2,焦点与椭圆225x+29y=1 的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 .解析:因为双曲线的焦
35、点与椭圆的焦点相同,所以 c=4.因为 e=ca=2,所以 a=2,所以b2=12,所以 b=23.因为焦点在 x 轴上,所以焦点坐标为(4,0),渐近线方程为 y=bax,即 y=3 x,化为一般式为3 xy=0.答案:(4,0)3 xy=0 类型三 椭圆中的探索性问题 解:(1)由已知得48,3,2aca解得2,3,ac 所以 b2=a2-c2=1,故椭圆的方程为24x+y2=1.8.过椭圆:22xa+22yb=1(ab0)的右焦点 F2的直线交椭圆于 A,B 两点,F1为其左焦点,已知AF1B 的周长为 8,椭圆 的离心率为32.(1)求椭圆 的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该
36、圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 P,Q,且 OP OQ?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.解:(2)假设满足条件的圆存在,其方程为 x2+y2=r2(0rb0)的离心率 e=23,且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3.(1)求椭圆C的方程;解:(1)因为e=23=ca=22aba,所以 a2=3b2,即椭圆 C的方程可写为223xb+22yb=1.设 P(x,y)为椭圆 C 上任意一点,则 P,Q 之间的距离 d=22(2)xy=22233(2)byy=222(1)36yb(-byb).当-b-1,即 b1 时,dmax=263b=3,得 b=1;当-b-
37、1,即 b1 时,dmax=244bb=3,得 b=1(舍去).所以 b=1,a=3,故所求椭圆 C 的方程为23x+y2=1.解:(2)存在满足要求的点 M,使OAB 的面积最大.假设存在满足条件的点 M,因为直线l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 A,B,所以圆心 O 到直线 l 的距离d1=221mn1.因为点 M(m,n)在椭圆 C 上,所以23m+n2=1m2+n2,于是 0m23,因为|AB|=2211d=222221mnmn,(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及相对应的OAB的面积;若不存在,请说明理由.所以 SOAB=12|AB|d1=22221mnmn=223213mm22322 13mm=12,当且仅当 1=23m2时等号成立,所以 m2=32(0,3,因此当 m=62,n=22 时等号成立.所以满足要求的点 M 的坐标为(62,22)或(62,-22)或(-62,22)或(-62,-22),此时对应的 OAB 的面积为 12.点击进入课时训练
