1、课时作业6函数的奇偶性与周期性一、选择题1下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是(B)Af(x)Bf(x)Cf(x)2x2xDf(x)cosx解析：函数f(x)是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意2已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(2)等于(A)A3BC.D3解析：由f(x)为R上的奇函数，知f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，则f(2)f(2)(221)3.3已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(D)yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.ABCD解析：由奇函数的定义f(x)f(x)验证，f
2、(|x|)f(|x|)，为偶函数；f(x)f(x)f(x)，为奇函数；xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数；f(x)(x)f(x)x，为奇函数可知符合题意，故选D.4函数f(x)满足f(x1)f(x)，且当0x1时，f(x)2x(1x)，则f的值为(A)A.BCD解析：f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)f(x)，即函数f(x)的周期为2.fff2.5(2020佛山一模)已知f(x)2x为奇函数，g(x)bxlog2(4x1)为偶函数，则f(ab)(D)A.BCD解析：根据题意，f(x)2x为奇函数，则f(x)f(x)0，即0，解得a1.g(x)bxlog2(4x1)为偶函数，则g(x
3、)g(x)，即bxlog2(4x1)b(x)log2(4x1)，解得b1，则ab1，所以f(ab)f(1)21.6已知函数f(x)asinxblnt，若ff6，则实数t(D)A2B1C1D3解析：令g(x)asinxbln，易知g(x)为奇函数，所以gg0，则由f(x)g(x)t，得ffgg2t2t6，解得t3.故选D.7(2020荆州模拟)已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x(0,1)时，f(x)3x1，则f(D)A.1B1C1D1解析：因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f(x2)f(x)f(x)，所以fffff.又当x(0,1)时，f(x)3x1，所以f1，f1.8(2020
4、河北衡水联考)设定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x)f(4x)，且当x0,2时，f(x)xex1，若af(2 018)，bf(2 019)，cf(2 020)，则a，b，c的大小关系为(B)AcbaBabcCcabDbac解析：因为f(x)为R上的偶函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)f(x)f(4x)，所以函数f(x)是周期为4的函数，所以af(2 018)f(2)，bf(2 019)f(3)f(43)f(1)，cf(2 020)f(0)又当x0,2时，f(x)xex1，所以f(x)1ex0，所以当x0,2时，f(x)单调递减，所以f(2)f(1)f(0)，即ab0，则实数a的取值范
5、围是(B)A(1，)B(，1)C(，)D(，)解析：f(x)的定义域为R，f(x)f(x)，f(x)为奇函数，又f(x)3x22cosx0，f(x)在(，)上单调递增，由f(a)f(12a)0，得f(a)f(2a1)，a2a1，解得a0时，f(x)lnx，则f的值为ln2.解析：由已知可得fln2，所以ff(2)又因为f(x)是奇函数，所以ff(2)f(2)ln2.12若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a.解析：函数f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，故f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得ln(1e3x)lne3xaxln(e3x1)ax，即3xaxa
6、x，所以2ax3x0恒成立，所以a.13设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则ff(1)ff(2)f1.解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.ff(1)ff(2)ff0ff(0)ffff(0)fff(0)212011.三、解答题14已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x
7、22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,315设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式解：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,416已知函数f(x)x2ex(x0)
8、与g(x)x2ln(xa)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(B)A.B(，)C.D(，)解析：解法1：设是函数f(x)图象上某一点，由题意可知该点关于y轴的对称点在函数g(x)图象上，则有xex0xln(ax0)，即ln(ax0)ex0，aex0(x00)，记h(x)ex(x0)，则h(x)在(，0)上单调递增，所以ah(0)e.解法2：由题意知，函数yex(x0)和yln(xa)需存在分居y轴两侧的图象，如图所示，当x0时，只需lna，即a0.若在区间(0,9上，关于x的方程f(x)g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是.解析：当x(0,2时，令y，则(x1)2y21，y0，即f(x)的图象是以(1,0)为圆心、1为半径的半圆，利用f(x)是奇函数，且周期为4，画出函数f(x)在(0,9上的图象，再在同一坐标系中作出函数g(x)(x(0,9)的图象，如图，关于x的方程f(x)g(x)在(0,9上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知g(x)(x(0,1)与f(x)(x(0,1)的图象有2个不同的交点时满足题意，当直线yk(x2)经过点(1,1)时，k，当直线yk(x2)与半圆(x1)2y21(y0)相切时，1，k或k(舍去)，所以k的取值范围是.
