1、24二次函数1二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)_ (a0)；(2)顶点式：f(x)_ (a0)；(3)零点式：f(x)_ (a0)2二次函数的图象与性质二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是：(1)对称轴：x_；(2)顶点坐标：_；(3)开口方向：a0时，开口_，a0时，开口_；(4)值域：a0时，y_，a0时，y_；(5)单调性：a0时，f(x)在_上是减函数，在_上是增函数；a0时，f(x)在上是_，在上是_3二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系二次函数f(x)ax2bxc(a0)的零点(图象与x轴交
2、点的横坐标)是相应一元二次方程ax2bxc0的_，也是一元二次不等式ax2bxc0(或ax2bxc0)解集的_4二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值和最小值它只能在区间的_或二次函数的_处取得，可分别求值再比较大小，最后确定最值5一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)设x1，x2是实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)的两实根，则x1，x2的分布范围与系数之间的关系如表所示根的分布(mnp且m，n，p均为常数)图象满足的条件x1x2m mx1x2 x1mx2f(m)0.mx1x2n mx1nx2p mx1x2n 只有一根在区间(m，n)内 f(m)f(n)0.自查自纠1
3、(1)ax2bxc(2)a(x-h)2k(3)a(x-x1)(x-x2)2(1)-(2)(3)向上向下(4)(5)增函数减函数3根端点值4端点顶点 已知函数f(x)x2-2x3在区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()AC(-，2 D解：由题可知f(0)3，f(1)2，f(2)3，结合图象可知1m2.故选D. f(x)是二次函数，且f(x)2x2，若方程f(x)0有两个相等实根，则f(x)的解析式为()Af(x)x22x4 Bf(x)2x22x1Cf(x)x2x1 Df(x)x22x1解：设f(x)ax2bxc(a0)f(x)2axb，所以a1，b2，f(x)x22xc.4-4c0，所
4、以c1，故f(x)x22x1.故选D. 设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()解：由A，C，D知，f(0)c0.因为abc0，所以ab0，所以对称轴x-0，知A，C错误，D符合要求由B知f(0)c0，所以ab0，所以x-0，B错误故选D. 若方程x2-11x30a0的两个不等实根均大于5，则实数a的取值范围是_解：令f(x)x2-11x30a.对称轴x，故只要 即可，解得00，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的开口向上，故可排除A；若a0，同理可排除D.对于选项B，由直线可知a0，b0，从而-0)，已知f(m)0 Df(m1)0，所以yf(x)的大致图象如图
5、由f(m)0.故选C.类型三二次函数的最值设函数f(x)x2-2x-1在区间上有最小值g(t)，求g(t)的解析式解：f(x)x2-2x-1(x-1)2-2.当t1t1，即0t1时，g(t)-2.当t1时，f(x)在区间上是增函数，则最小值g(t)f(t)t2-2t-1；当t11，即t0时，f(x)在区间上是减函数，则最小值g(t)f(t1)t2-2.所以g(t)【点拨】求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”(见“名师点睛”)本题考查含有两个参数的二次函数的最值问题，属于“动轴定区间”问题，首先根据已知条件判断二次函数对称轴与所给区间的关系，再依据函数单调性、不等式的性质，结
6、合分类讨论的数学思想进行解答f(x)-x2ax-在区间上的最大值为2，求a的值解：f(x)-.当01，即0a2时，在区间上f(x)max-2，则a3或a-2，不合题意当1，即a2时，在区间上f(x)maxf(1)-2a.当0，即a0时，在区间上f(x)maxf(0)-2a-6.综上知，a或a-6.类型四二次方程根的分布已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围解：(1)条件说明抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(-1，0)和(1，2)内
7、，作出函数f(x)的大致图象，得 所以-m-.故m的取值范围为.(2)由抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，作出函数f(x)的大致图象，得所以-m1-.故m的取值范围为.【点拨】对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方面：(1)根的个数问题，由判别式判断；(2)正负根问题，由判别式及韦达定理判断；(3)根的分布问题，依函数与方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点函数值等数形结合求解(详见“考点梳理”)已知二次函数f(x)x22bxc(b，cR)满足f(1)0，且关于x的方程f(x)xb0的两个实数根分别在区间(-3，-2)，(0，1)内，求实数b的取值范围解：由题意知f(1)12
8、bc0，所以c-1-2b，记g(x)f(x)xbx2(2b1)xbcx2(2b1)x-b-1，则 解得即b.因此b的取值范围为.类型五二次函数的综合应用已知f(x)m(x-2m)(xm3)，g(x)2x-2.若同时满足条件：xR，f(x)0或g(x)0；x(-，-4)，f(x)g(x)0.求实数m的取值范围解：当x1时，g(x)1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，故m0不符合要求；当m0时，根据函数f(x)和函数g(x)的单调性，一定存在区间上的最值或值域问题，通常有两种类型：其一是定函数(解析式确定)，动区间(区间的端点含有参数)；其二是动函数(解析式中含有参数)，定区间(区间是确定的)
9、无论哪种情况，解题的关键都是抓住“三点一轴”，“三点”即区间两端点与区间中点，“一轴”即为抛物线的对称轴对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴”，只不过讨论要复杂一些而已3二次函数的综合应用解二次函数的综合应用问题，要充分应用二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的密切关系，对所求问题进行等价转化，要注意f(x)ax2bxc(a0)的结构特点和a，b，c的几何意义(可结合解析几何中的抛物线方程x22py理解a的几何意义)，注意一些特殊点的函数值，如f(0)c，f(1)abc，f(-1)a-bc等1函数f(x)2x2-mx3，当x时是减函数，则f(1)等于()A-3 B13 C7 D5解：
10、由题意知f(x)的对称轴x，要使f(x)在上是减函数，则-2，所以m-8，所以f(1)28313.故选B.2已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，则()Aa0，4ab0 Ba0，2ab0 Daf(1)，所以f(x)先减后增，于是a0.故选A.3二次函数f(x)ax2-2axc在区间上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是()A(-，0 B解：二次函数f(x)ax2-2axc在区间上单调递减，则a0，图象对称轴为x1，所以a0，即函数图象的开口向上，且f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.故选D.4()定义域为R的函数f(x)满足f(x
11、1)2f(x)，且当x(0，1时，f(x)x2-x，则当x时，f(x)的最小值为()A- B- C- D0解：由f(1)2f(0)得f(0)f(1)0，所以当x时，f(x)x2-x.设x，则x2，则f(x2)(x2)2-(x2)，又f(x2)f(x1)1)2f(x1)4f(x)，所以f(x)(x23x2)，所以当x-时，f(x)取最小值为-.故选A.5已知函数f(x)ax2bx-1(a，bR且a0)有两个零点，其中一个零点在区间(1，2)内，则a-b的取值范围是()A(-，-1) B(-1，)C(-1，1) D(-2，)解：易知x1x2-1.故选B.6()已知函数f(x)x2bx，则“b0”是
12、“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：由题意知f(x)x2bx-，最小值为-.令tx2bx，则f(f(x)f(t)t2bt-，t-，当b0时，f(f(x)的最小值为-，所以“b0”能推出“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”；当b0时，f(f(x)x4的最小值为0，f(x)的最小值也为0，所以“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”不能推出“ba在区间上满足：恒有解，则实数a的取值范围为_；恒成立，则实数a的取值范围为_解：f(x)a在区间上恒有解，则af(x)max，又f(x)x22x且x
13、，当x3时，f(x)max15，故a的取值范围为aa在区间上恒成立，则af(x)min，又因f(x)x22x且x，当x1时，f(x)min3，故a的取值范围为a3.故填(-，15)；(-，3)8设f(x)与g(x)是定义在同一区间上的两个函数，若函数yf(x)-g(x)在上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”若f(x)x2-3x4与g(x)2xm在上是“关联函数”，则实数m的取值范围为_解：由题意知，yf(x)-g(x)x2-5x4-m在上有两个不同的零点在同一直角坐标系中作出函数ym与yx2-5x4(x)的图象如图所示，结合图象可知，当x时，yx2
14、-5x4，故当m时，函数ym与yx2-5x4(x)的图象有两个交点故填.9已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)-2x的解集为(1，3)若方程f(x)6a0有两个相等的实根，求函数f(x)的解析式解：依题意可设f(x)2xa(x-1)(x-3)，且a0.于是f(x)a(x-1)(x-3)-2xax2-(24a)x3a.由f(x)6a0，得ax2-(24a)x9a0.所以(24a)2-36a205a2-4a-10.解之得a1(舍)或a-.所以f(x)-x2-x-.10已知函数f(x)ax2-2ax2b(a0)，若f(x)在区间上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b
15、0时，f(x)在上为增函数，故 当a0时，f(x)在上为减函数，故 (2)因为b1，所以a1，b0，即f(x)x2-2x2.g(x)x2-2x2-mxx2-(2m)x2，因为g(x)在上单调，所以2或4.所以m2或m6.故m的取值范围为(-，2上是减函数，则实数a的取值范围是()A(-，-3 B D上是减函数，则1-a4，即a-3.故选A.2()若函数yx2-3x-4的定义域为，值域为，则m的取值范围是()A(0，4 B.C. D.解：二次函数yx2-3x-4图象的对称轴是x，开口向上，最小值是ymin-，在x处取得，所以由函数的值域是，可知m应该在对称轴的右边，当函数值是-4时，对应的自变量
16、的值是x0或x3，如果m比3大，那么函数值就超出这个范围，所以m的取值范围是.故选B.3()方程x2ax-20在区间上有解，则实数a的取值范围为()A. B(1，)C. D.解法一：令f(x)x2ax-2，而f(0)-2，故只要 解得-a1.解法二：由a-x在区间上单调递减知a.故选C.4函数f(x)ax2bxc与其导函数f (x)在同一坐标系内的图象可能是()解：若二次函数f(x)的图象开口向上，则导函数f(x)为增函数，排除A；同理排除D；若f(x)2axb过原点，则b0，则yf(x)的对称轴为y轴，排除B.故选C.5()已知函数f(x)asinx-cos2xa-(aR，a0)，若对任意x
17、R都有f(x)0，则a的取值范围是()A. BC(0，1 D解：化简函数得f(x)sin2xasinxa-，令tsinx(-1t1)，则g(t)t2ata-(-1t1)，问题转化为g(t)在上恒有g(t)0，即 解得0a1.故选C.6()如果函数f(x)(m-2)x2(n-8)x1(m0，n0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为()A16 B18 C25 D.解：(1)当m2时，二次函数f(x)的对称轴为x.若m0时，f(x)-x2(n-8)x1，n9，mn0；若0m2时，m-22时，m-20，f(x)的图象是开口向上的抛物线，则2，所以2mn12，由得 (2)当m2时，一次函数f(x)(n
18、-8)x1单调递减，则n8，mn2n1时，ymaxf(1)a；当0a1时，ymaxf(a)a2-a1；当a|x-a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是_解：在同一坐标系中画出函数f(x)2-x2，g(x)|x-a|的图象，如图所示y2-x2是开口向下的抛物线，y|x-a|是与x轴交于(a，0)点的“V字形”折线，显然当a2时，y2-x2(x0)的图象都在折线下方，则当a2时不等式2-x2|x-a|无负数解当a2时，由2-x2x-a得x2x-a-20，由14a80得a-，此时yx-a与y2-x2(x0)相切，则当a-时，不等式亦无负数解，故-a0，解得x3，所以Mx|x3f(x)2x2-34
19、x42x-3(2x)2，令2xt，因为x3，所以t8或0t8或0t2)，由二次函数性质可知，当0t8时，f(x)(-，-160)当2xt，即xlog2时，ymax.综上可知，当xlog2时，f(x)取到最大值为，无最小值10()设二次函数f(x)ax2bx(a0)满足条件：f(-1x)f(-1-x)；函数yf(x)的图象与直线yx只有一个公共点(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式f(x)在t时恒成立，求实数x的取值范围解：(1)因为由知f(x)ax2bx(a0)图象的对称轴是直线x-1，所以-1，b2a.因为函数yf(x)的图象与直线yx只有一个公共点，所以ax2(b-1)x0有两个相同的
20、实根，所以(b-1)20，即b1，所以a.所以f(x)x2x.(2)因为1，所以f(x)等价于f(x)tx-2，即x2xtx-2在t时恒成立函数g(t)xt-0在t时恒成立，所以 即 解得x-3，故实数x的取值范围是(-，-3-)(-3，) 已知二次函数yf(x)图象的顶点坐标为 且图象过点(0，0)(1)求f(x)的解析式(2)是否存在实数m，n(mn)使得函数f(x)的定义域和值域分别是和？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由解：(1)设f(x)a(x-1)2，由f(0)0，得a-，故f(x)-(x-1)2，即f(x)-x2x.(2)f(x)-(x-1)2在R上的最大值是.若存在合要求的m，n，则f(x)在上的最大值是2n，所以2n，即n1，所以(-，1，从而是函数f(x)的单调递增区间，所以 所以m-2，n0.
