1、第4讲 数系的扩充与复数的引入1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若_，则abi为实数，若_，则abi为虚数，若_，则abi为纯虚数 b0b0a0且b0(2)复数相等：abicdi_(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭_(a，b，c，dR)ac，bdac，bd(4)复数的模：向量OZ的模 r 叫做复数 zabi 的模，即|z|abi|a2b2.2复数的几何意义 3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 加 法：z1 z2 (a bi)(c di)_；减 法：z
2、1 z2 (a bi)(c di)_；乘法：z1z2(abi)(cdi)_；(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3 C，有 z1 z2 _，(z1 z2)z3 _ z2z1z1(z2z3)题组一 常识题 1(教材改编)若复数zm1(m2m2)i为实数，则实数m的值是_.【解析】依题意知m2m20，解得m1或m2.【答案】1或2 2(教材改编)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是_【解析】z的共轭复数对应的点与z对应的点关于实轴对称，点B是点A关于实轴的对称点【答案】
3、B【答案】2i 3(教材改编)已知(12i)z43i，则 z_【解析】z43i12i（43i）（12i）（12i）（12i）105i52i.4(教材改编)若复数 z12i，则复数 z 的模等于_【解析】z12i，|z|14 5.【答案】5题组二 常错题 索引：(1)复数的分类把握不准导致出错；(2)复数的几何意义理解有误；(3)复数相等与共轭复数概念把握不牢固致误 5若复数(a23a2)(a1)i是纯虚数，则实数a_ 【答案】2【解析】因为复数(a23a2)(a1)i 是纯虚数，所以a23a20，a10，解得 a2.本题易忽【答案】(4，2)6若复数 z 满足 iz24i，则在复平面内，z 对
4、应的点的坐标是_【解析】由于 iz24i，所以 z24ii42i，故 z 在复平面内对应点的坐标为(4，2)本题在找 z 的对应点时，易写成(4，2)而致误7已知复数z满足z3z42i，(i为虚数单位)，则z_.【解析】设zabi，则zabi，z3z42i，abi3a3bi42i，4a2bi42i，4a4，2b2，a1，b1，z1i.【答案】1i考点一 复数的有关概念【例 1】(1)(2018全国卷)设 z1i1i2i，则|z|()A0 B.12C1 D.2(2)已知 aR，i 为虚数单位，若ai2i为实数，则 a 的值为_【解析】(1)法一：因为 z1i1i2i（1i）2（1i）（1i）2i
5、i2ii，所以|z|1，故选 C.法二：因为 z1i1i2i1i2i（1i）1i1i1i，所以|z|1i1i|1i|1i|221，故选 C.(2)由ai2i（ai）（2i）52a152a5 i 是实数，得 2a5 0，所以 a2.【答案】(1)C(2)2【反思归纳】【答案】B 跟踪训练1(2019合肥质检)已知复数z2i1i(i为虚数单位)，那么 z 的共轭复数为()A.3232i B.1232IC.1232i D.3232i【解析】z2i1i（2i）（1i）（1i）（1i）1232i，所以 z 的共轭复数为1232i，故选 B.跟踪训练 2(2019湘东五校联考)已知 i 为虚数单位，若复数
6、za12ii(aR)的实部与虚部互为相反数，则 a()A5 B1C13D53【解析】za12iia（12i）（12i）（12i）ia52a55i，因为复数 za12ii(aR)的实部与虚部互为相反数，所以a52a55，解得 a53.故选 D.【答案】D考点二 复数的几何意义【例 2】(1)(2019 石 家 庄 质 检)在 复 平 面 中，复 数1（1i）21对应的点在()A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限(2)已知 z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是()A(3，1)B(1，3)C(1，)D(，3)【解析】(1)复数1（1i）21112i12i
7、（12i）（12i）1525i，其在复平面内对应的点为15，25，位于第四象限，故选 D.(2)由题意知m30，m10，即3m1.故实数 m 的取值范围为(3，1)【答案】(1)D(2)A【反思归纳】跟踪训练3(1)若复数z(a1)3i(aR)在复平面内对应的点在直线yx2上，则a的值等于()A1B2C5D6(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2()A5B5 C4iD4i【解析】(1)复数z(a1)3i在复平面内对应的点(a1，3)在直线yx2上，3a12，a2，故选B.(2)z12i在复平面内的对应点的坐标为(2，1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚
8、轴对称，则z2的对应点的坐标为(2，1)即z22i，z1z2(2i)(2i)i245.【答案】(1)B(2)A 考点三 复数的代数运算【例 3】(1)(2019广东五校诊断)已知 a 为实数，若复数 z(a21)(a1)i 为纯虚数，则ai20201i()A1 B0C1ID1i(2)(2019武昌调研)已知(z13i)(2i)43i(其中 i 是虚数单位，z 是 z 的共轭复数)，则 z 的虚部为()A1 B1Ci Di【解析】(1)z(a21)(a1)i 为纯虚数，则有 a210，a10，得 a1，则有1i20201i 111i2（1i）（1i）（1i）1i.(2)因为 z43i2i 13i（43i）（2i）（2i）（2i）13i12i13i2i，所以 z2i，z 的虚部为 1，故选 A.【答案】(1)D(2)A【反思归纳】跟踪训练 4(1)已知 i 是虚数单位，1i1i821i2018_(2)已知 a，bR，i 是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则ab的值为_【解析】(1)原式1i1i821i2 1009 i822i1009i8i1009 1i425211i.(2)(1i)(1bi)1b(1b)ia，又 a，bR，1ba 且 1b0，得 a2，b1，ab2.【答案】(1)1i(2)2课时作业
