1、第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第五节古典概型与几何概型A级基础过关|固根基|1.从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数之和能被3整除的概率是()ABCD解析：选A因为从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，共有10种取法，其中所取两个数之和能被3整除的包含(1，2)，(1，5)，(2，4)，(4，5)四种取法，所以概率为，故选A2(2019届福州质检)从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是()ABCD解析：选D因为所有没有重复数字的两位数有10，12，13，20，21，23
2、，30，31，32，共9个，其中所得两位数为偶数的有10，12，20，30，32，共5个，所以所求概率为.3某袋中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有1，2，3，4，6这五个数字，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成等差数列的概率是()ABCD解析：选A从五个小球中任选三个的所有情况有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，6)，(1，3，4)，(1，3，6)，(1，4，6)，(2，3，4)，(2，3，6)，(2，4，6)，(3，4，6)，共10种，所选的三个小球上的数恰好能构成等差数列包含的基本事件有(1，2，3)，(2，3，4)，(2，4，6)，共3种
3、，故所求概率为.4(2019届湖南长沙联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A1BCD1解析：选A因为鱼缸底面正方形的面积为224，圆锥底面圆的面积为，所以“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是1.故选A5(2019届广西质检)已知P是ABC所在平面内一点，且20，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是()ABCD解析：选C以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，连接PD交BC于点O，则.20，
4、2，2，由此可得，P是BC边上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于点A到BC的距离的，SPBCSABC，将一粒黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在PBC内的概率为P.6.如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为()ABC1D1解析：选C因为正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为42224128，所以黑色区域的面积为828.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为P1.故选C
5、7(2019届天津模拟)一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为()ABCD解析：选B设3个白球分别为a1，a2，a3，2个黑球分别为b1，b2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)
6、，(b2，b1)，共20种其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6种，故所求概率为.8(2019届梅州质检)如图所示方格，在第一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为()ABABCD解析：选D只考虑A，B两个方格的排法，不考虑大小，A，B两个方格有4416(种)排法要使填入A方格的数字大于B方格的数字，则从1，2，3，4中选2个数字，大的放入A格，小的放入B格，有(4，3)，(4，2)，(4，1)，(3，2)，(3，1)，(
7、2，1)，共6种，故填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为.故选D9(2019届山东威海模拟)如图，等腰直角三角形的斜边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中阴影部分)，若在此三角形内随机取一点，则此点取自区域M的概率为()ABCD1解析：选D由题意知，直角三角形的面积S222.因为三角形的内角和为，所以三个扇形的面积和为12，所以阴影部分的面积为2，所以此点取自区域M的概率为P1.10(2019届合肥模拟)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为_解析：将2名
8、男生记为A1，A2，2名女生记为B1，B2，若任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，则共有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，(A2，A1)，(B1，A1)，(B2，A1)，(B1，A2)，(B2，A2)，(B2，B1)，12种情况，又星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，4种情况，所以所求的概率为P.答案：11中国诗词大会是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识
9、比拼“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至耄耋老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：年龄/岁7，20)20，40)40，80频数185436(1)用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；(2)从(1)中抽出的6人中任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率解：(1)因为样本容量与总体个数的比是，所以从年龄在7，20)中抽取的人数为181，从年龄在20，40)中抽取的人数为543，从年龄在40，80中抽取的人数为362，所以从年龄在7，20)，20，40)，40，80中抽取的挑战者的人数分别为1，3，2
10、.(2)设从7，20)中抽取的1人为a，从20，40)中抽取的3人分别为b，c，d，从40，80中抽取的2人为e，f.从这6人中任取2人构成的所有基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个每人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件A为“2人来自同一年龄组”，包含的所有基本事件为(b，c)，(b，d)，(c，d)，(e，f)，共4个，所以P(A)，故2人来自同一年龄组的概率为.12(2020届合肥调研)第24届冬奥会将于20
11、22年在中国北京和张家口举行为宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某大学举办了冬奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图：(1)试根据频率分布直方图，估计这100人的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值代替)；(2)若采用分层抽样的方法从成绩在70，80)，80，90)，90，100的学生中共抽取6人，再将其随机地分配到3个社区开展冬奥会宣传活动(每个社区2人)，求“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率解：(1)平均成绩0.00210450.01610550.02210650.03010750.02010850.010109573.00.(
12、2)由题意知，从成绩在70，80)，80，90)，90，100的学生中分别选取了3人，2人，1人6人平均分成3组分配到3个社区，共有CC90(种)方法，成绩在同一区间的学生分配到不同社区的方法有AA36(种)所以“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率P.B级素养提升|练能力|13.(2019届威海模拟)从集合1，2，3，4中随机抽取一个数a，从集合1，2，3中随机抽取一个数b，则向量m(a，b)与向量n(2，1)共线的概率为()ABCD解析：选A由题意可知m(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，
13、(4，2)，(4，3)，共12个m(a，b)与向量n(2，1)共线，a2b0，即a2b，有(2，1)，(4，2)，共2个，所求概率为.14(2019届江西信丰测试)已知函数f(x)sin x3cos x，当x0，时，f(x)的概率为()ABCD解析：选Bf(x)sin x3cos x2sin，x0，x.令f(x)，得sin，解得x，0x，f(x)的概率为.15(2019届河南大联考)已知实数m0，1，n0，2，则关于x的一元二次方程4x24mxn22n0有实数根的概率是()A1BCD1解析：选A若关于x的一元二次方程4x24mxn22n0有实数根，则16m216(n22n)0，即m2(n1)2
14、1.如图中阴影部分所示，长方形面积为2，半圆面积为，故所求概率为1.故选A16(2019届石家庄模拟)在区间0，1上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是()ABCD解析：选C设这两个数分别是x，y，则总的基本事件构成的区域是确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1，所以这两个数之和小于的概率是.17(2020届成都摸底)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评成绩达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位现
15、通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：A类行业：85，82，77，78，83，87；B类行业：76，67，80，85，79，81；C类行业：87，89，76，86，75，84，90，82.(1)试估算这三类行业中每类行业的单位个数；(2)若在A类行业抽样的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率解：(1)由题意知，抽取的三类行业单位个数之比为334.由分层抽样的定义，得A类行业单位的个数为20060；B类行业单位的个数为20060；C类行业单位的个数为20080.A，B，C三类行业单位的个数分别为
16、60，60，80.(2)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M.在A类行业的6个单位中随机选取3个单位的考评数据情形有85，82，77，85，82，78，85，82，83，85，82，87，85，77，78，85，77，83，85，77，87，85，78，83，85，78，87，85，83，87，82，77，78，82，77，83，82，77，87，82，78，83，82，78，87，82，83，87，77，78，83，77，78，87，77，83，87，78，83，87，共20种这3个单位都是“星级”环保单位的考评数据情形有85，82，83，85，82，87，85，83，87，82，83，87，共4种这3个单位都是“非星级”环保单位的考评数据情形有0种这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共有4种所求概率P(M)1.
