1、第4讲 二次函数与幂函数 1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)_(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为_；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点 ax2bxc(h，k)(2)二次函数的图象与性质 2.幂函数(1)定义：形如y_(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)五种常见幂函数的图象与性质 x奇偶性 _ _ _ _ _ 单调性 _(，0)减，_ _ _ _(0，)减 公共点 _ 增(0，)增增 增(，0)减(1，1)奇偶 奇非奇非偶奇【答案】(，40160，)1(教材改编)若函数 f(x)4x2kx8
2、 在5，20上是单调函数，则实数 k 的取值范围是_【解析】二次函数的对称轴方程是 xk8，故只需k85 或k820，即 k40 或 k160，故所求实数 k 的取值范围是(，40160，)2(教材改编)已知幂函数 yf(x)的图象过点(2，2)，则函数 f(x)_【解析】设 f(x)x，则 22，所以 12，故函数 f(x)x12.【答案】x123.(教材改编)已知f(x)x22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是_.【解析】通过二次函数的图象知m1，2【答案】1，2 4(教材改编)若函数yx2(a2)x3，xa，b的图象关于直线x1对称，则b_.【答案】6【解析】二次
3、函数 yx2(a2)x3 的图象关于直线 x1对称，说明二次函数图象的对称轴为直线 x1，即a22 1，a4.又 f(x)是定义在a，b上的，即 a，b 关于直线 x1 也是对称的，ab2 1，b6.题组二 常错题 索引：图象特征把握不准出错；二次函数的单调性理解不到位；幂函数的图象掌握不到位 5如图，若a0，则函数yax2bx的大致图象是_(填序号)【解析】函数图象的开口向下，对称轴方程为 x b2a0，且过原点，故大致图象是.【答案】【答案】6设二次函数 f(x)x2xa(a0)，若 f(m)”“0，f(0)0，而 f(m)0，m(0，1)，m10.7若函数 ymx2x5 在2，)上是增函
4、数，则 m的取值范围是_【解析】当 m0 时，函数在给定区间上是增函数；当 m0时，函数是二次函数，图象对称轴为 x 12m2，得 m14，又 m0，因此 00时，根据题意知p1，所以0p1；当p0时，函数为y1(x0)，符合题意；当p0的解集为(2，1)，则函数yf(x)的图象为()【解析】函数f(x)ax2xc，且f(x)0的解集为(2，1)，2，1是方程ax2xc0的两根a1，c2，f(x)x2x2.函数yf(x)x2x2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标为(1，0)和(2，0)故选D.【答案】D 角度2 二次函数的单调性与最值【例3】(1)若函数f(x)x22ax3在区间4，6上是
5、单调函数，则实数a的取值范围为_(2)若函数f(x)x2axb在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关 B与a有关，但与b无关 C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关【解析】(1)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 xa，所以要使 f(x)在4，6上是单调函数，应有a4 或a6，即 a6 或 a4.(2)f(x)x2axbxa22ba24，对称轴为 xa2，下面分情况讨论：若 1a2，即 a2 时，f(x)maxf(0)b，f(x)minf(1)ab1，此时 Mmb(ab1)a1；若12a21，即2a1 时，f(x)maxf(0)b，f(x)mi
6、nfa2 ba24，此时 Mmbba24 a24；若 0a212，即1a0 时，f(x)maxf(1)ab1，f(x)minfa2 ba24，此时 Mmab1ba24 1aa24；若a20，即 a0 时，f(x)maxf(1)ab1，f(x)minf(0)b，此时 Mmab1b1a.综上，Mm 与 a 有关，但与 b 无关故选 B.【答案】(1)a6 或 a4(2)B【互动探究】本例中(2)改为函数f(x)x22x在区间t，t1上的最小值为8，则实数t的值为_【解析】二次函数f(x)x22x图象的对称轴方程为x1.当t11，即t1时，f(x)在区间t，t1上单调递增，故f(x)minf(t)t
7、22t8，解得t2或t4(舍去)综上可知，t的值为5或2.【答案】5或2 角度 3 与二次函数相关的恒成立问题【例 4】(1)已知函数 ylog2ax2ax1a.若函数的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是_(2)设函数 f(x)ax22x2，对于满足 1x0，则实数 a 的取值范围是_【解析】(1)(判别式法)a0，函数的定义域为 R，则 ax2ax1a0 恒成立，a0，（a）24a1a0，解得 0a0 时，f(x)ax1a221a，由f(x)0，x(1，4)得1a1，f（1）a220或11a0 或1a4，f（4）16a820，解得a1，a0或14a12 或a14，a38，所以 a1 或1
8、2a12；当 a0，即 ax22x20，x(1，4)，得 a2x22x在(1，4)上恒成立 令 g(x)2x22x21x12212，因为1x14，1，所以g(x)maxg(2)12，所以要使 f(x)0 在(1，4)上恒成立，只要 a12即可，故实数 a 的取值范围是12，.【答案】(1)(0，2)(2)12，【互动探究】本例(1)中，若函数的值域为R，其余条件不变，则实数a的取值范围是_【解析】函数 ylog2ax2ax1a 的值域为 R，则 tax2ax1a能取遍所有正数，即其值域包含(0，)，故有a0（a）24a1a0即 a2，实数 a 的取值范围是2，)【答案】2，)【反思归纳】跟踪训练 设函数yx22x，x2，a，若函数的最小值为g(x)，求g(x)【解析】函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，x1不一定在区间2，a内，应进行讨论 当21 时，函数在2，1上单调递减，在1，a上单调递增，则当 x1 时，y 取得最小值，即 ymin1.综上，g(x)a22a，21.课时作业
