1、巩固层知识整合提升层题型探究导数的几何意义及其应用【例1】(1)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2e Be C2 D1(2)已知函数yf(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数yf(x)的图像如图所示,则该函数的图像是()(1)C(2)B(1)yex1xex1(x1)ex1,故曲线在点(1,1)处的切线斜率为k2.(2)从导函数的图像可以看出,导函数值先增大后减小,x0时最大,所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小,在x0时变化率最大A项,在x0时变化率最小,故错误;C项,变化率是越来越大的,故错误;D项,变化率是越来越小的,故错误;B项正确利用导数的几何意义求切线方
2、程时关键是搞清所给的点是不是切点,常见的类型有两种,一是求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,先求导,再求斜率代入直线方程即可得;另一类是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为yy1f(x1)(xx1),再由切线过点P(x0,y0)得y0y1f(x1)(x0x1),又y1f(x1),由求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程1已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;(3)求斜率为4的曲线的切线方程解(1)P(2,4)在曲线yx3上,且yx2,在点P(2,4)
3、处的切线的斜率k4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2),即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率kx.切线方程为yx(xx0),即yxxx.点P(2,4)在切线上,42xx,即x3x40,xx4x40.x(x01)4(x01)(x01)0,(x01)(x02)20,解得x01或x02,故所求的切线方程为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0,y0),则切线的斜率kx4,x02.切点为(2,4)或.斜率为4的曲线的切线方程为y44(x2)和y4(x2),即4xy40和12x3y200.利用导数判断函数的单调性【例2】设函数f(x)xeax
4、bx,曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间思路探究(1)利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数(2)利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性解(1)因为f(x)xeaxbx,所以f(x)(1x)eaxb.依题设,即解得(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知,f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1,则g(x)1ex1.所以,当x(,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(,)上的最小值,从而g(x)0,x(,)综上可知,f(x
5、)0,x(,),故f(x)的单调递增区间为(,)利用导数的符号判断函数的增减性,进而确定函数的单调区间,这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用,它充分体现了数形结合思想.这部分内容要注意的是f(x)为增函数f(x)0且f(x)0的根有有限个,f(x)为减函数f(x)0且f(x)0的根有有限个.2(1)讨论函数f(x)ex的单调性,并证明当x0时,(x2)exx20;(2)证明:当a0,1)时,函数g(x)(x0)有最小值设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域解(1)f(x)的定义域为(,2)(2,)f(x)0,当且仅当x0时,f(x)0,所以f(x)在(,2),(2,)上
6、单调递增因此当x(0,)时,f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2),即(x2)exx20.(2)g(x)(f(x)a)由(1)知,f(x)a单调递增对任意a0,1),f(0)aa10,f(2)aa0.因此,存在唯一xa(0,2,使得f(xa)a0,即g(xa)0.当0xxa时,f(x)a0,g(x)xa时,f(x)a0,g(x)0,g(x)单调递增因此g(x)在xxa处取得最小值,最小值为g(xa).于是h(a).由0,得y在x(0,)上单调递增,所以,由xa(0,2,得h(a).因为y在x(0,)上单调递增,对任意,存在唯一的xa(0,2,af(xa)0,1),使得h(a).所以h(a
7、)的值域是.综上,当a0,1)时,g(x)有最小值h(a),h(a)的值域是.利用导数研究函数的极值、最值【例3】已知函数f(x)x3ax2b的图像上一点P(1,0),且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间0,t(0t3)上的最大值和最小值;(3)在(1)的结论下,关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根,求实数c的取值范围思路探究(1)由求出a,b即可(2)对t分0t2与2t3两种情况求最值(3)构造函数g(x)f(x)c转化为g(x)在1,3上有实根求解解(1)因为f(x)3x22ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为:f(
8、1)32a,即32a3,a3.又函数过(1,0)点,即2b0,b2.所以a3,b2,f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22,得f(x)3x26x.令f(x)0,得x0或x2.当0t2时,在区间(0,t)上f(x)0,f(x)在0,t上是减函数,所以f(x)的最大值为f(0)2,f(x)的最小值为f(t)t33t22.当2t3时,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x0(0,2)2(2,t)tf(x)00f(x)2极小值2t33t22f(x)的最小值为f(2)2,f(x)的最大值为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)的最大值
9、为f(0)2.综上可知,当t(0,2时,f(x)的最大值为2,最小值为t33t22;当t(2,3)时,f(x)的最大值为2,最小值为2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c,g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上,g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根,则解得2c0.用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方法它通过函数的变化情况,运用数形结合思想来确定函数图像与x轴的交点个数,从而判断方程根的个数3已知函数f(x)x36x29x3,若函数yf(x)的图像与yf(x)5xm的图像有三个不同的交点,求实数m的取值范围解由f(x)x36x29x3,可得f(x)3x21
10、2x9,yf(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m.则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根,即g(x)x37x28xm的图像与x轴有三个不同的交点g(x)3x214x8(3x2)(x4),令g(x)0,得x或x4.当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x4(4,)g(x)00g(x)m16m则函数g(x)的极大值为gm,极小值为g(4)16m.yf(x)的图像与yf(x)5xm的图像有三个不同的交点,得解得16m.即m的取值范围为.利用导数解决实际问题【例4】已知A,B两地相距200千米,一只船从A地逆水到B地,水速为8千米/时,船在静水中的速度为v千米/时
11、(80),则y1kv2,当v12时,y1720,720k122,解得k5.y15v2.设全程燃料费为y元,由题意,得yy1,y.令y0,解得v0(舍去)或v16.当v016时,v16(千米/时)时全程燃料费最省;当v016,v(8,v0时,y0,即y在(8,v0上为减函数当vv0时,ymin.综上可知,若v016,则当v16(千米/时)时,全程燃料费最省,为32 000元;若v0f(x),且f(x)2 020为奇函数,则不等式f(x)2 020ex0的解集为()A(,0)B(0,)C D.B由题意可知,令g(x),则g(x),因为f(x)f(x),故f(x)f(x)0,即g(x)0,g(x)在
12、R上为减函数又因为f(x)2 020为奇函数,所以f(0)2 0200,即f(0)2 020,则g(0)2 020.所以不等式f(x)2 020ex0等价于g(x)0,即不等式f(x)2 020ex0的解集为x(0,)故选B.这类问题主要考查函数单调性、奇偶性的应用,以及利用导数研究函数的单调性及其应用.其中如何构造新函数是求解此类问题的重中之重,善于从题目中提取信息,挖掘隐含条件及把所学知识移到此类问题中是解题的关键.定义在区间(0,)上函数f(x)使不等式2f(x)xf(x)3f(x)恒成立,f(x)为f(x)的导数,则的取值范围是_(4,8)令g(x),则g(x),因为xf(x)3f(x),则xf(x)3f(x)0.所以g(x)0在(0,)上恒成立即g(x)在(0,)上单调递减,可得g(2)g(1),即.由2f(x)0,则2f(x),即xf(x)2f(x)0,所以h(x)0在(0,)上恒成立,即h(x)在(0,)上单调递增h(2)h(1)即f(1),即4,48.