1、巩固层知识整合提升层题型探究导数的几何意义及其应用【例1】(1)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2e Be C2 D1(2)已知函数yf(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数yf(x)的图像如图所示，则该函数的图像是()(1)C(2)B(1)yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为k2.(2)从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x0时最大，所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x0时变化率最大A项，在x0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确利用导数的几何意义求切线方
2、程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1)，由求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程1已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程解(1)P(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2,4)
3、处的切线的斜率k4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率kx.切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40.x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率kx4，x02.切点为(2,4)或.斜率为4的曲线的切线方程为y44(x2)和y4(x2)，即4xy40和12x3y200.利用导数判断函数的单调性【例2】设函数f(x)xeax
4、bx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间思路探究(1)利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数(2)利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性解(1)因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依题设，即解得(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f(x
5、)0，x(，)，故f(x)的单调递增区间为(，)利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想.这部分内容要注意的是f(x)为增函数f(x)0且f(x)0的根有有限个，f(x)为减函数f(x)0且f(x)0的根有有限个.2(1)讨论函数f(x)ex的单调性，并证明当x0时，(x2)exx20；(2)证明：当a0,1)时，函数g(x)(x0)有最小值设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域解(1)f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x)0，当且仅当x0时，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上
6、单调递增因此当x(0，)时，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)g(x)(f(x)a)由(1)知，f(x)a单调递增对任意a0,1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一xa(0,2，使得f(xa)a0，即g(xa)0.当0xxa时，f(x)a0，g(x)xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增因此g(x)在xxa处取得最小值，最小值为g(xa).于是h(a).由0，得y在x(0，)上单调递增，所以，由xa(0,2，得h(a).因为y在x(0，)上单调递增，对任意，存在唯一的xa(0,2，af(xa)0,1)，使得h(a).所以h(a
7、)的值域是.综上，当a0,1)时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.利用导数研究函数的极值、最值【例3】已知函数f(x)x3ax2b的图像上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围思路探究(1)由求出a，b即可(2)对t分0t2与2t3两种情况求最值(3)构造函数g(x)f(x)c转化为g(x)在1,3上有实根求解解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f(
8、1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.令f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)的最大值为f(0)2，f(x)的最小值为f(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)2极小值2t33t22f(x)的最小值为f(2)2，f(x)的最大值为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)的最大值
9、为f(0)2.综上可知，当t(0,2时，f(x)的最大值为2，最小值为t33t22；当t(2,3)时，f(x)的最大值为2，最小值为2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，则解得2c0.用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图像与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数3已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图像与yf(x)5xm的图像有三个不同的交点，求实数m的取值范围解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x21
10、2x9，yf(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m.则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图像与x轴有三个不同的交点g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0，得x或x4.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x4(4，)g(x)00g(x)m16m则函数g(x)的极大值为gm，极小值为g(4)16m.yf(x)的图像与yf(x)5xm的图像有三个不同的交点，得解得16m.即m的取值范围为.利用导数解决实际问题【例4】已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时
11、(80)，则y1kv2，当v12时，y1720，720k122，解得k5.y15v2.设全程燃料费为y元，由题意，得yy1，y.令y0，解得v0(舍去)或v16.当v016时，v16(千米/时)时全程燃料费最省；当v016，v(8，v0时，y0，即y在(8，v0上为减函数当vv0时，ymin.综上可知，若v016，则当v16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；若v0f(x)，且f(x)2 020为奇函数，则不等式f(x)2 020ex0的解集为()A(，0)B(0，)C D.B由题意可知，令g(x)，则g(x)，因为f(x)f(x)，故f(x)f(x)0，即g(x)0，g(x)在
12、R上为减函数又因为f(x)2 020为奇函数，所以f(0)2 0200，即f(0)2 020，则g(0)2 020.所以不等式f(x)2 020ex0等价于g(x)0，即不等式f(x)2 020ex0的解集为x(0，)故选B.这类问题主要考查函数单调性、奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性及其应用.其中如何构造新函数是求解此类问题的重中之重，善于从题目中提取信息，挖掘隐含条件及把所学知识移到此类问题中是解题的关键.定义在区间(0，)上函数f(x)使不等式2f(x)xf(x)3f(x)恒成立，f(x)为f(x)的导数，则的取值范围是_(4,8)令g(x)，则g(x)，因为xf(x)3f(x)，则xf(x)3f(x)0.所以g(x)0在(0，)上恒成立即g(x)在(0，)上单调递减，可得g(2)g(1)，即.由2f(x)0，则2f(x)，即xf(x)2f(x)0，所以h(x)0在(0，)上恒成立，即h(x)在(0，)上单调递增h(2)h(1)即f(1)，即4，48.