1、第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质做小题激活思维1已知椭圆C的焦点在y轴上，焦距等于4，离心率为，则椭圆C的标准方程是()A.1B.1C.1 D.1C由题意可得2c4，故c2，又e，解得a2，故b2，因为焦点在y轴上，故椭圆C的标准方程是1.2设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|PF2|43，则PF1F2的面积为()A30 B25C24 D40C|PF1|PF2|14，又|PF1|PF2|43，|PF1|8，|PF2|6.|F1F2|10，PF1PF2，SPF1F2|PF1|PF2|8624.3过点F(0,3)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ay212x By
2、212xCx212y Dx212yD由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y30相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y3为准线的抛物线，故其方程为x212y. 4.新题型：多选题点M(1,1)到抛物线yax2准线的距离为2，则a的值为()A. BC. DAB抛物线yax2化为x2y，它的准线方程为y，点M(1,1)到抛物线yax2准线的距离为2，可得2，解得a或.5“k9”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A因为方程1表示双曲线，所以(25k)(k9)0，所以k9或k25，所以“k9”是“方程1表示双曲线”的充分不
3、必要条件，故选A.6已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx DyxC因双曲线方程C：1(a0，b0)的离心率为，则e21，即，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为yx，故选C.扣要点查缺补漏1椭圆的定义标准方程及几何性质(1)定义：|PF1|PF2|2a；如T2.(2)焦点三角形的面积：SPF1F2b2tan .(3)离心率：e；如T1.(4)焦距：2c.(5)a，b，c的关系：c2a2b2.2双曲线1(a，b0)的几何性质(1)离心率e；(2)渐近线：yx.如T6.3抛物线的定义、几何性质(1)如图，|MF|MH|.如T3，T4.(2)已
4、知抛物线y22px(p0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)为抛物线上的点，F为焦点焦半径|CF|x1；过焦点的弦长|CD|x1x2p；x1x2，y1y2p2.4方程Ax2By21表示的曲线(1)表示椭圆：A0，B0且AB；(2)表示圆：AB0；(3)表示双曲线AB0；如T5.(4)表示直线：A0且B0或A0且B0.考点1圆锥曲线的定义、标准方程高考串讲找规律高考解读教师授课资源以抛物线、双曲线、椭圆的定义和标准方程为载体，以定义转化为媒介，通过平面几何图形中的几何等量关系、待定系数法、解三角形的有关知识等求得相应曲线的标准方程，体现了等价转化和方程的求解思想.1(2016全国卷)已知方程1
5、表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3)B(1，)C(0,3) D(0，)A若双曲线的焦点在x轴上，则又(m2n)(3m2n)4，m21，1n3m2且n0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线方程为( )Ay29xBy26xCy23xDy2xC法一：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设a，则由已知得2a，由抛物线定义，得a，故BCD30，在RtACE中， |AF|3，33a，2，即33a6，从而得a1，3a3.p，因此抛物线方程为y23x，故选C.法二：由法一可知CBD60，则
6、由|AF|3可知p3，2p3，抛物线的标准方程为y23x.3(轨迹问题)ABC的两个顶点为A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，则C点轨迹方程为( )A.1(y0)B.1(y0)C.1(y0)D.1(y0)DABC的两顶点A(4,0)，B(4,0)，周长为18，|AB|8，|BC|AC|10.108，点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆2a10,2c8，即a5，c4，b3.C点的轨迹方程为1(y0)故选D.考点2圆锥曲线的几何性质高考串讲找规律高考解读教师授课资源该考点是高考的核心热点之一，主要考查考生数形结合思想和化归与转化思想的应用，
7、考查数学运算，直观想象的核心素养.1(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()AyxByxCyx DyxA法一：由题意知，e，所以ca，所以ba，所以，所以该双曲线的渐近线方程为yxx，故选A.法二：由e，得，所以该双曲线的渐近线方程为yxx，故选A.2(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B.C. D.D由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|2c，PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2
8、|2c.|OF2|c，点P坐标为(c2ccos 60，2csin 60)，即点P(2c，c)点P在过点A，且斜率为的直线上，解得，e，故选D.3(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4C6 D8B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.教师备选题一题多解(2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB12
9、0，则m的取值范围是()A(0,19，)B(0，9，)C(0,14，) D(0，4，)A法一：设焦点在x轴上，点M(x，y)过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan 120，且由1可得x23，则.解得|y|.又0|y|，即0，结合0m3解得0m1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9.则m的取值范围是(0,19，)故选A.法二：当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得03时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，)故
10、选A.1椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程考题变迁提素养1(求离心率的取值范围)已知F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是()A. B.C. D.BF1，F2是椭圆1(a0，b0)的左、右两个焦点，F1(c,0)，F2(c,0)，c2a2b2.设点P(x，y)，由P
11、F1PF2，得(xc，y)(xc，y)0，化简得x2y2c2.联立方程组整理得，x2(2c2a2)0，解得e.又0e1，e1.2(求离心率的值)已知椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_；双曲线N的离心率为_12如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为yx，.设mk，则nk，则双曲线N的离心率e22.连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得F1CF290，CF1F230.设椭圆的焦距为
12、2c，则|CF2|c，|CF1|c，再由椭圆的定义得|CF1|CF2|2a，即(1)c2a，椭圆M的离心率e11.3(圆锥曲线的性质与函数交汇)若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为_32，)由题意，得22a21，即a，设P(x，y)，x，(x2，y)，则(x2)xy2x22x12，因为x，所以的取值范围为32，)4(与向量交汇考查几何性质)在椭圆1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有1，则与的夹角余弦值的范围为_设P(x，y)，则Q点(x，y)，椭圆1的焦点坐标为(，0)，(，0)，1，x22y21，结合1，可得y21,
13、2故与的夹角满足：cos 3.考点3直线、圆与圆锥曲线的交汇问题高考串讲找规律高考解读教师授课资源以直线与圆锥曲线或以圆与圆锥曲线的位置关系为载体，考查曲线方程的求解等问题，体现了数形结合的思想和等价转化的能力.1(2013全国卷)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1B.1C.1 D.1D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得.x1x22，y1y22，kAB.而kAB，a22b2，c2a2b2b29，bc3，a3，E的方程为1.2(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原
14、点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C2 D.A令双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，则|OP|a，|OM|MP|，由|OM|2|MP|2|OP|2，得22a2，即离心率e.故选A.3(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk
15、(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.1在研究直线与圆锥曲线位置关系时，常涉及弦长、中点、面积等问题一般是先联立方程，再根据根与系数的关系，用设而不求，整体代入的技巧进行求解2处理圆与圆锥曲线相结合问题的注意
16、点注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等提醒：“点差法”是解决中点弦问题的捷径，但必要时需要检验考题变迁提素养1(面积问题)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B.C. D.D易知直线AB的方程为y，与y23x联立并消去x，得4y212y90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y23，y1y2.SOAB|OF|y1y2|.故选D.2(弦长问题)若双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx21相切，且被圆x2(ya)21截得的弦长
17、为，则a( )A. B.C. D.B可以设切点为(x0，x1)，由y2x，切线方程为y(x1)2x0(xx0)，即y2x0xx1，已知双曲线的渐近线为yx，x01，2，一条渐近线方程为y2x，圆心(0，a)到直线y2x的距离是a.故选B.3.(最值问题)如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2y24x30，过圆心C2的直线l与抛物线和圆C2分别交于点P，Q和M，N，则|PN|4|QM|的最小值为()A23 B42C12 D52A由题意可设抛物线C1的方程为y22px(p0)，因为抛物线C1过点(2,4)，所以162p2，解得p4，所以抛物线C1的方程为
18、y28x.圆C2：x2y24x30整理得(x2)2y21，可知圆心C2(2,0)恰好是抛物线y28x的焦点，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)当直线l的斜率不存在时，l：x2，所以P(2,4)，Q(2，4)，于是|PN|4|QM|PC2|C2N|4|QC2|4|C2M|PC2|4|QC2|5444525.当直线l的斜率存在时，易知斜率不为0，可设l的方程为yk(x2)(k0)，由得k2x2(4k28)x4k20，则0，且x1x24，即x2.所以|PN|4|QM|PC2|4|QC2|5x124(x22)5x14x215x11521581523，当且仅当x1，即x14时等号成立因为2325，所以|PN|4|QM|的最小值为23.故选A.
