1、2021-2022学年度第二学期期中考试高二年级数学试卷命题人： 审题人：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分1. 已知，则等于（ ）A. （0，34，10）B. （-3，19，7）C. 44D. 23【答案】C【解析】【分析】由题可得，再利用数量积的坐标表示即得.【详解】，.故选：C.2. 可表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据排列公式直接求解【详解】故选：D3. 已知三个随机变量的正态密度函数（，）的图象如图所示，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】直接根据图像的对称轴，以及图像的胖瘦进行判断即可.【详解】由题意知：正态
2、曲线关于直线对称，且越大，对称轴越靠右，故，又越小，数据越集中，图像越瘦高，故.故选：D.4. 已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为A. 75万元B. 85万元C. 99万元D. 105万元【答案】B【解析】【详解】分析：根据表中数据求得样本中心，代入回归方程后求得，然后再求当的函数值即可详解：由题意得，样本中心为回归直线过样本中心，解得，回归直线方程为当时，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元故选B点睛：本题考查回归直线过样本
3、中心这一结论和平均数的计算，考查学生的运算能力，属容易题5. 8个人坐成一排，现要调换其中3个人的每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先从8人中任取3人，再对3人位置全调，然后利用分步计数原理求解.【详解】从8人中任取3人有种，3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，所以有种，所以不同调换方式有种.故选：C.6. 已知，则等于（ ）A. 15B. 16C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得n的值，再由由二项式系数和即得.【详解】逆用二项式定理得，即，所以n=4，所以故选：A.7.
4、甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（ ）A. 0.36B. 0.352C. 0.288D. 0.648【答案】D【解析】【分析】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，然后由独立事件和互斥事件的概率公式求解即可【详解】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为，而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为，故选：D8. 的展开式中的系数是（ ）A. 60B. C. 120D. 【答案】B【解析】【分
5、析】由，作为一个二项式，展开求得含有的项，再在的展开式中确定项的系数，由乘法可得结论【详解】，展开式的第项为，令，可得第4项为.而的展开式的第项为，令，可得第3项为.所以的展开式中，的系数是.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分9. 设离散型随机变量的概率分布列为0123则下列各式正确是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】由分布列中的概率逐一判断即可.【详解】由概率分布列可得，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误故选：AC10. 下列结论正确的是（ ）A. 若随机变量服从两点分布，则B. 若随机变量的方差，则C. 若随机变量服从二项分布，则D.
6、 若随机变量服从正态分布，则【答案】CD【解析】【分析】根据两点分布、二项分布、正态分布以及方差的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：若随机变量服从两点分布，则，故A错误；对B：若随机变量的方差，则，故错误；对C：若随机变量服从二项分布，则，故正确；对D：若随机变量服从正态分布，则，故，故正确.故选：CD.11. 已知，则（ ）A. 展开式中所有项的系数和为B. 展开式中二项系数最大项为第1010项C. D. 【答案】AC【解析】分析】逐一验证，对A，代入即可；对B，计算即可；对C，分别令，代入计算即可;对D，两边求导即可得到结果.【详解】当时，展开式中所有项的系数和为
7、，A对.展开式中第项二项式系数，则，.展开式中第1011和1012项二项式系数最大，B错.，令，则，令，则，C对.对等式两边求导，D错.故选：AC12. 如图，正方体的棱长为2，分别为的中点则下列结论正确的是（ ）A. 直线与平面垂直B. 直线与平面平行C. 三棱锥的体积为D. 点到平面的距离为【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出相关各点坐标，求出平面的法向量，利用向量的数量积的计算，可判断A,B；根据等体积法可求得三棱锥的体积，可判断C；利用空间距离的向量计算公式，可判断D.【详解】如图，以D点为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系， 则 ,对
8、于A, ,设平面AEF的法向量为 ，则 ，可取 ，而，与不平行，故直线与平面不垂直，故A错；对于B， , 平面AEF的法向量为,不在平面内,故直线与平面平行，故B正确；对于C， ,故C正确；对于D， , 平面AEF的法向量为,故点到平面的距离为 ，故D正确，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 空间中，若向量(5，9，m)，(1，1，2)，(2，5，1)共面，则m_此时的值为_【答案】 . 4 . 【解析】【分析】可以取、为基底，利用平面向量基本定理联立方程组即可求出m；计算出，即可求出.【详解】因为(1，1，2)，(2，5，1)，所以、不共线，可以取为基底.若向量
9、(5，9，m)，(1，1，2)，(2，5，1)共面，则存在实数x、y，使得，即，解得：.故m=4.此时所以，所以.故答案为：4；.14 已知随机事件，且，则_.【答案】【解析】【分析】由题意结合条件概率公式可得，再由条件概率公式即可得解.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了条件概率公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15. 已知直四棱柱的所有棱长相等，则直线与平面所成角的余弦值等于_.【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，可证明平面,从而可得为直线与平面所成角，从而在直角三角形中可求解.【详解】取的中点，连接由题意, ,则为等边三角形所以, 又四棱柱为直四棱柱，则
10、平面 而平面,所以,又所以平面,所以为直线与平面所成角设, 则, 在直角三角形中，故答案为：16. 若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率是_【答案】【解析】【分析】通过列举法求出满足题意的三位数十全十美数个数，再运用概率公式计算即可.【详解】所有三位数个数为900个.“十全十美数”有54个列举如下：有一位数字是的，共有个，分别为；含有两个相同数字的，共有个，分别为；不含0且没有相同数字的，共有个，分别为,从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率.故答案:
11、四、解答题：本题共6小题，共70分17. 已知向量与向量共线，且，求实数的值.【答案】【解析】【分析】根据向量共线可设，由可构造方程求得，得到；由向量垂直可得，由数量积运算律可构造方程求得.【详解】共线 可设，解得： 即，解得：【点睛】本题考查根据向量的平行、垂直关系求解参数值的问题，关键是能够明确向量共线的条件、向量垂直的坐标表示，属于基础题.18. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列.（1）求展开式中含有项的系数；（2）求展开式中有理项.【答案】（1）； （2）有理项：.【解析】【分析】（1）根据展开式通项公式，写出前三项的系数，再由三者成等差数列可求出；然后写出展开式通项，令的指数为1
12、，求出参数的值，代入通项即可得解；（2）设展开式中第项为有理项，可知，求出的可能取值，代入通项即可得解.【小问1详解】展开式的通项为，前3项的系数成等差数列，且前三项系数为，即，可得（舍去）或.二项式展开式的通项为.令，得，故含有项的系数为；【小问2详解】设展开式中第项为有理项，则，则时对应的项为有理项，有理项分别为.19. 现有4名男生、3名女生站成一排照相（用数字作答）（1）两端是女生，有多少种不同的站法？（2）任意两名女生不相邻，有多少种不同的站法？（3）女生甲要在女生乙的右方(可以不相邻)，有多少种不同的站法？【答案】（1）720； （2）1440； （3）2520；【解析】【分析】（
13、1）先选2女生排两端，再将其余学生全排列，即可得结果.（2）利用插空法，把3名女生插入到4名男生所形成的5个空中，即得结果.（3）将所有人作全排列，根据甲乙女生位置的对称性，即可求结果.【小问1详解】选2女生排两端有种方法，再排其余学生有种方法，所以两端是女生的不同站法有种.【小问2详解】先排4名男生有种方法，再将3名女生插入5个空隙中有种方法，所以任意两名女生不相邻的不同站法有种.【小问3详解】7名学生的全排列为，而甲乙的顺序有2种，所以女生甲要在女生乙的右方的不同站法有种.20. 随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防
14、止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件关于加强中小学生手机管理工作的通知，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍.不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数12学习成绩不优秀人数26合计（1）求表中，的值，并补全表中所缺数据；（2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？参考数据：，其中.0.100.05
15、0.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1），表格答案见解析；（2）有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.【解析】【分析】（1）由题意可得从而可求出的值，进而可填出列联表；（2）直接利用公式求解，然后根据临界值表得结论【详解】解：（1）由己知得解得补全表中所缺数据如下：不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数281240学习成绩不优秀人数142640合计423880（2）根据题意计算观测值为，所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.21. 自“新型冠状肺炎”疫情爆发以来，科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”在不懈努力下，
16、我国公民率先在年年末开始使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为对象，进行了一些实验：（1）实验一：选取只健康白兔，编号至号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现：除、号四只白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染现从这只白兔中随机抽取只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作，求的分布列和数学期望（2）实验二：疫苗可以再次注射第二针加强针，科研人员对白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响试问：若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗后的有效
17、率能否保证达到？如若可以，请说明理由；若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求？【答案】（1）分布列见解析；数学期望； （2）无法保证；建议：需要将注射一次疫苗的有效率提高到以上【解析】【分析】（1）首先确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望的公式可计算得到数学期望；（2）根据注射一次疫苗的有效率为，结合独立事件和对立事件概率公式可求得注射两次疫苗的有效率为；设每支疫苗有效率至少达到才能满足要求，则可构造方程求得的取值范围，由此可给出建议【小问1详解】由题意得：所有可能的取值为，；的分布列为：数学期望；【小问2详解
18、】由已知数据知：实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为，则注射一次疫苗的有效率为，一只白兔注射两次疫苗的有效率为：，无法保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到；设每支疫苗有效率至少达到才能满足要求，解得：，需要将注射一次疫苗的有效率提高到以上才能保证一只白兔注射两次疫苗后的有效率达到22. 如图，已知直三棱柱中，分别是的中点，点在直线上运动，且（1）证明：无论取何值，总有平面；（2）是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2）存在，位置满足【解析】【分析】（1）以为坐标原点，所在的直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，计算，可得证；（2）假设存在，由空间向量法求二面角可得【小问1详解】证明：如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系，由，可得，所以，又所以，所以，.又，平面，所以平面，所以无论取何值，总有平面.【小问2详解】解：设是平面的法向量，则，即，令，所以是平面的一个法向量，取平面的一个法向量为假设存在符合条件的点，则，化简得，解得或（舍去）.综上，存在点，且当时，满足平面与平面的夹角为.
