1、巩固层知识整合提升层题型探究利用正弦、余弦定理解三角形【例1】如图，在平面四边形ABCD中，AB2，BD，ABBC，BCD2ABD，ABD的面积为2.(1)求AD的长；(2)求CBD的面积思路探究(1)由面积公式求出sinABD，进而得cosABD的值，利用余弦定理可解；(2)由ABBC可以求出sinCBD的大小，再由二倍角公式求出sinBCD，可判断CBD为等腰三角形，利用正弦定理求出CD的大小，最后利用面积公式求解解(1)由SABDABBDsinABD2sinABD2，可得sinABD，又ABD，所以cosABD.在ABD中，由AD2AB2BD22ABBDcosABD，可得AD25，所以A
2、D.(2)由ABBC，得ABDCBD，所以sinCBDcosABD.又BCD2ABD，所以sinBCD2sinABDcosABD，BDCCBDBCD2ABDABDCBD，所以CBD为等腰三角形，即CBCD.在CBD中，由正弦定理知，得CD，所以SCBD.利用正、余弦定理解三角形要注意以下几个方面(1)画图，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求(2)明确解题过程中所使用的定理，有些题目两个定理都适用(3)注意对三角形内角和定理、大边对大角的应用，避免出现增解或漏解的错误(4)多边形中的边角计算问题通常化归到三角形中利用正、余弦定理求解1如图所示，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，C
3、D2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长解(1)在ADC中，因为cosADC，所以sinADC，所以sinBADsin(ADCB)sinADCcos BcosADCsin B.(2)在ABD中，由正弦定理，得BD3.在ABC中，由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcos B825228549，所以AC7.三角变换与解三角形的综合问题角度1三角形形状的判断【例2】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)
4、，2b2sin Acos B2a2cos Asin B，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.法一：由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC中，02A2，02B2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形法二：由正弦定理、余弦定理，得a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.ABC为等腰三角形或
5、直角三角形判定三角形形状的三个注意点(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的关系(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系(3)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别2在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状解法一：2bac，由正弦定理，得2sin Bsin Asin C.B60，AC120.2sin 60sin(120C)sin C.展开整理得sin Ccos C1.sin(C30)1.0C120，C3090.C60，则A60.ABC为等边三角形法二：由余弦定理，得b2a2c22accos B.B60，b，a
6、2c22accos 60，化简得(ac)20.ac.又B60，abc.ABC为等边三角形角度2三角形边、角、面积的求解【例3】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC的面积的最大值解(1)由已知，根据正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B.又A(BC)，sin(BC)sin(BC)sin Bcos Csin Ccos B，即sin Bcos Ccos Bsin Csin Bcos Csin Csin B，cos Bsin Csin Csin B，sin C0，cos Bsin B且B为三角形内角，B.
7、(2)SABCacsin Bac，由正弦定理知asin A2sin A，同理，c2sin C，SABC2sin A2sin C2sin Asin C2sin Asin2sin A2(sin Acos Asin2A)sin 2A1cos 2Asin1，当2A，即A时，SABC有最大值1.求解三角形中的边、角、面积的解题策略该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等3在ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a2，C，
8、cos，求ABC的面积S.解因为cos B2cos21，故B为锐角，所以sin B，所以sin Asin (BC)sinsin Bcoscos Bsin.由正弦定理，得c，所以SABCacsin B 2.正弦、余弦定理在实际中的应用【例4】如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45方向，相距12海里的B处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值思路探究假设经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，作出示意图，把实际数据转化
9、到三角形中，利用正、余弦定理求解解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x海里，BC10x海里，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28海里，BC20海里根据正弦定理得，解得sin .故红方侦察艇所需的时间为2小时，角的正弦值为.应用解三角形知识解决实际问题四步曲(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解(4)检验解出的结果是否具有实际意义，
10、对结果进行取舍，得出正确答案4甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解设甲、乙两船经t小时后相距最近且分别到达P，Q两处，因乙船到达A处需2小时当0t2时，如图，在APQ中，AP8t，AQ10t20，PQ2.综合知，PQ2(t0)当且仅当t时，PQ最小所以甲、乙两船行驶小时后，相距最近培优层素养升华【例题】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若ab2c，求s
11、in C.思路探究(1)利用正弦定理结合余弦定理求解角A的大小；(2)根据(1)中的结论结合正弦定理化简题中的等量关系，利用两角差的正弦公式求解sin C.解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，整理得cos(C60).因为0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的余弦公式、两角差的正弦公式，综合性较强.综合应用正、余弦定理解三角形一直是高考的热点内容之一，着重考查直观想象、数学运算等学科素养.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，则()A6 B5 C4 D3Aasin Absin B4csin C，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos A，6.
