1、步骤规范练空间向量与立体几何 (建议用时：90分钟)一、填空题1已知a，b是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则ca0且cb0是l的_条件解析若l，则l与a，b所在的直线垂直，ca，cb，ca0，cb0，是必要条件；ab，当a与b同向(或反向)时，由ca0且cb0可以推出ca且cb，但不能推出l，不是充分条件答案必要不充分2已知二面角l的大小为，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成角的度数为_解析设m，n的方向向量分别为m，n.由m，n知m，n分别是平面，的法向量|cosm，n|cos，m，n或.但由于两异面直线所成的角的范围是，故异面直线m，n所成的角为.答案3在正四面
2、体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中成立的是_ BC平面PDFDF平面PAE平面PDF平面ABC平面PAE平面ABC解析D，F为中点，DFBC，又DF面PDF，BC面PDF，BC面PDF，正确；E为BC中点，正四面体PABC，AEBC，PEBC，BC面PAE，DF面PAE，正确；BC面ABC，面ABC面PAE，正确假设平面PDF平面ABC，则顶点P在底面的射影在DF上，又因为正四面体的顶点在底面的射影是底面的中心，因此假设不成立，故不成立答案4(2013潍坊二模)已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：若m，n，nm，则；若m，m，则；若m，
3、n，mn，则；若m，n，mn，则.其中正确的命题是_解析命题中，与不一定垂直，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，命题正确；易知，命题正确，命题不正确答案5在以下命题中，不正确的个数为_|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.解析|a|b|ab|a与b共线，但a与b共线时|a|b|ab|不一定成立，故不正确；b需为非零向量，故不正确；因为2211，由共面向量定理知，不正确；由基底的定义
4、知正确；由向量的数量积的性质知，不正确答案46如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于_ 解析建立如图所示的空间直角坐标系，则O(1,1,0)，E(0,2,1)，D1(0,0,2)，F(1,0,0)，(1，1,1)，(1,0,2)，3，|，|，cos，.即OE与FD1所成的角的余弦值为. 答案7已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于_解析设A1在面ABC内的射影为O，过O作OHBC交AB于点
5、H，以O为坐标原点，OA，OH，OA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设ABC边长为1，则A，B1，.面ABC的法向量n(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为sin |cos，n|.答案8如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题： 点M到AB的距离为；三棱锥CDNE的体积是；AB与EF所成的角是其中正确命题的序号是_解析依题意可作出正方体的直观图如图，显然M到AB的距离为MC，正确；而VCDNE111，正确；AB与EF所成的角等于AB与MC所成的角，即为，正确 答案9正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为_解析取BC中点O，连
6、接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC1，则A，B， D.，.由于为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n(1，1)，cosn，sinn，.答案10正三棱柱ABCA1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为_ 解析如图，取AB的中点E，建立如图所示空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0)，F(1,0,1)，B1(1,0,2)，A1(1，0,2)，C1(0，2)，G.(2,0，1)，(1,0,1)，设平面GEF的一个法向量为n(x，y，z)，由得令x1，则n(1，1)，设B1F与平面GEF所成角为，则sin |
7、cosn，|.答案11在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为_解析如图所示，建立空间直角坐标系，且设正方体的棱长为1，DB1平面ACD1，取平面ACD1的法向量n(1,1,1)，又(0,0,1)，若设BB1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|，cos . 答案12(2014南京一模)P是二面角AB棱上的一点，分别在平面，上引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_解析不妨设PMa，PNb，如图，作MEAB于E，NFAB于F.EPMFPN45，PEa，PFb，()()abcos 60abcos 45abcos 45a
8、b0，二面角AB的大小为90. 答案9013如图，在矩形ABCD中，AB3，BC1，EFBC且AE2EB，G为BC的中点，K为AF的中点沿EF将矩形折成120的二面角AEFB，此时KG的长为_ 解析如图，过K作KMEF，垂足M为EF的中点，则向量与的夹角为120，60.又，222211211cos 603.|. 答案14(2014梅州模拟)如图，在三棱锥SABC中，SBASCA90，ABC是斜边ABa的等腰直角三角形，给出以下结论：异面直线SB与AC所成的角为90；直线SB平面ABC；平面SBC平面SAC；点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是_解析由题意知AC平面SBC，故ACSB
9、，SB平面ABC，平面SBC平面SAC，正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离，为a，正确答案二、解答题15如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PB与底面成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由 解分别以，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图 则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0，(0,2,0)是平
10、面PAB的法向量，(1，y1，z)，由CE平面PAB，可得.(1，y1，z)(0,2,0)2(y1)0.y1，代入式得z.E是PD的中点，即存在点E为PD中点时，CE平面PAB16(2013福建卷节选)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0) (1)求证：CD平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值(1)证明取CD的中点E，连接BE，如图1.ABDE，ABDE3k，四边形ABED为平行四边形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE
11、2BC2，BEC90，即BECD，又BEAD，CDAD.AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD.又AA1ADA，CD平面ADD1A1. 图1(2)解以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，于是(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)设平面AB1C的法向量n(x，y，z)，则由得取y2，得n(3,2，6k)设AA1与平面AB1C所成角为，则sin |cos，n|，解得k1，故所求实数k的值为1. 17(2014济南质检)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面
12、ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1. (1)证明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长(1)证明如图，以点A为原点建立空间直角坐标系， 依题意，得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，0，P(0,0,2)易得(0,1，2)，(2,0,0)，于是0，所以PCAD.(2)解(0,1，2)，(2，1，0)设平面PCD的法向量n(x，y，z)，则即不妨令z1，可得n(1,2,1)可取平面PAC的法向量m(1,0,0)于是cosm，n，从而sinm，n.所以二面角APCD的正弦值
13、为.(3)解设点E的坐标为(0,0，h)，其中h0,2由此得.由(2，1,0)，故cos，所以cos 30，解得h，即AE.18(2013广东卷)如图1，在等腰直角三角形ABC中，A90，BC6，D，E分别是AC，AB上的点，CDBE，O为BC的中点将ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥ABCDE，其中AO.(1)证明：AO平面BCDE；(2)求二面角ACDB的平面角的余弦值(1)证明在折叠前的图形中，等腰直角三角形ABC中，因为BC6，O为BC的中点，所以ACAB3，OCOB3，又因为CDBE，所以ADAE2.如图1，连接OD，在OCD中，由余弦定理可得OD.在折叠后的图形中，因为AD2，所以AO2OD2AD2，所以AOOD.同理可证AOOE，又ODOEO，所以AO平面BCDE.(2)解以O点为原点，建立空间直角坐标Oxyz，如图3所示 图3则A(0,0，)，C(0，3,0)，D(1，2，0)，所以(0,3，)，(1,2，)，设平面ACD的法向量n(x，y，z)，则即解得yx，且zx，令x1，得n(1，1，)由(1)知，(0,0，)为平面CDB的一个法向量，所以cosn，所以二面角ACDB的平面角的余弦值为.
