1、第二章 函数概念与基本初等函数 第八讲 函数模型及其应用 1.2021 长春市第一次质量监测中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用 85 的水泡制,等到茶水温度降至 60 时饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感的茶水所需的时间,某研究人员每隔 1 min 测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图 2-8-1 所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列可以近似地刻画茶水温度 y 随时间 x 变化的规律的函数模型是()图 2-8-1 A.y=mx2+n(m0)B.y=mx+n(m0)C.y=max+n(m0,a0 且 a1)D.y=mlogax+n(m
2、0,a0 且 a1)2.2021 晋南高中联考2019 年 7 月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了华夏五千年文明史.考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳 14 的质量 N 随时间 t(单位:年)的衰变规律满足:N=N02-5730(N0表示碳 14 原来的质量),经过测定,良渚古城某文物样本中碳 14 的质量是原来的 0.6 倍,据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是(参考数据:log231.6,log252.3)()A.3 440 年 B.4 011 年 C.4 580 年 D.5 160
3、年 3.2021山东新高考模拟中国的5G技术处于领先地位,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2(1+).它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度 C 取决于信道带宽 W,信道内信号的平均功率 S,信道内部的高斯噪声功率 N 的大小,其中叫作信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的 1 可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽 W,而将信噪比从 1 000 提升至 4 000,则 C 大约增加了(附:lg 20.301 0)()A.10%B.20%C.50%D.100%4.2020 四川绵阳中学模拟某数学小组进行社会实践调查,了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价而发愁.通
4、过进一步调研了解到如下信息:该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元,销售单价与日均销售量的关系如下表:销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 根据以上信息,你认为定价为多少时才能获得最大利润?()A.每桶 8.5 元 B.每桶 9.5 元 C.每桶 10.5 元 D.每桶 11.5 元 5.2021 山东省临沂市期中已知某公司生产某产品的年固定成本为 100 万元,每生产 1 千件需另投入 27 万元,设该公司一年内生产该产品 x 千件(0 x25)并全部销售完,每千件的销售收
5、入为 R(x)(单位:万元),且R(x)=108-13 2(0 10),-+175+57(10 25).(1)写出年利润 f(x)(单位:万元)关于年产量 x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一产品的生产中所获年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)6.2021 江苏启东中学模拟某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现:某珍稀水果树的单株产量 W(单位:千克)与肥料费用 10 x(单位:元)满足如下关系:W(x)=5(2+2),0 2,501+,2 5,其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)2
6、0 x 元.已知这种水果的市场价大约为15 元/千克,且销路畅通供不应求.记该珍稀水果树的单株利润为 f(x)(单位:元).(1)求 f(x)的函数关系式;(2)当投入的肥料费用为多少时,该珍稀水果树的单株利润最大?最大利润是多少?7.2020 安徽省太湖中学模拟某公司计划投资开发一种新能源产品,预计能获得 10 万元1 000 万元的收益.现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案:资金 y(单位:万元)随收益 x(单位:万元)的增加而增加,且资金总数不超过 9万元,同时资金总数不超过收益的 20%.(1)若建立奖励方案的函数模型为 y=f(x),试研究这个函数的定义域、值域和的取值范围;(2)
7、现有两个奖励方案的函数模型:y=150+2;y=4lg x-3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求,并说明理由.8.2020 武汉市部分高中联考某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式,这三种领奖方式如下.方式一:每天到该商场领取奖品,价值为40元.方式二:第一天领取的奖品的价值为10元,以后每天比前一天多10元.方式三:第一天领取的奖品的价值为 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番.若三种领奖方式对应的奖品总价值均不超过 1 200 元,则促销奖的领奖活动最长设置为几天?在领奖活动最长的情况下,你认为哪种领奖方式让领奖者受益最多?答 案 第二章 函数概念与基本初等函数 第八讲
8、函数模型及其应用 1.C 由散点图的连线是曲线可知,B 选项不符合题意;对于 A 选项,因为 A 中的函数是二次函数,其图象对称轴为 y轴,与题中图象不符,故排除 A;对于 D 选项,D 中的函数图象过定点(1,n),且必穿过 x 轴,D 选项不符题意.故符合条件的只有指数函数图象,故选 C.【情境启示】本题通过融入中国茶文化,以茶水的温度随时间的变化为背景,考查散点图、指数函数的图象,体现数学文化素养,让考生在解题中体会中华优秀传统文化.2.B 由题意知,N=N02-5730=0.6N0,即2-5730=0.6,5730=log20.6,t=(-5 730)(log23-log25)4 01
9、1,故选 B.3.B 将信噪比从 1 000 提升至 4 000 时,C 增加了log2(1+4000)-log2(1+1000)log2(1+1000)log24000-log21000log21000=23log210=23lg 2230.301 00.2=20%,故 C 大约增加了 20%,故选 B.4.D 通过题中表格可知销售单价每增加 1 元,日均销售量减少 40 桶,设每桶水的价格为(6+x)元(x0),日利润为 y元,则 y=(6+x-5)(480-40 x)-200=-40 x2+440 x+480(x0),-400,当 x=440240=5.5 时 y 有最大值,每桶水的价格
10、为 11.5 元时,日利润最大,故选 D.5.(1)当 0 x10 时,f(x)=xR(x)-(100+27x)=81x33 100;当 10 x25 时,f(x)=xR(x)-(100+27x)=-x2+30 x+75.故 f(x)=81-33-100(0 10),-2+30+75(10 25).(2)当 00,f(x)单调递增;当 x(9,10)时,f(x)0,f(x)单调递减.故 f(x)max=f(9)=8191393-100=386.当 10 x25 时,f(x)=-x2+30 x+75=-(x-15)2+300300.综上得当 x=9 时,年利润取最大值 386.所以当年产量为 9
11、 千件时,该公司在这一产品的生产中所获年利润最大.6.(1)由已知得f(x)=15W(x)-20 x-10 x=15W(x)-30 x=15 5(2+2)-30,0 2,15 501+-30,2 5=752-30+150,0 2,7501+-30,2 5.(2)由(1)得 f(x)=752-30+150,0 2,7501+-30,2 5=75(-15)2+147,0 2,780-30 251+(1+),2 5,当 0 x2 时,f(x)max=f(2)=390;当 2x5 时,f(x)=780-30251+(1+x)780-302251+(1+)=480,当且仅当251+=1+x,即 x=4
12、时等号成立.因为 3900.2,不符合要求.当 y=4lg x-3 时,该函数在定义域上为增函数,最大值为 9.0.2y-0.2x0.令 g(x)=4lg x-3-0.2x,则 g(x)=20-ln105ln10 0.所以 g(x)g(10)=-10,即0.2.故函数 y=4lg x-3 符合公司的要求.8.设促销奖的领奖活动为 x 天,三种方式对应的奖品总价值分别为 f(x),g(x),h(x)(f(x),g(x),h(x)的单位均为元).则 f(x)=40 x;g(x)=10+20+30+10 x=5x2+5x;h(x)=0.4+0.42+0.422+0.42x-1=0.42x-0.4.要使奖品总价值不超过 1 200 元,则 ()1200,()1200,()1200,N,即 30,2+-240 0,2 3001,N,解得 xg(11)f(11).故促销奖的领奖活动最长设置为 11 天,在这 11 天内选择方式三会让领奖者受益最多.
