1、专题限时集训(七)空间几何体的表面积、体积及有关量的计算专题通关练(建议用时：30分钟)1新题型：多选题在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是()A圆面B矩形面C梯形面 D椭圆面或部分椭圆面ABD将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选ABD.2易错题一个正方体的内切球O1、外接球O2、与各棱都相切的球O3的半径之比为()A132 B111C1 D123C设正方体的棱长为1，则其内切球O1的半径为
2、，外接球O2的半径为(正方体体对角线的一半)，与各棱都相切的球O3的半径为(正方体面对角线的一半)，所以它们的半径之比是1，故选C.3(2019呼和浩特一模)已知三棱锥PABC中，PB平面ABC，ABC90，PA，ABBC1，则三棱锥PABC 的外接球的表面积为()A12 B6C24 D.B如图，PB平面ABC，PBAB，AB1，PA，PB2，又ABBC，把三棱锥PABC补形为长方体，则长方体对角线长为，则三棱锥PABC外接球的半径为，三棱锥PABC的外接球的表面积为426.故选B.4重视题两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个图平行，各
3、顶点均在正方体的表面上(如图)，该八面体的体积可能值有()A1个 B2个C3个 D无数个D设ABCD与正方体的截面四边形为ABCD，设AAx(0x1)，则AB1x，|AD|2x2(1x)222，故S四边形ABCD|AD|2，VS四边形ABCDh2S四边形ABCD.该八面体的体积可能值有无数个，故选D.5已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A.B.C.D.A因为ABC是边长为1的正三角形，且球半径为1，所以四面体OABC为正四面体，所以ABC的外接圆的半径为，所以点O到平面ABC的距离为，所以三棱锥SABC的高
4、为，所以三棱锥SABC的体积为1，故选A.6.如图所示，图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为_由题知，旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，其中圆台的体积为V(2252)452，半球的体积V23，则所求体积为52.7鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源与古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为_(容器壁的厚
5、度忽略不计)41由题意，该球形容器的半径的最小值为：， 该球形容器的表面积的最小值为441.8三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，其中PA平面ABC，ABC是正三角形，PA2BC4，则该球的表面积为_球心应位于过正三角形ABC的中心且垂直于平面ABC的直线上，又PA平面ABC，PA4，所以球心O到平面ABC的距离为2，所以球的半径r，所以球的表面积为S4r2.能力提升练(建议用时：15分钟)9(2019成都七中模拟)九章算术中将底面是直角三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱称之为“堑堵”，现有一“堑堵”型石材，其底面三边长分别为3,4,5，若此石材恰好可以加工成一个最大的球体，则其高为()A4
6、 B3C2 D1C如图，是过球心且与底面平行的轴截面，设球的半径为r，由AC3，BC4，可得AB5，由等面积法可得：34(345)r，解得r1.此石材d的高为2r2.故选C.10一块边长为6 cm的正方形铁皮按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图2放置，若其正视图为等腰直角三角形，则该容器的体积为() 图1图2A12 cm3 B4 cm3C27 cm3 D9 cm3D如图2，PMN为该四棱锥的正视图，由图1可知，PMPN6，且PMPN，由PMN为等腰直角三角形，可知MN3，PM3.设MN中点为O，则PO平面ABCD，POMN，VPA
7、BCD2189.选D. 图1 图211已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_36如图，连接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC为球O的直径，知OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OASC，知OA平面SCB.设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r，三棱锥SABC的体积VOA，即9，r3，S球表4r236.12重视题正三棱锥SABC的底面边长为a，各侧面的顶角为30，D为侧棱SC的中点，截面DEF过D且平行于AB.当DEF的周长最小时，截得的三棱锥S
8、DEF的侧面积为_a2将正三棱锥的侧面展开(如图所示)，可得三个顶角均为30的等腰三角形，底面边长为a，D为SC的中点，DD的连线长即为最短DDCCAB，E，F即为相对应的E，F.在SCB中，BCa，CSB30，则SCSB.又CSC90，DDCCaa，即为截面DEF的周长的最小值，这时，三棱锥SDEF的侧面展开图的顶角为90，SSDD2a2.题号内容押题依据1数学文化、锥体的体积、柱体的表面积、不等式高考热点之一，通过对几何体的体积计算实现知识间的融合考查了学生的空间想象和数学运算的素养2球的切接体积的最值问题有关球的切接及体积的最值问题一直是高考的热点，考查学生的动态分析问题能力【押题1】九
9、章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如“堑堵”指的是底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指的是底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥如图所示，在堑堵ABCA1B1C1中，ACBC，A1AAB2，当堑堵ABCA1B1C1的侧面积取得最大值时，阳马BA1ACC1的体积为()A.B.C4 D.A根据题意，设ACx，BCy，则有x2y24，堑堵ABCA1B1C1的侧面积S侧(2xy)242(xy)4242，当且仅当xy时取等号，此时阳马BA1ACC1的体积VACCC1BC2，故选A.【押题2】如图，三棱锥ABCD中，ADBD，ACBC，DAB，BAC.三棱锥的外接球的表面积为16，则该三棱锥的体积的最大值为()A. B.C. D.B设外接球的半径为R.由题意得，4R216，解得R2.由题意知ADB，ABC都是直角三角形，所以三棱锥ABCD的外接球的球心为AB的中点，且AB4.由DAB，BAC，可求得AD2，BD2，ACBC2.当三棱锥ABCD的体积最大时，平面ADB平面ABC.所以三棱锥的体积的最大值为V三棱锥ABCDV三棱锥CABD222.故选B.
