1、第三章统计案例本章知识要览本章共分为两大节：第一大节是回归分析的基本思想及其初步应用本节在数学3中统计知识的基础上，通过典型案例“女大学生的身高和体重的关系”进一步讨论一元线性回归模型，分析模型中产生随机误差的原因，从相关系数的角度研究了两个变量之间线性相关关系的强弱，从而让我们了解在什么情况下可以考虑使用线性回归模型第二大节是独立性检验的基本思想及其初步应用本节通过典型案例“吸烟是否与患肺癌有关系”的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用本章知识的学习重点是了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法相关指数和残差分析，理解独立性检验的基本思想及实验步骤；难点是
2、解释残差变量的含义，了解总偏差平方和分解的思想，了解独立性检验的基本思想，了解随机变量2的含义由于本章内容是在学习完必修课程中的“统计”“概率”的基础上来学习的，因此，在学习过程中，应注意复习相关的知识，要通过对一些典型统计案例的讨论，进一步学习一些常见的统计方法，增强对统计思想、统计方法的理解，提高运用统计思想、统计方法观察问题、处理问题的能力学习时尽可能使用计算器、计算机等现代化技术手段来处理数据1回归分析知识点一回归分析 填一填(1)函数关系是一种确定性的关系，而相关关系是一种非确定性关系回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的常用方法 答一答1线性回归直线方程yabx与一次函数
3、yakx有何区别？提示：一次函数yakx是y与x的确定关系，给x一个值，y有唯一确定的值与之对应，而线性回归直线方程是y与x的相关关系的近似反映，两个数据x，y组成的点(x，y)可能适合线性回归直线方程，也可能不适合知识点二相关系数 填一填变量之间相关系数r的取值范围为1,1，|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高，|r|值越接近于0，Q越大，变量之间的线性相关程度越低当r0时，b0，两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势，此时称两个变量正相关；当r0时，b0时，表明两个变量正相关，当r0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系知识点三可线性化的回归分析 填一填通过变换先将非线
4、性函数转化成线性函数，利用最小二乘法得到线性回归方程，再通过相应变换得到非线性回归方程答一答3如何将函数yaebx转化为线性函数？提示：先对yaebx两边取对数得lnylnabx.若记ulny，clna.则ucbx，就把函数yaebx转化成了线性函数ucbx.1对线性回归方程的理解我们把有相关关系(不确定性关系)的变量转化为函数关系(确定性关系)，当两个具有相关关系的变量近似地满足一次函数关系时，我们所求出的函数关系yabx就是回归直线方程(1)求b时利用公式b，先求出(x1x2xn)，(y1y2yn)，iyix1y1x2y2xnyn，xxx，再由ab求a的值，并写出回归直线方程(2)线性回归
5、方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计而来的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏差(3)回归直线方程yabx中的b表示x增加1个单位时y的变化量为b，而a表示y不随x的变化而变化的量(4)可以利用回归直线方程yabx预报在x取某一个值时，y的估计值2对相关系数的理解散点图能帮助我们寻求线性相关关系，但在实际问题中，有时很难说这些点是不是分布在某条直线附近，为了解决上述问题，我们有必要对x与y作线性相关性检验，简称相关性检验对于变量x与y随机抽取到的n对数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，线性相关系数r.相关系数公式的作用在于，我们对一组数据之间的线性相关程度可作出定量的分
6、析，而不是仅凭画出散点图，直觉地从散点图的形状得出数据之间的线性相关程度，r具有以下性质：|r|1，并且|r|越接近于1，线性相关程度越强，|r|越接近于0，线性相关程度越弱3如何根据原始数据求出拟合函数？(1)可先由原始数据作出散点图；(2)对于一些函数模型的图形要熟悉如教材第8项的幂函数曲线yaxb、指数曲线yaebx、倒指数曲线yae和对数曲线yablnx要熟悉；(3)由散点图找出拟合比较好的函数类型；(4)将非线性函数转化为线性函数；(5)求出回归方程题型一求线性回归方程 例1某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；(3)一名
7、学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩思路探究先利用散点图分析物理成绩与数学成绩是否线性相关，若相关再利用线性回归模型求解解(1)散点图如图(2)(8876736663)73.2，(7865716461)67.8.iyi8878766573716664636125 054.88276273266263227 174.所以b0.625.ab67.80.62573.222.05.所以y对x的回归直线方程是y22.050.625x.(3)x96，则y0.6259622.0582，即可以预测他的物理成绩是82.规律方法 求回归直线方程的基本步骤：假设关于某设备的使用时间x(单位：年)和所支出的维修费
8、用y(单位：万元)有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0由资料可知y与x具有线性相关关系(1)试求线性回归方程；(2)估计该设备使用10年时，维修费用是多少解：(1)列表如下：于是b1.23，ab 51.2340.08.线性回归方程为y1.23x0.08.(2)当x10时，y1.23100.0812.38(万元)估计该设备使用10年时，维修费用是12.38万元题型二相关系数的问题 例2关于两个变量x和y的7组数据如下表所示：x21232527293235y711212466115325试判断x与y之间是否有线性相关关系思路探究首先求出r的值，再判断相关关系解(21232
9、527293235)27.4，(711212466115325)81.3，2122322522722923223525 414，iyi2172311252127242966321153532518 542，7211221224266211523252124 393，r0.837 5.由于r0.837 5与1比较接近，x与y具有线性相关关系规律方法 回归分析是定义在具有相关关系的两个变量的基础上的，对于相关关系不明确的两个变量，可先作散点图，由图粗略的分析它们是否具有相关关系，在此基础上，求其回归方程，并作回归分析某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系
10、：x2468y30405070判断x与y之间是否存在线性相关关系解：画出(x，y)的散点图，如图所示5，47.5，120，9 900，iyi1 080，r0.982 7.故x与y之间存在线性相关关系题型三可线性化的回归分析 例3某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：(1)画出散点图；(2)能否建立恰当的函数模型使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式解(1)作散点图(2)从散点图可看出函数模型为yaebx型设ulny，clna，则ucbx.i1 380，i35.542 8，173 000，iui4 369.29，115，2.
11、961 9，b0.019 7，cb 2.961 90.019 71150.696 4，u0.696 40.019 7x，ye0.696 4e0.019 7x.规律方法 函数模型为指数型，可两边取对数转化为线性函数关系，再求出回归直线方程电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式UAebt(t0)表示现测得时间t(s)时的电压U(V)如下所示：t012345678910U100755540302015101055试求电压U对时间t的回归方程(提示：对公式两边取自然对数，把问题化为线性回归分析问题)解：根据提示公式，两边取对数得lnUlnAbt，令
12、ylnU，alnA，则yabt.由前两组数据得aln100，bln.yln100lnt.根据上述公式样本点可转换为t012345678910y4.64.34.03.93.42.92.72.32.31.61.6其散点图为由散点图可知y与t线性相关，可用ybta表示，利用科学计算器，可得b0.3，a4.6，y0.3t4.6，即lnU0.3t4.6.U100e0.3t.误区警示系列未进行相关性检验导致错误例4在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521求出y与x之间的回归方程错解由已知条件制成下表：ixiyixiyixy10.251640.062 5256
13、20.51260.25144315512542244454141617.75362321.312 5430所以1.55，7.2，所以b3.53.ab 12.67.所求的y与x之间的回归方程是y3.53x12.67.错解分析本题直接求回归方程，没有画出散点图或进行相关性的检验，而本题的样本点恰好不是线性相关的根据散点图如图1所示，可以发现图像近似一个反比例函数，考虑函数y，令t，则ykt.正解根据散点图(如图1)可知y与x呈现出近似的反比例函数关系，设y，令t，则ykt，原数据变为：图1图2t4210.50.25y1612521由散点图(如图2)也可以看出，这些点基本上分布在一条直线附近，可以认
14、为y与t具有线性相关关系，列表如下：itiyitiyity141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.062 517.753694.2521.312 5430所以1.55，7.2.所以b4.134 4.ab 0.791 7，所以y4.134 4t0.791 7.所以y与x的回归方程是y0.791 7.在试验中得到变量y与x数据如下表：x0.066 70.038 80.033 30.027 30.022 5y39.442.941.043.149.2由试验知，y与之间具有线性相关关系，试求y与x之间的回归曲线方程，并预测当x00.038时y
15、0的值解：令u，由题目所给数据可得下表所示的数据：iuiyiuyuiyi115.039.42251 552.36591225.842.9665.641 840.411 106.82330.041.09001 6811 230436.643.11 339.561 857.611 577.46544.449.21 971.362 420.642 184.48151.8215.65 101.569 352.026 689.76计算得b0.29，a34.32，所以y34.320.29u.所求曲线方程为y34.32.当x00.038时，y034.3241.95.1已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y
16、(h)之间的线性回归方程为y0.01x0.5，则加工600个零件大约需要_h(A)A6.5B5.5C3.5 D0.5解析：将x600代入回归方程即得A.2设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有(C)Aa与r符号相同 Ba与r符号相反Cb与r符号相同 Db与r符号相反解析：根据b与r的计算公式可知，b与r符号相同3设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y0.85x85.71，则下列结论中不正确的是(D)Ay与x具有正
17、的线性相关关系B回归直线过样本点的中心(，)C若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg解析：本题考查线性回归方程D项中身高为170 cm时，体重“约为”58.79，而不是“确定”，回归方程只能作出“估计”，而非确定“线性”关系4在两个变量的回归分析中，作散点图的目的是从散点图中看出数据的大致规律，再根据这个规律选择适当的函数进行拟合；相关系数是度量两个变量之间线性相关程度的量5在线性回归模型中，线性回归方程yabx一定经过点(，)解析：线性回归方程必定经过样本中心点(，)6某工厂为了对新研发的一种产品进行
18、合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程ybxa，其中b20，ab；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润销售收入成本)解：(1)由于(x1x2x3x4x5x6)8.5，(y1y2y3y4y5y6)80.所以ab80208.5250，从而回归直线方程为y20x250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得Lx(20x250)4(20x250)20x2330x1 00020(x)2361.25.当且仅当x8.25时，L取得最大值故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润
